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文檔簡介
2025屆湖南省瀏陽市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知函數(shù),若實(shí)數(shù)滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2.計(jì)算cos(-780°)的值是()A.- B.-C. D.3.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為()A. B.C. D.4.已知,并且是終邊上一點(diǎn),那么的值等于A. B.C. D.5.已知,則的值等于()A. B.C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,直線的斜率是()A. B.C. D.7.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖1所示,則在圖2的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是A.(1),(3) B.(1),(4)C.(2),(4) D.(1),(2),(3),(4)8.已知函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍()A. B.C.(0,1) D.9.已知,則直線通過()象限A.第一、二、三 B.第一、二、四C.第一、三、四 D.第二、三、四10.設(shè),則()A. B.aC. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,且,則的最小值為__________.12.若兩個(gè)正實(shí)數(shù),滿足,且不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________13.已知函數(shù)且(1)若函數(shù)在區(qū)間上恒有意義,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),且最大值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由14.已知冪函數(shù)(為常數(shù))的圖像經(jīng)過點(diǎn),則__________15.函數(shù)的值域是__________16.定義:如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在,滿足,則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”,是它的一個(gè)均值點(diǎn).若函數(shù)是上的平均值函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個(gè)城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益P與投入a(單位:萬元)滿足P=3-6,乙城市收益Q與投入a(單位:萬元)滿足Q=a+2,設(shè)甲城市的投入為x(單位:萬元),兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位:萬元).(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時(shí),求此時(shí)公司的總收益;(2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資,才能使總收益最大?18.計(jì)算下列各式:(1)(式中字母均為正數(shù));(2).19.已知的圖象上相鄰兩對(duì)稱軸的距離為.(1)若,求的遞增區(qū)間;(2)若時(shí),若的最大值與最小值之和為5,求的值.20.已知函數(shù),,其中a為常數(shù)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù),并說明理由;設(shè)函數(shù),若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍21.已知,是夾角為的兩個(gè)單位向量,且向量,求:,,;向量與夾角的余弦值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由題可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,進(jìn)而可得,即得.【詳解】∵函數(shù),定義域?yàn)?,又,所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,故函數(shù)單調(diào)遞增,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,由可得,,解得,且.故選:D.2、C【解析】直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可【詳解】cos(-780°)=cos780°=cos60°=故選C【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的應(yīng)用,三角函數(shù)的化簡求值,考查計(jì)算能力3、A【解析】畫出函數(shù)圖像,分解因式得到,有一個(gè)解故有兩個(gè)解,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖像,如圖所示:當(dāng)時(shí),即,有一個(gè)解;則有兩個(gè)解,根據(jù)圖像知:故選:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖像,分解因式是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】由題意得:,選A.5、B【解析】由分段函數(shù)的定義計(jì)算【詳解】,,所以故選:B6、A【解析】將直線轉(zhuǎn)化成斜截式方程,即得得出斜率.【詳解】解:由題得,原式可化為,斜率.故選:A.7、A【解析】可以是一個(gè)正方體上面一個(gè)球,也可以是一個(gè)圓柱上面一個(gè)球8、C【解析】函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),所以有三個(gè)實(shí)根,即直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),作出圖象,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn),所以有三個(gè)實(shí)根,即直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)作出函數(shù)圖象,由圖可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是故選:C.9、A【解析】根據(jù)判斷、、的正負(fù)號(hào),即可判斷直線通過的象限【詳解】因?yàn)?,所以,①若則,,直線通過第一、二、三象限②若則,,直線通過第一、二、三象限【點(diǎn)睛】本題考查直線,作為選擇題10、C【解析】由求出的值,再由誘導(dǎo)公式可求出答案【詳解】因?yàn)椋?,所以,故選:C二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】利用已知條件湊出,再根據(jù)“”的巧用,最后利用基本不等式即可求解.【詳解】由,得,即.因?yàn)樗裕?則=,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí),取得最小值為.故答案為:.12、【解析】根據(jù)題意,只要即可,再根據(jù)基本不等式中的“”的妙用,求得,解不等式即可得解.【詳解】根據(jù)題意先求得最小值,由,得,所以若要不等式恒成立,只要,即,解得,所以.