專題9.3 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題9.3成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1變量的相關關系】 4【題型2樣本相關系數(shù)】 6【題型3一元線性回歸模型】 8【題型4非線性回歸模型】 11【題型5殘差分析】 16【題型6列聯(lián)表與獨立性檢驗】 18【題型7獨立性檢驗與其他知識綜合】 211、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義(2)了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運用這些方法解決簡單的實際問題(3)會利用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析2022年新高考全國I卷：第20題，12分2023年全國甲卷（文數(shù)、理數(shù)）：第19題，12分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第18題，12分2024年天津卷：第3題，5分2024年上海卷：第13題，5分、第19題，12分成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析是高考的重點、熱點內容，從近幾年的高考情況來看，主要以解答題的形式考查，一般會與概率等知識結合考查，綜合性強，難度中等；有時也會在選擇、填空題中出現(xiàn)，難度不大；復習時要加強此類問題的訓練.【知識點1變量的相關關系】1．變量的相關關系(1)函數(shù)關系

函數(shù)關系是一種確定性關系，常用解析式來表示.

(2)相關關系

兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非確定性關系.2．散點圖(1)散點圖

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.

(2)正相關和負相關

如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關.3．線性相關一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，則稱這兩個變量線性相關.【知識點2樣本相關系數(shù)】1．樣本相關系數(shù)(1)對于變量x和變量y，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用相關系數(shù)r來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，相關系數(shù)r的計算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關.這時，當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變??；當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關.這時，當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小.【知識點3一元線性回歸模型】1．一元線性回歸模型把式子為Y關于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.2．線性經驗回歸方程與最小二乘法設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，顯然||越小，表示樣本數(shù)據(jù)點離直線y=bx+a的豎直距離越小.

通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和Q=來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.當a，b的取值為時，Q達到最小.將=x+稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數(shù)或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計.

經驗回歸直線一定過點(,).3．殘差分析對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.4．回歸分析的三大常用結論(1)求解經驗回歸方程的關鍵是確定回歸系數(shù)，應充分利用回歸直線過樣本點的中心.(2)根據(jù)經驗回歸方程計算的值，僅是一個預報值，不是真實發(fā)生的值.(3)根據(jù)的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度，若越大，則兩分類變量有關的把握越大.【知識點4列聯(lián)表與獨立性檢驗】1．2×2列聯(lián)表假設兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為XY合計y1y2x1aba+bx2cdc+d合計a+cb+da+b+c+d2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).2．獨立性檢驗(1)假定通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d則.(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.

(3)獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.3．獨立性檢驗的應用問題的解題策略解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計算；(3)通過比較與臨界值的大小關系來作統(tǒng)計推斷.【方法技巧與總結】1．經驗回歸直線過點.2．求時，常用公式.3．回歸分析和獨立性檢驗都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進行估計或推斷，得出的結論都可能犯錯誤.【題型1變量的相關關系】【例1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知變量x與y的回歸直線方程為y=3x?1，變量y與z負相關，則（

）A．x與y負相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y負相關，x與z正相關 D．x與y正相關，x與z負相關【解題思路】根據(jù)已知條件，結合回歸方程可判斷x與y正相關，再由變量y與z負相關，即可判斷x與z負相關.【解答過程】根據(jù)回歸方程y=3x?1可知變量x與y正相關，又變量y與z負相關，由正相關、負相關的定義可知，x與z負相關.故選：D.【變式1-1】（23-24高二下·北京豐臺·期末）在一般情況下，下列各組的兩個變量呈正相關的是（

）A．某商品的銷售價格與銷售量 B．汽車勻速行駛時的路程與時間C．氣溫與冷飲的銷售量 D．人的年齡與視力【解題思路】根據(jù)相關關系的概念逐項判定，即可求解.【解答過程】對于A，某商品的銷售價格與銷售量呈負相關關系，故錯誤；對于B，汽車勻速行駛時的路程與時間是函數(shù)關系，故錯誤；對于C，氣溫與冷飲的銷售量呈正相關，故正確；

對于D，人的年齡與視力呈負相關，故錯誤.故選：C.【變式1-2】（23-24高二下·四川眉山·期末）根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比．測得一根彈簧伸長長度x和相應所受外力F的一組數(shù)據(jù)如下：編號123456x11.21.41.61.82.0F3.083.764.315.025.516.25據(jù)此給出以下結論：①這兩變量不相關；②這兩個變量負相關；③這兩個變量正相關．其中所有正確結論的個數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【解題思路】根據(jù)散點圖判斷.【解答過程】畫出彈簧伸長長度x和相應所受外力F的散點圖，可以判斷這兩變量相關，且為正相關，故①②錯誤，③正確.故選：C.【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）觀察下列散點圖，其中兩個變量的相關關系判斷正確的是（

