山西省范亭中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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山西省范亭中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線(xiàn):與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線(xiàn)與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線(xiàn):①,②,③,④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④2.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.3.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn),過(guò)作軸的垂線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線(xiàn)上方的有粒,則無(wú)理數(shù)的估計(jì)值是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.5.已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.若,則“”是“的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知雙曲線(xiàn)C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線(xiàn)方程為,則C為()A. B.C. D.8.復(fù)數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.9.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.下列不等式成立的是()A. B. C. D.11.已知三棱錐的體積為2,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且三棱錐的外接球的球心恰好是中點(diǎn),則球的表面積為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿(mǎn)足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面向量,的夾角為,且,則=____14.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_________.15.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若,且,則公比的值為_(kāi)____.16.在邊長(zhǎng)為2的正三角形中,,則的取值范圍為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的滿(mǎn)足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前n項(xiàng)和為,求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,總有.18.(12分)過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)(為參數(shù))相交于M、N兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的一般方程;(2)求的最小值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),求;(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),求的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上,求證:線(xiàn)段的中垂線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).21.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,,證明:.22.(10分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求出圓心到直線(xiàn)的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線(xiàn)的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離可知,①②④滿(mǎn)足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.2、B【解析】

根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線(xiàn)上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點(diǎn),直線(xiàn)的方程為,矩形中位于曲線(xiàn)上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗?,?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.5、A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問(wèn)題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問(wèn)題的解法,屬于中檔題.6、B【解析】

求得的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識(shí),考查考生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力,難度較易.7、A【解析】

由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線(xiàn)C的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:,復(fù)數(shù)的模為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)的圖象,易知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線(xiàn)問(wèn)題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.10、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞減,,錯(cuò)誤;對(duì)于,,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.11、A【解析】

根據(jù)是中點(diǎn)這一條件,將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離,即可用勾股定理求解.【詳解】解:設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以到平面的距離為,三棱錐的體積,解得,作平面,垂足為的外心,所以,且,所以在中,,此為球的半徑,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積,考查點(diǎn)到平面的距離,屬于中檔題.12、D【解析】

由得,分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,由圖可知,.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得;將化簡(jiǎn)并代入即可求得.【詳解】,則,平面向量,的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量模的求法可知,代入可得,解得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量模的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】設(shè),則,由題意可得故當(dāng)時(shí),由不等式,可得,或求得,或故答案為(15、【解析】

將已知由前n項(xiàng)和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

建立直角坐標(biāo)系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構(gòu)造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設(shè),,易知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意通過(guò)設(shè)元、消元,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問(wèn)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)公式得到,計(jì)算得到答案.(2),根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到,得到證明.【詳解】(1)由已知得時(shí),,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當(dāng)時(shí),,..(2)..【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和證明數(shù)列不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.18、(1);(2).【解析】

(1)將曲線(xiàn)的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫(xiě)出直線(xiàn)MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線(xiàn)方程,并將其化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,根據(jù),結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線(xiàn)C的一般方程為.(2)直線(xiàn)MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線(xiàn)MN的參數(shù)方程代入曲線(xiàn),得,整理得,設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為,,則,當(dāng)時(shí),取得最小值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,直線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題目.19、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)化簡(jiǎn)得到直線(xiàn)的普通方程化為,,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計(jì)算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線(xiàn)的普通方程化為,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因?yàn)?,所以,所?【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)把點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程,解方程即可;(Ⅱ)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理和中垂線(xiàn)的定義求出線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程即可證明.【詳解】(Ⅰ)由已知橢圓過(guò)點(diǎn)得,,又,得,所以,即橢圓方程為.(Ⅱ)證明:由,得,由,得,由韋達(dá)定理可得,,設(shè)的中點(diǎn)為,得,即,,的中垂線(xiàn)方程為,即,故得中垂線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問(wèn)題;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;正確求出橢圓方程和利用中垂線(xiàn)的定義正確表示出中垂線(xiàn)方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.21、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對(duì)值求解;(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),不等式可化為.當(dāng)時(shí),,,所以;當(dāng)時(shí),,.所以不等式的解集是.(2)證明:由,,得,,,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題的求解,含有絕對(duì)值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.22、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解

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