故答案為:13、(1)(2)存在;(或)【解析】(1)由題意,得在上恒成立,參變分離得恒成立,再令新函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解最大值,從而求出的取值范圍;(2)在(1)的條件下,討論與兩種情況,利用復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)求解對(duì)應(yīng)的取值范圍,再利用最大值求解參數(shù),并判斷是否能取到.【小問1詳解】由題意,在上恒成立,即在恒成立,令,則在上恒成立,令所以函數(shù)在在上單調(diào)遞減,故則,即的取值范圍為.【小問2詳解】要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),首先在區(qū)間上恒有意義,于是由(1)可得,①當(dāng)時(shí),要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則函數(shù)在上恒正且為增函數(shù),故且,即,此時(shí)的最大值為即,滿足題意②當(dāng)時(shí),要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則函數(shù)在上恒正且為減函數(shù),故且,即,此時(shí)的最大值為即,滿足題意綜上,存在(或)【點(diǎn)睛】一般關(guān)于不等式在給定區(qū)間上恒成立的問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題,參變分離后得恒成立,等價(jià)于;恒成立,等價(jià)于成立.14、3【解析】設(shè),依題意有,故.15、【解析】利用換元法,將變?yōu)椋缓罄萌呛愕茸儞Q,求三角函數(shù)的值域,可得答案.【詳解】由,得,可設(shè),故,不妨取為銳角,而,時(shí)取最大值),,故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧?.16、##,##【解析】根據(jù)題意,方程,即在內(nèi)有實(shí)數(shù)根,若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn).首先滿足,解得,或.對(duì)稱軸為.對(duì)分類討論即可得出【詳解】解:根據(jù)題意,若函數(shù)是,上的平均值函數(shù),則方程,即在內(nèi)有實(shí)數(shù)根,若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)則,解得,或(1),.對(duì)稱軸:①時(shí),,,(1),因此此時(shí)函數(shù)在內(nèi)一定有零點(diǎn).滿足條件②時(shí),,由于(1),因此函數(shù)在內(nèi)不可能有零點(diǎn),舍去綜上可得:實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為:,三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)43.5(萬元);(2)甲城市投資72萬元,乙城市投資48萬元.【解析】(1)直接代入收益公式進(jìn)行計(jì)算即可.(2)由收益公式寫出f(x)=-x+3+26,令t=,將函數(shù)轉(zhuǎn)為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值即可.【詳解】(1)當(dāng)x=50時(shí),此時(shí)甲城市投資50萬元,乙城市投資70萬元,所以公司的總收益為3-6+×70+2=43.5(萬元).(2)由題知,甲城市投資x萬元,乙城市投資(120-x)萬元,所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,依題意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=,則t∈[2,4],所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.當(dāng)t=6,即x=72萬元時(shí),y的最大值為44萬元,所以當(dāng)甲城市投資72萬元,乙城市投資48萬元時(shí),總收益最大,且最大收益為44萬元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用,考查函數(shù)最值的求解,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件利用指數(shù)運(yùn)算法則化簡作答.(2)根據(jù)給定條件,利用對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意,.【小問2詳解】.19、(1)增區(qū)間是[kπ-,kπ+],k∈Z(2)【解析】首先根據(jù)已知條件,求出周期,進(jìn)而求出的值,確定出函數(shù)解析式,由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間,,即可求出的遞增區(qū)間由確定出的函數(shù)解析式,根據(jù)的范圍求出這個(gè)角的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最大值,即可得到的值解析:已知由,則T=π=,∴w=2∴(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ則-+kπ≤x≤+kπ故f(x)的增區(qū)間是[kπ-,kπ+],k∈Z(2)當(dāng)x∈[0,]時(shí),≤2x+≤∴sin(2x+)∈[-,1]∴∴點(diǎn)睛:這是一道求三角函數(shù)遞增區(qū)間以及利用函數(shù)在某區(qū)間的最大值求得參數(shù)的題目,主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,以及正弦函數(shù)的定義域和值域,解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題20、(1)見解析;(2),【解析】代入a的值,求出的解析式,判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;由題意把函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,通過討論a的范圍,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組,解出即可【詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),,則,因?yàn)?,又由在遞減,所以遞增,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù);由,得,即,若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn),則方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,化簡得,即有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,時(shí),可化為,即,此時(shí),滿足題意,當(dāng)時(shí),由得:,解得:或,當(dāng)即時(shí),方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí),滿足題意,當(dāng)即時(shí),若是的零點(diǎn),則,解得:,若是的零點(diǎn),則,解得:,函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn),所以或,,綜上,a的范圍是,【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn),以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的
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