）A．a為正相關，b為負相關，c為不相關 B．a為負相關，b為不相關，c為正相關C．a為負相關，b為正相關，c為不相關 D．a為正相關，b為不相關，c為負相關【解題思路】根據(jù)給定的散點圖，結合相關性，即可求解.【解答過程】根據(jù)給定的散點圖，可得a中的數(shù)據(jù)分布在左下方到右上方的區(qū)域里，為正相關，b中的數(shù)據(jù)分布在左上方到右下方的區(qū)域里，為負相關，c中的數(shù)據(jù)各點分布不成帶狀，相關性不明確，不相關.故選：A.【題型2樣本相關系數(shù)】【例2】（2024·上?！と＃┥虾０俾?lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖，則下述大小關系正確的為（

）．A．r1>r2>r3 B．【解題思路】根據(jù)散點圖判斷兩變量的線性相關性，再根據(jù)線性相關性與相關系數(shù)的關系判斷即可.【解答過程】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關，且線性相關性較強，故r1圖二、圖三兩個變量都成負相關，且圖二的線性相關性更強，故r2<0，r3<0，r2故選：C.【變式2-1】（23-24高二上·遼寧·期末）在一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1、x2,y2、?、xn,ynn≥2、xA．2 B．?2 C．?1 D．1【解題思路】根據(jù)相關系數(shù)的與線性相關關系可得解.【解答過程】因為所有的樣本點都在直線y=?2x+1上，所以相關系數(shù)r滿足r=1又因為?2<0，所以r<0，所以r=?1.故選：C.【變式2-2】（2024·四川成都·二模）對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)xi,yii∈N*，得散點圖1；對變量u,v有觀測數(shù)據(jù)ui,viA．變量x與y呈現(xiàn)正相關，且r1<r2 B．變量xC．變量x與y呈現(xiàn)正相關，且r1>r2 D．變量x【解題思路】利用散點圖，結合相關系數(shù)的知識可得答案.【解答過程】由題意可知，變量x,y的散點圖中，y隨x的增大而增大，所以變量x與y呈現(xiàn)正相關；再分別觀察兩個散點圖，圖1比圖2點更加集中，相關性更好，所以線性相關系數(shù)r1故選：C.【變式2-3】（2024·湖南·模擬預測）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導下對近段時間騎行鍛煉情況進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計每次騎行期間的身體綜合指標評分x與騎行用時y（單位：小時）如下表：身體綜合指標評分x12345用時(y/小時）9.58.87.876.1由上表數(shù)據(jù)得到的正確結論是（

