2025屆云南省西疇縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆云南省西疇縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.44．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.5．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2C. D.6．為了解義務(wù)教育階段學(xué)校對雙減政策的落實程度，某市教育局從全市義務(wù)教育階段學(xué)校中隨機抽取了6所學(xué)校進行問卷調(diào)查，其中有4所小學(xué)和2所初級中學(xué)，若從這6所學(xué)校中再隨機抽取兩所學(xué)校作進一步調(diào)查，則抽取的這兩所學(xué)校中恰有一所小學(xué)的概率是（）A. B.C. D.7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.8．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.19．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.10．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．已知、分別是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上一動點，圓C與的延長線、的延長線以及線段相切，若為其中一個切點，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.14．?dāng)?shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點處作曲線的切線，則與軸交點的橫坐標(biāo)稱為的一次近似值，在點處作曲線的切線.則與軸交點的橫坐標(biāo)稱為的二次近似值.重復(fù)上述過程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.15．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經(jīng)過點，則當(dāng)取得最大值時，橢圓的面積為_________16．對于實數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，如.已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大.（1）求該展開式中有理項的項數(shù)；（2）求該展開式中系數(shù)最大的項.18．（12分）某校在全體同學(xué)中隨機抽取了100名同學(xué)，進行體育鍛煉時間的專項調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達標(biāo)，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉不達標(biāo)（1）求a的值，并估計該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達標(biāo)的原因，再從這6名同學(xué)中隨機抽取2名進行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率19．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設(shè)首項為2的數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且______（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，令，求數(shù)列的前n項和20．（12分）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中項.數(shù)列{bn}滿足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an+bn}前n項和Tn.21．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）22．（10分）已知函數(shù)（Ⅰ）若的圖象在點處的切線與軸負(fù)半軸有公共點，求的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時，求的最值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】以點A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，求出點M的軌跡方程即可計算得解.【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點，則，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D2、B【解析】構(gòu)造，通過求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當(dāng)時，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出的圖象，如下圖：要想有3個零點，則故選：B3、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式進行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B4、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因為，所以.故選：C.5、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設(shè)的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.6、A【解析】由組合知識結(jié)合古典概型概率公式求解即可.【詳解】從這6所學(xué)校中隨機抽取兩所學(xué)校的情況共有種，這兩所學(xué)校中恰有一所小學(xué)的情況共有種，則其概率為.故選：A7、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.8、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗證不重合，滿足題意，故選：C.9、C【解析】設(shè)點在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點，故方程為.代入雙曲線方程，得點的坐標(biāo)為.同理可得，點的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.10、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.11、C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C12、A【解析】由題意知，圓C是的旁切圓，點是圓C與軸的切點，設(shè)圓C與直線的延長線、分別相切于點、，由切線的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點是圓C與軸的切點，設(shè)圓C與直線的延長線、分別相切于點、，則由切線的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【點睛】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時，最小值為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)牛頓迭代法的知識求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線的方程為，與軸交點的橫坐標(biāo)為.，所以切線的方程為，與軸交點的橫坐標(biāo)為.故答案為：15、【解析】利用基本不等式得出取得最大值時的條件結(jié)合可知，再利用點在橢圓方程上，故可求得、的值,進而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，由可知，∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.16、54【解析】由，利用裂項相消法求得，再由的定義求解.【詳解】由已知可得：，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，；；所以.故答案為：54.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再寫出二項式展開式的通項，令即可求解；（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即可解得的值，進而可得展開式中系數(shù)最大的項.【詳解】（1）由題意可得：，得，的展開式通項為，，要求展開式中有理項，只需令，所以所以有理項有5項，（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即，即，解得：，因為，所以或所以，所以展開式中系數(shù)最大的項為和.【點睛】解二項式的題關(guān)鍵是求二項式展開式的通項，求有理項需要讓的指數(shù)位置是整數(shù)，求展開式中系數(shù)最大的項需要滿足第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，屬于中檔題18、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，∴中位數(shù)應(yīng)在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.19、（1）；（2）.【解析】（1）選擇不同的條件，再通過構(gòu)造數(shù)列以及累乘法即可求得對應(yīng)情況下的通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用錯位相減法求其前項和即可.【小問1詳解】選①：∵，即，∴.即，∴數(shù)列是常數(shù)列，∴，故；選②：∵，∴時，，則，即∴，∴；當(dāng)時，也滿足，∴；選③：得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為1則，∴.【小問2詳解】由（1）知當(dāng)時，，∴又∵時，，符合上式，∴∴∴而相減得∴.20、(1)；(2).【解析】(1)根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列通項公式求解即可；(2)根據(jù)已知求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合(1)中結(jié)論并利用分組求和法求解即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，因為，所以，因為是和的等差中項，所以，即，解得，所以.故答案為：.(2)因為，所以為等差數(shù)列，因為，，所以公差，故.所以.故答案為：.21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設(shè)，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)