2025屆福建省龍巖市連城一中數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆福建省龍巖市連城一中數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結論正確的是（）①曲線關于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④3．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.4．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.5．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產黨成立100周年慶?；顒訕俗R（圖1），標識由黨徽、數字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現中國共產黨團結帶領中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為的相交大圓，分別內含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點A反射后，再經C上另一點B反射后，沿直線射出，經過點N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長AO交直線于點D，則D，B，N三點共線7．拋物線的焦點坐標是（）A. B.C. D.8．三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.9．已知是橢圓右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.10．新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國的三大產業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產業(yè)中的各個行業(yè)都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國上半年國內經濟數據，如圖所示，圖1為國內三大產業(yè)比重，圖2為第三產業(yè)中各行業(yè)比重下列關于我國上半年經濟數據的說法正確的是（）A.第一產業(yè)的生產總值與第三產業(yè)中“其他服務業(yè)”的生產總值基本持平B.第一產業(yè)的生產總值超過第三產業(yè)中“金融業(yè)”的生產總值C.若“住宿和餐飲業(yè)”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為22500億元D.若“金融業(yè)”生產總值為41040億元，則第二產業(yè)生產總值為166500億元11．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.212．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標為，且為直角三角形，則以直線為準線的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則以AB為直徑的圓的方程為___________.14．若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為______.15．設、為正數，若，則的最小值是______，此時______.16．已知數列的前n項和為，則取得最大值時n的值為__________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，D為棱AC中點.（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.18．（12分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點，并且，E為劣弧上的一點，且，.（1）若E為劣弧的中點，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點（靠近點），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.19．（12分）已知是邊長為2的正方形，正方形繞旋轉形成一個圓柱；（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞順時針旋轉至，求異面直線與所成角的大小20．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.22．（10分）如圖，點是曲線上的動點(點在軸左側)，以點為頂點作等腰梯形，使點在此曲線上，點在軸上.設，等腰梯的面積為.（1）寫出函數的解析式，并求出函數的定義域；（2）當為何值時，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用函數在上單調遞減即可求解.【詳解】解：因為函數在上單調遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.2、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結合二次函數知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設，動點與點的距離為，因為函數在上遞減，所以當時，函數取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結論正確的是：①②.故選：A3、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結果.【詳解】由基本不等式知；（當且僅當時取等號），的最大值為.故選：A.4、B【解析】根據向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.5、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B6、D【解析】根據求出焦點為、點坐標，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點坐標，由兩點間的距離公式求出可判斷AC；時可得，．由可判斷B；求出點坐標可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項A錯誤；時，因為，所以．又，，所以不平分，選項B不正確；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，所以，選項C錯誤；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點D，所以則，所以D，B，N三點共線，選項D正確；故選：D.7、C【解析】化為標準方程，利用焦點坐標公式求解.【詳解】拋物線的標準方程為，所以拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C8、C【解析】由題設寫出雙曲線的方程,對比系數,求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設的方程為,所以,即設AB的中點為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C9、A【解析】結合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設左焦點為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A10、D【解析】根據扇形圖及柱形圖中的各產業(yè)與各行業(yè)所占比重，得到第三產業(yè)中“其他服務業(yè)”及“金融業(yè)”的生產總值占總生產總值的比重，進而比較出AB選項，利用“住宿和餐飲業(yè)”生產總值和“房地產”生產總值的比值，求出“房地產”生產總值，判斷出C選項，利用第三產業(yè)中“金融業(yè)”的生產總值與第二產業(yè)的生產總值比值，求出第二產業(yè)生產總值，判斷D選項.【詳解】A選項，第三產業(yè)中“其他服務業(yè)”的生產總值占總生產總值的，因為，所以第三產業(yè)中“其他服務業(yè)”的生產總值明顯高于第一產業(yè)的生產總值，A錯誤；B選項，第三產業(yè)中“金融業(yè)”的生產總值占總生產總值的，因為，故第一產業(yè)的生產總值少于第三產業(yè)中“金融業(yè)”的生產總值，B錯誤；“住宿和餐飲業(yè)”生產總值和“房地產”生產總值的比值為，若“住宿和餐飲業(yè)”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為億元，故C錯誤；第三產業(yè)中“金融業(yè)”的生產總值占總生產總值的，與第二產業(yè)的生產總值比值為，若“金融業(yè)”生產總值為41040億元，則第二產業(yè)生產總值為166500億元，D正確.故選：D11、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負值舍去）故選：A12、B【解析】設點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準線的拋物線的標準方程.【詳解】設點位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準線的拋物線的標準方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求圓心及半徑即可.【詳解】由已知可得圓心坐標為，半徑為，所以圓的方程為：.故答案為：14、【解析】根據空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】設與的夾角為，直線與平面所成角為，所以，故答案為：15、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標式子的結果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當即，時等號成立.故答案為，【點睛】本題考查最值的求法，注意運用“1”的代換法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題16、①.13②.##3.4【解析】由題可得利用函數的單調性可得取得最大值時n的值，然后利用，即求.【詳解】∵，∴當時，單調遞減且，當時，單調遞減且，∴時，取得最大值，∴.故答案為：13；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設，以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點，在中，、分別為和中點，，又因平面平面，面，面，平面【小問2詳解】解：設，以為坐標原點如圖建系，則，，所以、，設平面的法向量則，故可取設平面的法向量，則，故可取，因為面與面的夾角余弦值為，所以，即，解得，18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）推導出平面，，，由此能證明平面（2）推導出，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小問1詳解】證明：為圓錐的高，平面，又平面，，為劣弧的中點，，，平面，平面【小問2詳解】解：解：為劣弧的三等分點（靠近點，為底面圓的直徑，為圓上一點，并且，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，設平面的法向量，，，則，取，得，，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，設二面角的平面角為，則，二面角的余弦值為19、（1）（2）【解析】（1）利用表面積公式直接計算得到答案.（2）連接和，，故即為異面直線與所成角，證明，根據長度關系得到答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖所示：連接和，，故即為異面直線與所成角，，，，故平面，平面，故，，故，直角中，，，，故異面直線與所成角的大小為.20、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面的一個法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點，又是中點，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可表示出坐標，繼而得出直線的方程，令可得的坐標，即可求出直線的斜率并得出定值.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則①，②，又③，由①②③解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：易得，，直線的方程為，因為直線不過點，所以，由，得，所以，從