）參考數(shù)據(jù)：i=1參考公式：相關系數(shù)r=i=1A．身體綜合指標評分x與騎行用時y正相關B．身體綜合指標評分x與騎行用時y的相關程度較弱C．身體綜合指標評分x與騎行用時y的相關程度較強D．身體綜合指標評分x與騎行用時y的關系不適合用線性回歸模型擬合【解題思路】求出相關系數(shù)，根據(jù)相關系數(shù)的大小確定答案即可.【解答過程】因為相關系數(shù)r=i=1即相關系數(shù)近似為?1,y與x負相關，且相關程度相當高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關系.所以選項ABD錯誤，C正確.故選：C.【題型3一元線性回歸模型】【例3】（2024·全國·模擬預測）2023年第19屆亞運會在杭州舉行，亞運會的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量，如表所示：若y與x線性相關，且線性回歸方程為y=?0.6x+a，則下列說法不正確的是（時間x12345銷售量y/萬只54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關B．當x=5時，殘差為0.2C．可以預測當x=6時銷量約為2.1萬只D．線性回歸方程y=?0.6x+a【解題思路】對于選項A，利用表中數(shù)據(jù)變化情況或看回歸方程的b正負均可求解；對于選項B，利用樣本中心點求出線性回歸方程，再利用回歸方程即可求出預測值，進而可求出殘差；對于選項C，利用回歸方程即可求出預測值；對于選項D，利用回歸方程一定過樣本中心點即可求解.【解答過程】對于選項A，從數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而減小，所以變量y與x負相關，故A正確；對于選項B，由表中數(shù)據(jù)知x=1+2+3+4+55所以樣本中心點為(3,3.9)，將樣本中心點(3,3.9)代入y=?0.6x+a中得所以線性回歸方程為y=?0.6x+5.7，所以y5=?0.6×5+5.7=2.7對于選項C，當x=6時銷量約為y=?0.6×6+5.7=2.1對于選項D，由B選項可知a=3.9+1.8=5.7故選：B.【變式3-1】（2024·河北滄州·二模）隨著“一帶一路”經貿合作持續(xù)深化，西安某地對外貿易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場都在搞“6?18”促銷活動.市物價局派人對某商品同一天的銷售量及其價格進行調查，得到該商品的售價x（單位：元）和銷售量y（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：x2025303540y578911用最小二乘法求得y與x之間的經驗回歸方程是y=0.28x+a，當售價為45元時，預測該商品的銷售量件數(shù)大約為（A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2【解題思路】求出x，y，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點x,y求出【解答過程】因為x=15所以回歸直線y=0.28x+a過點30,8，故8=0.28×30+a所以y=0.28x?0.4，將x=45代入y=0.28x?0.4中，得即當售價為45元時，該商品的銷售量件數(shù)大約為12.2百件.故選：D.【變式3-2】（2024·青海西寧·二模）只要騎車，都應該戴頭盔．騎行頭盔是騎行中生命堅實的保護屏障．騎行過程中的摔倒會對頭部造成很大的損害，即使騎行者是以較低的車速沿著坡度平穩(wěn)的自行車道騎行，也同樣不可忽視安全問題．佩戴頭盔的原因很簡單也很重要——保護頭部，減少傷害．相關數(shù)據(jù)表明，在每年超過500例的騎車死亡事故中，有75%的死亡原因是頭部受到致命傷害造成的，醫(yī)學研究發(fā)現(xiàn)，騎車佩戴頭盔可防止85%的頭部受傷，并且大大減小了損傷程度和事故死亡率．某市對此不斷進行安全教育，下表是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設備抓拍到通過該路口的騎電動車不戴頭盔的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20192020202120222023年份序號x12345不戴頭盔人數(shù)y1450130012001100950(1)求不戴頭盔人數(shù)y與年份序號x之間的線性回歸方程；(2)預測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)．參考公式：回歸方程y=bx+【解題思路】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出x，y，i=15xi?x2，（2）求出x=6時y即可得解.【解答過程】（1）由題意知x=1+2+3+4+55所以i=15i=15xi所以b=所以a=所以不戴頭盔人數(shù)y與年份序號x之間的線性回歸方程為y=?120x+1560（2）當x=6時，y=?120×6+1560=840即預測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)為840．【變式3-3】（2024·吉林延邊·二模）我國為全面建設社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額x（單位：百萬元）對年收入的附加額y（單位：百萬元）的影響，對往年研發(fā)資金投入額xi和年收入的附加額y投入額x234568911年收入的附加額y3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求年收入的附加額y與投入額x的經驗回歸方程；(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1，則稱對應的投入額為“優(yōu)秀投資額”，現(xiàn)從上面8個投入額中任意取3個，用X表示這3個投入額為“優(yōu)秀投資額”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．【參考數(shù)據(jù)】i=18xiyi【附】在經驗回歸方程y=bx+a中，【解題思路】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可出y與投入額x的經驗回歸方程；（2）求出X的所有可能取值和對應的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案.【解答過程】（1）x=2+3+4+5+6+8+9+118b=又因為a=y?所以年收入的附加額y與投入額x的線性回歸方程為y（2）8個投入額中，“優(yōu)秀投資額”的個數(shù)為5個，故X的所有可能取值為0，1，2，3，PX=0=C33C則X的分布列為X0123P115155EX=0×1【題型4非線性回歸模型】【例4】（2024·陜西安康·模擬預測）隨著移動互聯(lián)網和直播帶貨技術的發(fā)展，直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統(tǒng)計了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個月的銷售量yi(萬件)(i=1,2,3,4,5)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點圖．其中6月份至10月份相應的代碼為xi(i=1,2,3,4,5)(1)根據(jù)散點圖判斷，模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2哪一個更適宜作為月銷售量y關于月份代碼(2)（i）根據(jù)（1）的判斷結果，建立y關于x的回歸方程;(計算結果精確到0.01)（ⅱ）根據(jù)結果預測12月份的銷售量大約是多少萬件?參考公式與數(shù)據(jù):b=i=1nxi?xyi?yi=1n【解題思路】（1）根據(jù)散點圖結合一次函數(shù)以及二次函數(shù)圖象特征分析判斷；（2）（i）令t=x（ⅱ）令x=7，代入回歸方程運算求解即可.