專(zhuān)題10.1 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題10.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【四大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】 3【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】 3【題型3涂色問(wèn)題】 4【題型4兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】 51、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義(2)能利用計(jì)數(shù)原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第9題，5分從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，往往與排列組合結(jié)合考查，難度不大.【知識(shí)點(diǎn)1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理】1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的概念完成一件事直兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有種不同的方法，，在第n類(lèi)方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.(2)分類(lèi)的原則

分類(lèi)計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類(lèi)；二是不同類(lèi)的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿(mǎn)足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說(shuō)，弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.

(2)區(qū)別

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題針對(duì)的是“分步”問(wèn)題②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事(3)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇分類(lèi)→將問(wèn)題分為互相排斥的幾類(lèi)，逐類(lèi)解決→分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；分步→將問(wèn)題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計(jì)數(shù)原理.在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意合理分類(lèi)，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【知識(shí)點(diǎn)2分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理的解題策略】1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的解題策略分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類(lèi)時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù)；(3)分類(lèi)時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理的解題策略(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿(mǎn)足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【方法技巧與總結(jié)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類(lèi)，并且只屬于其中一類(lèi).(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.【題型1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從1至7這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（

）A．9種 B．12種 C．20種 D．30種【變式1-1】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）平面上的兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(A．19 B．20 C．25 D．27【變式1-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙等6名高三同學(xué)計(jì)劃今年暑假在A,B,C,D四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲?乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有（

）A．96種 B．132種 C．168種 D．204種【變式1-3】（2024·貴州黔東南·二模）在n個(gè)數(shù)碼1,2,?,nn≤9,n∈N*的全排列j1j2?jnA．19 B．20 C．21 D．22【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過(guò)A．64種 B．48種 C．36種 D．24種【變式2-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知x∈Z，y∈Z，則滿(mǎn)足方程xy+2024(x?y)=8092的解(x,y)的個(gè)數(shù)為（

）A．27 B．54 C．108 D．216【變式2-2】（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．96種 B．60種 C．48種 D．36種【變式2-3】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）將“1，2，2，3，4，5”這6個(gè)數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域填一個(gè)數(shù)字，1不在A區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）ABCDEFA．20種 B．24種 C．36種 D．48種【題型3涂色問(wèn)題】【例3】（2024·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某社區(qū)計(jì)劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類(lèi)不同，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（

）A．360種 B．420種 C．480種 D．540種【變式3-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）為迎接元宵節(jié)，某廣場(chǎng)將一個(gè)圓形區(qū)域分成A,B,C,D,E五個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．【變式3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C，D為四個(gè)不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色，對(duì)這四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A．18 B．17 C．16【變式3-3】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類(lèi)元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國(guó)，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．30 B．120 C．150 D．240【題型4兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（

）A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)【變式4-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）用0,1,2,3,4能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個(gè).A．212 B．213 C．224 D．225【變式4-2】（24-25高三上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第1名到第4名（沒(méi)有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢(xún)問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說(shuō)：“你倆名次相鄰”，對(duì)丙說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第1名”，從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式4-3】（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個(gè)構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種一、單選題1．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（

）A．112 B．80 C．64 D．322．（2024·陜西西安·三模）方程xy=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．123．（2024·山東淄博·一模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常數(shù)e≈2.71828…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（

）A．24 B．16 C．12 D．104．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，內(nèi)科有4名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會(huì)，則所有不同的選派方案有（

）A．192種 B．180種 C．29種 D．15種5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場(chǎng)．某電影院同時(shí)段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場(chǎng)電影，則兩位同學(xué)選擇的電影不相同的概率為（

）A．16 B．12 C．136．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由1+a?1+b的展開(kāi)式1+a+b+ab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)，以此類(lèi)推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、2個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是（A．1+a+B．1+C．1+aD．1+7．（23-24高二上·山東德州·階段練習(xí)）中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．550種 B．630種C．720種 D．840種8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）距高考30天之際，高三某班級(jí)五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學(xué)準(zhǔn)備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)去游玩，已知每個(gè)景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會(huì)選，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個(gè)景點(diǎn)，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)為（

）A．18 B．36 C．48 D．32二、多選題9．（23-24高三下·全國(guó)·強(qiáng)基計(jì)劃）某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開(kāi)始走，每個(gè)點(diǎn)至多經(jīng)過(guò)一次，最終回到出發(fā)點(diǎn)．已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（

）次．A．96 B．98 C．104 D．10210．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的美，尤以對(duì)稱(chēng)美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對(duì)稱(chēng)美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說(shuō)法正確的是（

）A．四位回文數(shù)有45個(gè) B．四位回文數(shù)有90個(gè)C．2n（n∈N*）位回文數(shù)有10n個(gè) D．2n+1（n∈11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（

）A．可以圍成20個(gè)不同的正方形B．可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個(gè)不同的三角形D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形三、填空題12．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是.13．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種（用數(shù)字作答）．14．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）某排球賽共有三個(gè)組：第一、二組各有6個(gè)隊(duì)，第三組有7個(gè)隊(duì)，首先各組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共3個(gè)隊(duì)分主客場(chǎng)進(jìn)行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽一共需要比賽場(chǎng)．四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）分別編有1，2，3，4，5號(hào)碼的人與椅，其中i號(hào)人不坐i號(hào)