數(shù)學(xué)自我小測(cè)：應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系是（）A．α〉βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A．50eq\r（2）mB．50eq\r(3）mC．25eq\r（2)mD．eq\f(25\r(2)，2)m3．如圖所示，為測(cè)一棵樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)測(cè)得樹(shù)尖的仰角分別為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為()A．（30+30eq\r(3))mB．（30＋15eq\r（3)）mC．（15＋30eq\r（3))mD．（15＋3eq\r(3）)m4．在船A上測(cè)得它的南偏東30°的海面上有一燈塔，船以每小時(shí)30海里的速度向東南方向航行半個(gè)小時(shí)后，于B處看得燈塔在船的正西方向，則這時(shí)船和燈塔相距eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin15°＝\f（\r（6)－\r(2),4））)（）A．eq\f（15（\r（6）－\r(2)）,2)海里B．eq\f(15\r（2)－5\r(6）,2）海里C．eq\f(15(\r(6)－\r(2）），4）海里D．eq\f(15\r（2）－5\r（6），4)海里5．一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°方向上,與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后，又測(cè)得燈塔S在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A．20（eq\r（6）＋eq\r(2）)海里/時(shí)B．20（eq\r(6）－eq\r（2））海里/時(shí)C．20（eq\r(6）＋eq\r(3)）海里/時(shí)D．20(eq\r(6）－eq\r(3））海里/時(shí)6．在湖面上高h(yuǎn)米處，測(cè)得天空中一朵云的仰角為α，測(cè)得云在湖中之影的俯角為β，則云距湖面的高度為_(kāi)_______米．7．如圖,某炮兵陣地位于A點(diǎn)，兩觀察所分別位于C，D兩點(diǎn)．已知△ACD為正三角形，且DC＝eq\r（3)km,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B時(shí)，測(cè)得∠CDB＝45°,∠BCD＝75°，則炮兵陣地與目標(biāo)的距離為_(kāi)_______（精確到0．01km)．8．如圖所示，飛機(jī)的航向和山頂在同一個(gè)平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔hkm，速度為vkm/s，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫棣?經(jīng)過(guò)ts后又看到山頂?shù)母┙菫棣?，求山頂?shù)暮０胃叨龋?用h，v，α，β等表示）9．在△ABC中,角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c．已知cos2A－3cos（B＋C)＝1．（1）求角A的大小;（2)若△ABC的面積S＝5eq\r（3），b＝5，求sinBsinC的值．

參考答案1.解析：要正確理解仰角、俯角的含義，準(zhǔn)確地找出仰角、俯角的確切位置,如圖，在A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯(cuò)角(根據(jù)水平線平行)，即α＝β．答案:B2。解析：在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠ABC＝30°．又AC＝50m,由正弦定理，得AB＝eq\f(AC,sin∠ABC)×sin∠ACB＝eq\f(50,sin30°）×sin45°＝100×eq\f（\r(2),2）＝50eq\r(2）(m)．答案：A3.解析：設(shè)樹(shù)高為hm．由正弦定理，得eq\f（60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°），∴PB＝eq\f(60×\f(1，2),sin15°）＝eq\f(30,sin15°），∴h＝PB·sin45°＝30＋30eq\r(3)(m)．答案：A4.解析:如圖所示，設(shè)燈塔為C，由題意可知，在△ABC中，∠BAC＝15°，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝30×0．5＝15（海里）,所以由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC）＝eq\f(AB,sinC），可求得BC＝eq\f（15，sin120°）·sin15°＝eq\f(15，\f(\r(3)，2)）×eq\f（\r(6）－\r(2),4）＝eq\f(15\r(2)－5\r（6),2)(海里)．答案:B5。答案：B6。解析：如圖，設(shè)湖面上高h(yuǎn)米處為A，測(cè)得云C的仰角為α,測(cè)得C在湖中之影D的俯角為β,CD與湖面交于M，過(guò)A的水平線交CD于E．設(shè)云高CM＝x,則CE＝x－h(huán)，DE＝x＋h，AE＝eq\f（x－h(huán),tanα)．又AE＝eq\f（x＋h,tanβ),∴eq\f（x－h(huán),tanα）＝eq\f（x＋h，tanβ）．整理，得x＝eq\f（tanβ＋tanα，tanβ－tanα）·h＝－eq\f（sin(α＋β），sin(α－β））h．答案：－eq\f（sin（α＋β),sin(α－β)）h7。解析：在△BCD中，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°．由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin75°，sin60°）＝eq\f(1,2)（eq\r（6）＋eq\r（2))．在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋eq\f(1，4)(eq\r(6）＋eq\r（2))2＋2×eq\r（3)×eq\f（1,2)（eq\r(6）＋eq\r（2)）×eq\f(1，4）（eq\r(6)－eq\r(2）)＝5＋2eq\r(3）．∴AB＝eq\r(5＋2\r(3)）≈2．91（km）．∴炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是2．91km．答案:2．91km8.解：根據(jù)題設(shè)條件，在△ABC中，∠BAC＝α,∠ABC＝180°－β,AB＝vt(km）．設(shè)山頂?shù)暮０胃叨葹閤km,則AB邊上的高為（h－x)km．在△ABC中，根據(jù)正弦定理可得eq\f（AC,sin（180°－β))＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(AC,sinβ）＝eq\f（AB，sin(β－α))＝eq\f（vt,sin(β－α)），∴AC＝eq\f（sinβ，sin(β－α))vt，∴h－x＝AC·sinα＝eq\f（sinβ·sinα,sin（β－α）)vt，∴x＝h－eq\f（sinαsinβ，sin(β－α))vt．∴山頂?shù)暮０胃叨葹閑q\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(h－\f（sinαsinβ·vt，sin(β－α））))km．9。解:（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即（2cosA－1）（cosA＋2)＝0，解得cosA＝eq\f（1，2)或cosA＝－2（舍去)．因?yàn)?〈A〈π,所以A＝eq\f（π，3)．(2)由S＝eq\f（1，2)bcsinA＝eq\f（1,2）bc·eq\f（\r（3)，2）＝eq\f(\r(3),4）bc＝5eq\r(3)，得bc＝