【解答過程】（1）由散點圖可知增加幅度不一致，且散點圖接近于曲線，非線性，結合圖象故選模型②y=c+dx（2）（i）令t=x2，則可得t=15則d=i=15所以y關于t的回歸方程為y=1.65+0.25t即y關于x的回歸方程y=1.65+0.25（ⅱ）令x=7，可得y=1.65+0.25×預測12月份的銷售量大約是13.9萬件.【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）腦機接口，即指在人或動物大腦與外部設備之間創(chuàng)建的直接連接，實現(xiàn)腦與設備的信息交換.近日埃隆.馬斯克宣布，腦機接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請，該試驗可以實現(xiàn)意念控制手機和電腦.未來10到20年，我國腦機接口產業(yè)將產生數(shù)百億元的經濟價值.為了適應市場需求，同時兼顧企業(yè)盈利的預期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經過調研，得到年收益增量y（單位：億元）與研發(fā)人員增量x（人）的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①y=bx+a，②y=c+dx根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到下表數(shù)據(jù)，其中tiyti=1i=1i=1i=17.52.2582.504.5012.142.88(1)根據(jù)殘差圖，判斷應選擇哪個模型；（無需說明理由）(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出y關于x的經驗回歸方程；并用該模型預測，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）附：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)x1,y1【解題思路】（1）根據(jù)殘差圖分析判斷；（2）令t=x,y與t可用線性回歸來擬合，有y=c+dt，然后根據(jù)公式結合已知的數(shù)據(jù)求出c,d，從而可求出y關于t【解答過程】（1）選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點比較均勻在落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預報精度相應就會越高，所以模型②比較合適.（2）根據(jù)模型②，令t=x,y與t可用線性回歸來擬合，有則d=i=1則y關于t的經驗回歸方程為y^=0.64t+6.06，所以y關于x的經驗回歸方程為由題意，y^=0.64x+6.06>8，解得x>97所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人.【變式4-2】（2024·福建南平·模擬預測）某大型商場的所有飲料自動售賣機在一天中某種飲料的銷售量y（單位：瓶）與天氣溫度x（單位：℃）有很強的相關關系，為能及時給飲料自動售賣機添加該種飲料，該商場對天氣溫度x和飲料的銷售量y進行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：x10152025303540y41664256204840968192經分析，可以用y=a?2kx作為y關于(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關于x的經驗回歸方程(結果保留兩位小數(shù))；(2)若飲料自動售賣機在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動售賣機在一天中需添加飲料的概率均為13，在商場的所有飲料自動售賣機中隨機抽取3臺，記總得分為隨機變量X，求X參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)x1,y1【解題思路】（1）設z=log2y,m=log2a，轉化為z=kx+m，利用最小二乘法，求得k=（2）根據(jù)題意，得到變量X的可能取值為3,4,5,6，利用獨立重復試驗的概率公式，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.【解答過程】（1）解：設z=log2y,m=log2因為log24=2,loglog28192=13，所以由表中的數(shù)據(jù)可得x=則i=17所以k=則m=z?所以y關于x的經驗回歸方程為y^（2）解：由題意，隨機變量X的可能取值為3,4,5,6，可得PX=3=2PX=5=C所以變量X的分布列為X3456P8421所以，期望為E【變式4-3】（2024·重慶·二模）某商場推出“云閃付”購物活動，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引了越來越多的顧客使用這種支付方式.現(xiàn)統(tǒng)計了活動剛推出一周內每天使用“云閃付”支付的人數(shù)，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用該支付方式的人數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：x1234567y613254073110201根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內，支付的人數(shù)y關于天數(shù)x的回歸方程適合用y=c?d(1)求該回歸方程，并預測活動推出第8天使用“云閃付”的人數(shù)；（lgc,(2)推廣期結束后，商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計，結果如下表：支付方式云閃付會員卡其它支付方式比例303040商場規(guī)定：使用會員卡支付的顧客享8折，“云閃付”的顧客隨機優(yōu)惠，其它支付方式的顧客無優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用“云閃付”的顧客，享7折的概率為13，享8折的概率為16，享9折的概率為12.設顧客購買標價為a元的商品支付的費用為X，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率估計相應事件發(fā)生的概率，寫出X參考數(shù)據(jù)：設vi參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【解題思路】（1）由y=c?d（2）根據(jù)概率的乘法公式進行求解列出分布列，根據(jù)期望公式計算結果.【解答過程】（1）由y=c?dx，得lgy=lgc+lgd?x，設v=x=4,lgd=把樣本中心點4,1.59代入方程得lgc=所以v=0.24x+0.63，即lg其回歸方程為y=當x=8時，y=（2）X的可能取值為：0.7a,0.8a,0.9a,a.PP分布列如下：X0.7a0.8a0.9aaP0.10.350.150.4所以，購物的平均費用為：EX【題型5殘差分析】【例5】（2024·河南·模擬預測）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，，xn,yA．38.1 B．22.6 C．?38.1 D．91.1【解題思路】對于響應變量y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)為觀測值，通過線性回歸方程得到y(tǒng)的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差.【解答過程】因為觀測值減去預測值稱為殘差，所以當x=9時，y=?30.4+13.5×9=91.1所以殘差為53?91.1=?38.1.故選：C.【變式5-1】（2024·河北石家莊·三模）下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是（

