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湖南省衡陽(yáng)縣第三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知空間三點(diǎn),,在一條直線上,則實(shí)數(shù)的值是()A.2 B.4C.-4 D.-22.已知雙曲線的離心率為5,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.3.已知{an}是以10為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn,取得最大值時(shí),n=()A.3 B.4C.5 D.64.命題的否定是()A. B.C. D.5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若,則()A1 B.2C.4 D.86.如圖,在四面體中,,,,分別為,,,的中點(diǎn),則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A. B.C. D.7.已知向量,則下列結(jié)論正確的是()A.B.C.D.8.用1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字可寫出()個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.649.為了防控新冠病毒肺炎疫情,某市疾控中心檢測(cè)人員對(duì)外來入市人員進(jìn)行核酸檢測(cè),人員甲、乙均被檢測(cè).設(shè)命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”,命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”,則命題“至少有一位人員核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”可表示為()A. B.C. D.10.的展開式中的系數(shù)是()A.1792 B.C.448 D.11.若是真命題,是假命題,則A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題12.已知向量,且,則的值為()A.4 B.2C.3 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點(diǎn)M(π,0)處的切線方程為________14.已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線距離的最小值為______15.已知某農(nóng)場(chǎng)某植物高度,且,如果這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有這種植物10000棵,試估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為______.參考數(shù)據(jù):若,則,,.16.過橢圓上一點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,則線段中點(diǎn)的軌跡方程為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在△中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,,.(1)求的大小及△的面積;(2)求的值.18.(12分)男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下:在資格賽中,射手在距離靶子10米處,采用立姿,在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈,總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽;在決賽中,每位射手僅射擊10發(fā)子彈.已知甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽,資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表:環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率,甲乙兩人射擊互不影響(1)求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率;(2)決賽打完第9發(fā)子彈后,甲比乙落后2環(huán),求最終甲能戰(zhàn)勝乙(甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù))的概率19.(12分)已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)(4,0),且圓心在x軸上(1)求圓C的方程;(2)已知直線l:與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求所得弦長(zhǎng)值20.(12分)已知數(shù)列滿足,(1)證明是等比數(shù)列,(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和21.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn),若面積的最大值為,且離心率(1)求C的方程;(2)A,B為C的左、右頂點(diǎn),若過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M,N兩點(diǎn),證明:直線與的交點(diǎn)在一條定直線上22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,,且,,.(1)求證:平面PAC;(2)已知點(diǎn)M是線段PD上的一點(diǎn),且,當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí),求實(shí)數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)三點(diǎn)在一條直線上,利用向量共線原理,解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:因?yàn)榭臻g三點(diǎn),,在一條直線上,所以,故.所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線原理,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m,從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線,∴,又,∴,∵離心率為,∴,解得,∴雙曲線方程.故選:D.3、B【解析】由題可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即得.【詳解】∵{an}是以10為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,∴,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故時(shí),取得最大值故選:B.4、C【解析】根據(jù)含全稱量詞命題的否定可寫出結(jié)果.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題的否定是.故選:C5、C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求出【詳解】依題可知,,所以故選:C6、C【解析】根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義,即可得到答案;【詳解】故選:C7、D【解析】由題可知:,,,故選;D8、A【解析】由題意,從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意,從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列,共可寫出個(gè)三位數(shù).故選:A9、D【解析】表示出和,直接判斷即可.【詳解】命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”,則命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”;命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”,則命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”.故命題“至少有一位人員核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”可表示為.故選D.10、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開式中,含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選:D11、D【解析】因?yàn)槭钦婷},是假命題,所以是假命題,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,是真命題,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,是假命題,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,是真命題,選項(xiàng)D正確,故選D.考點(diǎn):真值表的應(yīng)用.12、A【解析】由題意可得,利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程,解方程即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)橄蛄?,,所以,解得,所以的值為,故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意可得,據(jù)此可得切線的斜率,結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得:,所求切線的斜率為:,由于切點(diǎn)坐標(biāo)為,故切線方程為:.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.14、【解析】求橢圓上平行于的直線方程,利用平行線的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切,且平行于的直線為,聯(lián)立橢圓整理可得:,則,∴,又兩平行線的距離,∴到直線距離的最小值為.故答案為:.15、1359【解析】由已知求得,則,結(jié)合已知求得,乘以10000得答案【詳解】解:由,得,又,,則,估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間,上的棵數(shù)為故答案為:135916、【解析】相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程.【詳解】設(shè),則,則,即,因?yàn)椋肟傻?,即的軌跡方程為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),△的面積為;(2).【解析】(1)應(yīng)用余弦定理求的大小,由三角形面積公式求△的面積;(2)由(1)及正弦定理的邊角關(guān)系可得,即可求目標(biāo)式的值.【小問1詳解】在△中,由余弦定理得:,又,則.所以△的面積為.【小問2詳解】由(1)得:,由正弦定理得:,則,所以.18、(1)(2)【解析】(1)先求出甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率,從而可求出甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率;(2)由于甲比乙落后2環(huán),所以甲要獲勝,則乙6環(huán),甲9環(huán)或10環(huán),或者乙7環(huán),甲10環(huán),再利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率為,所以甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為【小問2詳解】因?yàn)榧妆纫衣浜?環(huán),所以甲要獲勝,則乙打中6環(huán),甲打中9環(huán)或10環(huán),或者乙打中7環(huán),甲打中10環(huán),因?yàn)橛深}意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為,甲打中9環(huán)的概率為,打中10環(huán)的概率為,且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為19、(1)(2)【解析】(1)求出圓心和半徑,寫出圓的方程;(2)求出圓心到直線距離,進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).【小問1詳解】由題意可得,圓心為(2,0),半徑為2.則圓的方程為;【小問2詳解】由(1)可知:圓C半徑為,設(shè)圓心(2,0)到l的距離為d,則,由垂徑定理得:20、(1)見解析;(2)【解析】(1)利用定義法證明是一個(gè)與n無關(guān)的非零常數(shù),從而得出結(jié)論;(2)由(1)求出,利用分組求和法求【詳解】(1)由得,所以,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,,所以,(2)由(1)知的通項(xiàng)公式為;則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法,屬于基礎(chǔ)題21、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)用待定系數(shù)法求出橢圓的方程;(2)設(shè)直線MN的方程為x=my+1,設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為,直線BN的方程為,聯(lián)立,解得:,即可證明直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【小問1詳解】由題意可得:,解得:,所以C的方程為.【小問2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由,消去y得:,所以.所以.因?yàn)橹本€AM的方程為,直線BN的方程為,二者聯(lián)立,有,所以,解得:,直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】(1)待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法,可以解決直線與二次曲線相交的問
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