廣東廣州市2025屆數學高一上期末考試試題含解析

廣東廣州市2025屆數學高一上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知正方體，則異面直線與所成的角的余弦值為A. B.C. D.2．將函數的圖像先向右平移個單位，再把所得函數圖像橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到函數的圖像，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．某同學用二分法求方程的近似解，該同學已經知道該方程的一個零點在之間，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么該近似解的精確度應該為A.0.1 B.0.01C.0.001 D.0.00014．關于，，下列敘述正確的是（）A.若，則是的整數倍B.函數的圖象關于點對稱C.函數的圖象關于直線對稱D.函數在區(qū)間上為增函數.5．已知集合，則（）A. B.C. D.6．已知函數，則（）A.3 B.2C.1 D.07．函數在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間上有零點，則的取值范圍是A. B.C. D.8．設集合，，則（）A. B.C. D.9．已知一扇形的周長為28，則該扇形面積的最大值為（）A.36 B.42C.49 D.5610．已知平面向量，，若，則實數值為（）A.0 B.-3C.1 D.-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數是偶函數，且它的值域為，則__________12．函數函數的定義域為________________13．筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史.如圖，假設在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向做每6分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心O距離水面BC的高度為1.5米，設筒車上的某個盛水筒P的切始位置為點D（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，t分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則___________14．如圖，在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐的體積的最大值是________.15．實數271316．已知是偶函數，且方程有五個解，則這五個解之和為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數且點（4,2）在函數f（x）的圖象上.(1)求函數f(x)的解析式，并在圖中的直角坐標系中畫出函數f(x)的圖象；(2)求不等式f(x)<1的解集；(3)若方程f(x)－2m＝0有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍18．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數分別為52，54，58為了預測以后各月的患病人數，甲選擇的了模型，乙選擇了模型，其中y為患病人數，x為月份數，a，b，c，p，q，r都是常數，結果4月，5月，6月份的患病人數分別為66，82，115，1你認為誰選擇的模型較好？需說明理由2至少要經過多少個月患該傳染病的人數將會超過2000人？試用你選擇的較好模型解決上述問題19．已知函數.（1）化簡；（2）若，求下列表達式的值：①；②.20．已知.（1）若關于x的不等式的解集為區(qū)間，求a的值；（2）設，解關于x的不等式.21．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側棱PD＝a，PA＝PC＝a，(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】將平移到,則異面直線與所成的角等于,連接在根據余弦定理易得【詳解】設正方體邊長為1，將平移到,則異面直線與所成的角等于，連接．則，所以為等邊三角形，所以故選A【點睛】此題考查立體幾何正方體異面直線問題，異面直線求夾角，將其中一條直線平移到與另外一條直線相交形成的夾角即為異面直線夾角，屬于簡單題目2、C【解析】先由圖象的變換求出的解析式，再由定義域求出的范圍，再利用正弦函數的圖象和性質，求得的取值范圍.【詳解】函數的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到函數的圖象，∴周期，由，則，若函數在上沒有零點，結合正弦函數的圖象觀察則∴，，解得，又，解得，當時，解得，當時，，可得，.故選：C【點睛】本題考查正弦型的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數形結合思想，構建不等關系式求解，屬于較難題.第II卷3、B【解析】令，則用計算器作出的對應值表：由表格數據知，用二分法操作次可將作為得到方程的近似解，，，近似解的精確度應該為0.01，故選B.4、B【解析】由題意利用余弦函數的圖象和性質，逐一判斷各個結論是否正確，從而得出結論.