）A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)一元線性回歸模型對隨機誤差的假定即可判斷結果.【解答過程】圖A顯示殘差與觀測時間有非線性關系，應在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分；圖B說明殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間變大而變大；圖C顯示殘差與觀測時間有線性關系，應將時間變量納入模型；圖D的殘差較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內，可見D滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假定．故選：D．【變式5-2】（23-24高二下·河北唐山·階段練習）某種產品的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下表關系：x24568y3040605070y與x的線性回歸方程為y=6.5x+17.5，當廣告支出5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為（

A．?10 B．?20 C．20 D．10【解題思路】隨機誤差的效應（殘差）為觀測值減去預測值【解答過程】當廣告支出5萬元時，觀測值為60，預測值為y=6.5×5+17.5=50，則隨機誤差的效應（殘差）為60?50=10故選：D.【變式5-3】（23-24高二下·安徽·階段練習）設某制造公司進行技術升級后的第x個月（x=1,2,3,4,5）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求得y關于x的經驗回歸方程為y=6x+3，若x=1時的觀測值y=10，則x=1時的殘差為（

A．?1 B．1 C．3 D．6【解題思路】利用殘差的定義求解.【解答過程】解：因為x=1時的預測值為y^所以殘差為10?9=1．故選：B．【題型6列聯(lián)表與獨立性檢驗】【例6】（2024·上海閔行·二模）某疾病預防中心隨機調查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，調查數(shù)據(jù)如下表：不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計134205339假設H0：患慢性氣管炎與吸煙沒有關系，即它們相互獨立.通過計算統(tǒng)計量χ2，得χ2≈7.468，根據(jù)χ2分布概率表:P(χ2≥6.635)≈0.01，①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于5%②有99%③χ2分布概率表中的0.05、0.01A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】根據(jù)χ2【解答過程】解：因為χ2≈7.468，且所以有99%即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于5%故①②正確；χ2分布概率表中的0.05、0.01故選：D.【變式6-1】（2024·遼寧鞍山·二模）校數(shù)學興趣社團對“學生性別和選學生物學是否有關”作了嘗試性調查．其中被調查的男女生人數(shù)相同．男生選學生物學的人數(shù)占男生人數(shù)的45，女生選學生物學的人數(shù)占女生人數(shù)35．若有90%附表：P0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828其中，K2A．20 B．30 C．35 D．40【解題思路】借助卡方計算即可得.【解答過程】設總人數(shù)為2n，則男生選學生物學的人數(shù)為45n，女生選生物學的人數(shù)為則K2即n≥2.706×212≈28.413，又n為5故選：A.【變式6-2】（2024高三·全國·專題練習）某醫(yī)院對治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進行治療，統(tǒng)計結果如下：有效無效合計使用方案A組96120使用方案B組72合計32(1)完成上述列聯(lián)表，并比較兩種治療方案有效的頻率；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為治療是否有效與方案選擇有關？附：K2P(K20.0050.0100.001k03.8416.63510.828【解題思路】(1)根據(jù)合計數(shù)可以完善表格，結合頻數(shù)可得頻率；(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和卡方公式，計算觀測值，比較觀測值和臨界值可得結論.【解答過程】解：(1)列聯(lián)表如下：有效無效合計使用方案A組9624120使用方案B組72880合計16832200使用方案A組有效的頻率為96120＝0.8；使用方案B組有效的頻率為72(2)K2所以，不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為治療是否有效與方案選擇有關．【變式6-3】（2024·上?！じ呖颊骖}）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學業(yè)成績0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？(2)估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有95%（附：χ2=n(ad?bc)2【解題思路】（1）求出相關占比，乘以總人數(shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設，計算卡方值和臨界值比較大小即可得到結論.【解答過程】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比179+43+28580則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為29000×25（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為15800.52則估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.（3）由題列聯(lián)表如下：1,2其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設H0其中α=0.05．χ2則零假設不成立，即有95%【題型7獨立性檢驗與其他知識綜合】【例7】（2024·江蘇南通·模擬預測）跑步是人們日常生活中常見的一種鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，抑制人體癌細胞生長和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調查機構在一小區(qū)隨機抽取了40人進行調查，統(tǒng)計結果如下表.喜歡不喜歡合計男12820女101020合計221840(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認為人們對跑步的喜歡情況與性別有關？(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經驗，張先生跑步上班準時到公司的概率為23，張先生跑步上班遲到的概率為13.對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準時到公司，當天就繼續(xù)跑步上班，否則，當天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準時到達公司）.設從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學期望附：χ2=nP0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828【解題思路】（1）由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2（2）由題意，得到變量X的可能取值為1,2,3,4，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.【解答過程】（1）解：假設H0根據(jù)題意，由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2因為Pχ（2）解：由題意，隨機變量X的所有可能取值分別為1,2,3,4，可得PX=1=13，PX=4所以變量X的概率分布為X1234P1248所以，期望為EX【變式7-1】（2024·安徽蕪湖·三模）在學校食堂就餐成為了很多學生的就餐選擇．現(xiàn)將一周內在食堂就餐超過3次的學生認定為“喜歡食堂就餐”，不超過3次的學生認定為“不喜歡食堂就餐”．學校為了解學生食堂就餐情況，在校內隨機抽取了100名學生，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：男生女生合計喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計5050100(1)依據(jù)小概率值α=0．(2)該校甲同學逢星期二和星期四都在學校食堂就餐，且星期二會從①號、②號兩個套餐中隨機選擇一個套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為45；若星期二選擇了②號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為23，求甲同學星期四選擇(3)用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“X=k”的概率為PX=k，求使PX=k取得最大值時參考公式：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解題思路】（1）計算χ2（2）全概率公式計算概率；（3）依題意可得ξ～B10，35，即可得到【解答過程】（1）H0由列聯(lián)表可得χ所以依據(jù)小概率值α=0．（2）記星期二選擇了①號套餐為事件A1，選擇②號套餐為A星期四選擇了①號套餐為事件B1，選擇②號套餐為B則PA所以PB所以PB（3）依題意可得學生“喜歡飯?zhí)镁筒汀钡母怕蔖=60則ξ～B10，35，所以若Pξ=k取得最大值，則PC即25≥又0≤k≤10且k∈N，所以k=6【變式7-2】（2024·湖南邵陽·三模）某市開展“安全隨我行”活動，交警部門在某個交通路口增設電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)y與天數(shù)x的情況，對統(tǒng)計得到的樣本數(shù)據(jù)xixyYi=1i=1i=15.58.71.930138579.75表中Yi=ln(1)依據(jù)散點圖推斷，y=bx+a與y=ebx+a哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)(2)依據(jù)（1）的結果和上表中的數(shù)據(jù)求出y關于x的回歸方程.(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關聯(lián)性，交警對該路口騎電動摩托車市民進行調查，得到如下列聯(lián)表：性別佩戴頭盔合計不佩戴佩戴女性81220男性14620合計221840依據(jù)α=0.10的獨立性檢驗，能否認為市民騎電動摩托車佩戴頭盔與性別有關聯(lián)？參考公式：b=i=1nxiyiα0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解題思路】（1）根據(jù)散點圖的形狀，可判斷更適宜作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)x的回歸方程類型.（2）將y=e（3）應用卡方公式求卡方值，由獨立性檢驗的基本思想下結論即可.【解答過程】（1）依據(jù)散點圖可以判斷，y=ebx+a更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)（2）由Yi=ln依題意得b=a=所以Y=?0.3x+3.55，即y=e（3）零假設H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經計算得到：χ2根據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗，我們推斷H0此推斷犯錯誤的概率不超過0.10.【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預測）某醫(yī)療科研小組為研究某市市民患有疾病A與是否具有生活習慣B的關系，從該市市民中隨機抽查了100人，得到如表數(shù)據(jù)．（注：用M表示M的對立事件）疾病A生活習慣B具有不具有患病2515未患病2040(1)是否有超過99%的把握認為，該市市民患有疾病A與是否具有生活習慣B(2)從該市市民中任選一人，M表示事件“選到的人不具有生活習慣B”，N表示事件“選到的人患有疾病A”，試利用該調查數(shù)據(jù)，求PN(3)從該市市民中任選3人，記這3人中具有生活習慣B，且未患有疾病A的人數(shù)為X，試利用該調查數(shù)據(jù)，求X的數(shù)學期望的估計值．附：k2=nα0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【解題思路】（1）先完善列聯(lián)表，然后根據(jù)公式計算卡方，對照臨界值表即可得結論；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別求出P(M（3）由二項分布的期望公式可得.【解答過程】（1）由已知得列聯(lián)表如下:疾病A生活習慣B合計具有不具有患病251540未患病204060合計4555100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經計算得：k故有超過99%的把握認為，該市市民患有疾病A與是否具有生活習慣B（2）由（1）數(shù)據(jù)可得:P(M所以P(N（3）由（2）知，P(N所以X~B3,15，所以E(X)一、單選題1．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習）已知變量x和y滿足關系y=?x+1，變量y與z正相關，則（