【詳解】對于A，的周期為,若，則是的整數倍,故A錯誤；對于B,當時，，則函數的圖象關于點中心對稱，B正確；對于C,當時，，不是函數最值，函數的圖象不關于直線對稱，C錯誤；對于D，，，則不單調，D錯誤故選：B.5、D【解析】求出集合A，再求A與B的交集即可.【詳解】∵，∴.故選：D.6、B【解析】先求值，再計算即可.【詳解】，，故選：B點睛】本題主要考查了分段函數求函數值，屬于基礎題.7、C【解析】分析：結合余弦函數的單調減區(qū)間，求出零點，再結合零點范圍列出不等式詳解：當，，又∵，則，即，，由得，，∴，解得，綜上.故選C.點睛：余弦函數的單調減區(qū)間：，增區(qū)間：，零點：，對稱軸：，對稱中心：，.8、D【解析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定義和運算計算即可【詳解】由題意可得，則故選：D9、C【解析】由題意，根據扇形面積公式及二次函數的知識即可求解.【詳解】解：設扇形的半徑為R，弧長為l，由題意得，則扇形的面積，所以該扇形面積的最大值為49，故選：C.10、C【解析】根據，由求解.【詳解】因為向量，，且，所以，解得，故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】展開，由是偶函數得到或，分別討論和時的值域，確定，的值，求出結果.【詳解】解：為偶函數，所以，即或，當時，值域不符合，所以不成立；當時，，若值域為，則，所以.故答案為：.12、（1,3）【解析】函數函數的定義域,滿足故答案為（1,3）.13、【解析】根據圖象及所給條件確定振幅、周期、，再根據時求即可得解.【詳解】由題意知，，，，當時，，，即，，所以，故答案為：14、【解析】過作垂直于的平面，交于點，，作，通過三棱錐體積公式可得到，可分析出當最大時所求體積最大，利用橢圓定義可確定最大值，由此求得結果.【詳解】過作垂直于的平面，交于點，作，垂足為，，當取最大值時，三棱錐體積取得最大值，由可知：當為中點時最大，則當取最大值時，三棱錐體積取得最大值.又，在以為焦點的橢圓上，此時，，，，三棱錐體積最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三棱錐體積最值的求解問題，解題關鍵是能夠將所求體積的最值轉化為線段長度最值的求解問題，通過確定線段最值得到結果.15、1【解析】直接根據指數冪運算與對數運算求解即可.【詳解】解：27故答案為：116、【解析】根據函數的奇偶性和圖象變換，得到函數的圖象關于對稱，進而得出方程其中其中一個解為，另外四個解滿足，即可求解.【詳解】由題意，函數是偶函數，可函數的圖象關于對稱，根據函數圖象的變換，可得函數的圖象關于對稱，又由方程有五個解，則其中一個解為，不妨設另外四個解分別為且，則滿足，即，所以這五個解之和為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）；（3）.【解析】（1）根據點在函數的圖象上得到，于是可得解析式，進而可畫出函數的圖象；（2）將不等式化成不等式組求解可得所求；（3）結合圖象得到的取值范圍后再求出的范圍【詳解】（1）∵點在函數圖象上，∴，∴∴.畫出函數的圖象如下圖所示（2）不等式等價于或解得，或，所以原不等式的解集為（3）∵方程f(x)－2m＝0有兩個不相等的實數根，∴函數的圖象與函數的圖象有兩個不同的交點結合圖象可得，解得∴實數的取值范圍為【點睛】（1）本題考查函數圖象的畫法和圖象的應用，根據解析式畫圖象時要根據描點法進行求解，畫圖時要熟練運用常見函數的圖象（2）根據方程根的個數（函數零點的個數）求參數的取值時，要注意將問題進行轉化兩函數圖象交點個數的問題，然后畫出函數的圖象后利用數形結合求解18、（1）應將作為模擬函數,理由見解析；（2）個月.【解析】根據前3個月的數據求出兩個函數模型的解析式，再計算4，5，6月的數據，與真實值比較得出結論；由（1），列不等式求解，即可得出結論【詳解】由題意，把，2，3代入得：，解得，，，所以，所以，，；把，2，3代入，得：，解得，，，所以，所以，，；、、更接近真實值，應將作為模擬函數令，解得，至少經過11個月患該傳染病的人數將會超過2000人【點睛】本題主要考查了函數的實際應用問題，以及指數與對數的運算性質的應用，其中解答中認真審題，正確理解題意，求解函數的解析式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.19、（1）（2）①，②；【解析】（1）直接利用誘導公式化簡即可；（2）依題意可得，再根據同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以；【小問2詳解】解：由，得①②20、（1）；（2）答案見解析.【解析】(1)先將分式不等式轉化成一元二次不等式，再根據解集與根的關系，即得結果；(2)先將分式不等式轉化成一元二次不等式，再結合根的大小對a進行分類討論求解集即可.【詳解】（1）由，得，即，即，等價于，由題意得，則；（2）即，即.①當時，不等式即為，則，此時原不等式解集為；②當時，不等式即為.1°若，則，所以，此時原不等式解集為；2°若，則，不等式為，x不存在，此時原不等式解集為；3°若，則，所以，此時原不等式解集為.【點睛】分式不等式的解法：等價于；等價于；等價于或；等價于或.21、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】(1)證明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