）A．x與y負相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y正相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關【解題思路】根據(jù)關系式判斷x,y負相關，再由變量y與z正相關可得x,z負相關即可判斷.【解答過程】因為變量x和y滿足關系y=?x+1，變量y與z正相關，由正相關、負相關的定義可知x與y負相關，x與z負相關.故選：A.2．（2024·廣西貴港·模擬預測）下列說法中錯誤的是（

）A．獨立性檢驗的本質是比較觀測值與期望值之間的差異B．兩個變量x，y的相關系數(shù)為r，若r越接近1，則x與y之間的線性相關程度越強C．若一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)（D．由一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)（i=1,2,3,?,n【解題思路】根據(jù)獨立檢驗和線性回歸方程的相關性質進行判斷，得到答案.【解答過程】A，獨立性檢驗的本質是比較觀測值與期望值之間的差異，從而確定研究對象是否有關聯(lián)，A正確；B，兩個變量x，y的相關系數(shù)為r，若r越接近1，則x與y之間的線性相關程度越強，B正確；C，若一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)（D，由殘差分析可知，i=1n故選：C.3．（2024·上?！つM預測）在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,n所對應的點均在直線y=?12A．?1 B．1 C．?12【解題思路】結合回歸方程，根據(jù)線性相關系數(shù)的性質可得結論.【解答過程】因為樣本數(shù)據(jù)所對應的點都在直線y=?1所以變量y,x為負相關關系，且r=?1，故選：A．4．（2024·江西南昌·三模）如圖對兩組數(shù)據(jù)x，y和v，u分別進行回歸分析，得到散點圖如圖，并求得線性回歸方程分別是y=b1x+a1和u=b2v+a2，并對變量x，y進行線性相關檢驗，得到相關系數(shù)A．b1>0 B．b2<0 C．【解題思路】由兩散點圖中散點的位置關系直接得答案.【解答過程】由散點圖可知，x與y負相關，v與u正相關，則b1<0，且圖形中點x,y比v,u更加集中在一條直線附近，則r1>r2，又r1故C錯誤，D正確.故選：D.5．（2024·湖南邵陽·三模）某學習小組對一組數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,7進行回歸分析，甲同學首先求出回歸直線方程y=5x+4，樣本點的中心為2,m.乙同學對甲的計算過程進行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)2,3誤輸成3,2，將這兩個數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程A．5013 B．2533 C．1123【解題思路】根據(jù)題意分析求得x2+x【解答過程】由題意可得m=5×2+4=14，即修正前的樣本中心點為2,14，假設甲輸入的x1,y則3+x2+且2+y2+則改為正確數(shù)據(jù)后，則x=17所以修正后的樣本中心點為137將點137,997代入回歸直線方程y=kx+7故選：A.6．（2024·湖北荊州·三模）根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+eEe=0,De=A．滿足一元線性回歸模型的所有假設B．不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0的假設C．不滿足一元線性回歸模型的D(e)=σD．不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0和D(e)=σ【解題思路】根據(jù)一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=【解答過程】用一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2根據(jù)對應的殘差圖，殘差的均值E(e)=0不可能成立，且殘差圖中的點分布在一條拋物線形狀的彎曲帶狀區(qū)域上，說明殘差與坐標軸變量有二次關系，D(e)=σ故選：D.7．（2024·天津河北·二模）云計算是信息技術發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司2018年至2022年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模y與年份代碼x的關系可以用模型y=c1ec2年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼x12345z=ln22.433.64由上表可得經驗回歸方程z=0.52x+a，則2026年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為（

（參考公式：a=A．e5.08 B．e5.6 C．e6.12【解題思路】根據(jù)a=z?bx可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2026年【解答過程】因為x所以a=即經驗回歸方程z=0.52x+1.44當x=9時，z=0.52×9+1.44=6.12所以y=即2026年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為e6.12故選：C.8．（2024·四川成都·三模）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀甲班10b乙班c30附：K2=nP0.050.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為27，則下列說法正確的是（

A．甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)B．甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率C．表中c的值為15，b的值為50D．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%【解題思路】根據(jù)條件解出b=45，c=20，然后直接計算即可判斷A，B，C錯誤，使用K2的計算公式計算K2，并將其與【解答過程】對于C，由條件知10+b+c+30=105，10+c105=27，故所以b=45，c=20，故C錯誤；對于A，由于甲班人數(shù)為10+b=10+45=55，乙班人數(shù)為c+30=20+30=50<55，故A錯誤；對于B，由于甲班優(yōu)秀率為1055=2對于D，由于K2故選：D.二、多選題9．（2024·廣東東莞·三模）下列選項中正確的有（

）A．若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數(shù)r的絕對值越接近于1B．在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高C．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N2,σD．若數(shù)據(jù)2x1+1,2【解題思路】對于AB，結合相關系數(shù)，殘差的定義，即可求解；對于C，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解；對于D，結合方差的線性公式，即可求解．【解答過程】若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數(shù)|r|的值越接近于1，故A正確；在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，故B正確；隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ則P(2<X<4)=P(X<4)?P(X≤2)=0.8?0.5=0.3，故C錯誤；設數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為m，因為數(shù)據(jù)2x1+1，則22×m=8，解得故選：ABD.10．（2024·湖北武漢·模擬預測）某科技公司統(tǒng)計了一款App最近5個月的下載量如表所示，若y與x線性相關，且線性回歸方程為y^=?0.6x+a月份編號x12345下載量y（萬次）54.543.52.5A．y與x負相關 B．aC．預測第6個月的下載量是2.1萬次 D．殘差絕對值的最大值為0.2【解題思路】對于A：根據(jù)回歸方程分析判斷；對于B：根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，運算求解；對于C：根據(jù)回歸方程進而預測；對于D：根據(jù)題意結合殘差的定義分析判斷.【解答過程】對于A：因為?0.6<0，所以變量y與x負相關，故A正確；對于B：x=y=y=?0.6x+a，則解得a=5.7，故B對于C：當x=6時，y=?0.6×6+5.7=2.1故可以預測第6個月的下載量約為2.1萬次，故C正確；對于D：當x=1時，y1=?0.6×1+5.7=5.1，當x=2時，y2=?0.6×2+5.7=4.5，當x=3時，y3=?0.6×3+5.7=3.9，當x=4時，y4=?0.6×4+5.7=3.3，當x=5時，y5=?0.6×5+5.7=2.7，故殘差絕對值的最大值為0.2，故D正確.故選：ACD.11．（2024·廣東江門·模擬預測）某中學為更好的開展素質教育，現(xiàn)對外出研學課程是否和性別有關做了一項調查，其中被調查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學課程的人數(shù)占男生總人數(shù)的35，女生中選修外出研學課程的人數(shù)占女生總人數(shù)的12．若依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，可以認為“選修外出研學課程與性別有關”．則調查人數(shù)中男生可能有（男生女生合計選修外出研學課程aba+b未選修外出研學課程cdc+d合計a+cb+d附：P0.050.010k3.8416.635K2=A．150人 B．225人 C．300人 D．375人【解題思路】設男生人數(shù)為5nn∈N?，根據(jù)題意用n表示出女生人數(shù)、男生中“選修外出研學課程”人數(shù)、女生中“選修外出研學課程”人數(shù)，進而表示出表格中其它人數(shù)，利用公式計算出K2，由【解答過程】設男生人數(shù)為5nn∈N?男生女生合計選修外出研學課程3n5n11n不選修外出研學課程2n5n9n合計5n5n10n則K2若有95%的把握認為喜歡選修外出研學課程與性別有關，則10n解得n>38.03，則5n>190.13．故選：BCD．三、填空題12．（2024·全國·模擬預測）某試驗小組收集了部分父親和兒子的身高數(shù)據(jù)，通過測量與回歸方程計算得到如下五組兒子身高的觀測值與估計值，則該組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的決定系數(shù)R2=兒子身高觀測值/cm161.3167.7170.0173.5177.5兒子身高估計值/cm161.3167.7170.0173.5177.5【解題思路】根據(jù)決定系數(shù)的意義及表格中的數(shù)據(jù)即可求解.【解答過程】因為決定系數(shù)R2從表中數(shù)據(jù)可知沒有誤差，所以R2故答案為：1．13．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知某品牌的新能源汽車的使用時間x（年）與維護費用y（千元）之間有如下數(shù)據(jù)：使用時間x（年）246810維護費用y（千元）2.43.24.46.87.6若x與y之間具有線性相關關系，且y關于x的線性回歸方程為y=0.7x+a．據(jù)此估計，該品牌的新能源汽車的使用時間為12年時，維護費用約為【解題思路】求出x,y，得到樣本中心點坐標，將其代入回歸方程可求出a，然后將【解答過程】由題意可得x=2+4+6+8+10由于回歸直線過樣本的中心點，所以0.7×6+a=4.88，解得所以回歸直線方程為y=0.7x+0.68，當x=12時，y所以當該品牌的新能源汽車的使用時間為12年時，維護費用約為9.08千元．故答案為：9.08.14．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用m50?m50未服用80?mm?3050合計8020100取顯著性水平α=0.05，若本次考察結果支持“藥物對疾病預防有顯著效果”，則m(m≥40,m∈N)的最小值為44．(參考公式：χ2=n【解題思路】由題意列出不等式，結合近似計算求出m的取值范圍，即可得答案.【解答過程】由題意可知χ2則(100m?4000)2解得m≥43.92或m≤36.08，而m≥40,m∈N，故m的最小值為44.故答案為：44.四、解答題15．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應年份2015~2023．已知i=19yi≈12000，i=19(1)可否用線性回歸模型擬合y與t的關系？請分別根據(jù)折線圖和相關系數(shù)加以說明．(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型y=?138t+2025附：相關系數(shù)r=i=1【解題思路】（1）根據(jù)題意，由相關系數(shù)的計算公式代入計算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由線性回歸方程的意義，即可判斷.【解答過程】（1）從折線圖看，各點落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系，由題意知t=相關系數(shù)r=i=1故可以用線性回歸模型擬合y與t的關系．（2）可以預測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預測2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認為短期內氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型進行預測；②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預測可能是不準確的．16．（2024·青?！ざ＃┠称髽I(yè)近年來的廣告費用x（百萬元）與所獲得的利潤y（千萬元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關關系.年份20182019202020212022廣告費用x/百萬元1.51