2021年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程 學(xué)案 新人教A版必修2

第四章圓與方程

4.1圓的方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［目標(biāo)］1.明確圓的基本要素，能用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能

夠判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

［重點(diǎn)］求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［難點(diǎn)］圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用.

J要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)-------……本欄目通過(guò)課前自主學(xué)習(xí).整合知識(shí).梳理主干,夯基固本

知識(shí)點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［填一填］

1.圓的定義

(1)條件：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

(2)結(jié)論：定點(diǎn)是圓心,定長(zhǎng)是半徑.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓心為A(〃，b),半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—T)2=廣

(2)圓心在原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為+供=聲

f答一答］

1.若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(*+〃?)2+。+")2=〃2(4工：0),此圓的半徑一定是〃嗎？圓心坐標(biāo)

是O，〃)嗎?

提示：圓的半徑不一定是。，當(dāng)a>0時(shí)，半徑是“；當(dāng)“<0時(shí)，半徑是一a.圓心坐標(biāo)不

是(機(jī)，ri),應(yīng)是(一,〃，—n),因?yàn)椤?根)2+。+“)2=”2化為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)是［尤__(―附產(chǎn)+匹―(一

n)］2=\a\2.

2.判一判.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)方程(x—a)2+(y—b)2=〃?2一定表示圓.(x)

(2)確定一個(gè)圓的幾何要素是圓心和半徑.(V)

(3)圓(x+1)2+。+2>=4的圓心坐標(biāo)是(1,2),半徑是2.(X)

知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

［填一填I(lǐng)

設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為“，半徑為r,則點(diǎn)在圓內(nèi)㈡婦:；點(diǎn)在圓上Od=r；點(diǎn)在圓外

<=>d>r.

［答一答1

3.判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的依據(jù)是什么？

提示：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的依據(jù)是圓心到該點(diǎn)的距離和圓的半徑的大小關(guān)系.

4.點(diǎn)尸(-2,一2)和圓『+9=4的位置關(guān)系是(B)

A.在圓上B.在圓外

C.在圓內(nèi)D.以上都不對(duì)

W典例講練破題型-------——本欄目通過(guò)課堂講練互動(dòng)，聚焦重點(diǎn).剖析難點(diǎn).全線突破

類型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［例1］已知圓過(guò)兩點(diǎn)A(3,l),B(—1,3),且它的圓心在直線3x-y-2=0上，求此圓

的方程.

［分析］

一!待定系數(shù)法人列方程組求解

一題

多解戶7幾何性質(zhì)法只利用圓的幾何性質(zhì)求得圓心和半徑

［解］方法1：設(shè)所求圓的方程為a—4+。一份2=戶.由題意，得

(3—4+(1—力)2=,，

(一］_〃)2+(3―方)2=,，

3。一/?—2=0,

a2+b2-6a-2b=r1-10,4=2,

即,a2+lr+2a—f)h=r^10,解得<b=4,

,r=VT0.

3a-b-2=0f

故所求圓的方程是。-2)2+。-4)2=10.

方法2:由直線AB的斜率仁旱知線段48的垂直平分線，"的斜率為2,

線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x=、一=l,y=”二=2,因此直線m的方程為y

—2=2(x_1),即2x—y=0.

又圓心在直線3x-y-2=0上，所以圓心在這兩條直線的交點(diǎn)上.聯(lián)立得方程組

2x—v=0,\x=2,

'解得

3x—>—2=0,3=4.

設(shè)圓心為C,所以圓心的坐標(biāo)為(2,4).

又半徑尸=|C4|=y而，故所求圓的方程是(x—2)2+(y—4)2=10.

方法3:設(shè)圓心為C,因?yàn)閳A心在直線版一丫一2=0上，故可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,3a

-2).

又因?yàn)閨C4|二|C8|,所以.(4—3)2+(34―2-1)2

=^/(a+l)2+(3a-2-3)2,

解得。=2.所以圓心的坐標(biāo)為(2,4),半徑r=|CA|=E.故所求圓的方程為(x-2)2+(y

-4)2=10.

通法提煉

確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心eg,3及半徑r,求解的方法一是待定系數(shù)法，

如方法1,建立關(guān)于a,6，?的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求

得圓心坐標(biāo)和半徑，如方法2、3.一般地，在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)

化較為簡(jiǎn)捷.

［變式訓(xùn)練1］根據(jù)下列條件，分別求圓的方程.

⑴經(jīng)過(guò)4(6,5),B(O,1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線3x+10y+9=0上;

(2)已知圓被x軸平分，且過(guò)點(diǎn)45,2)和B(3,-2).

解：(1)易求線段AB的垂直平分線的方程為3x+2y-15=0.

j3x+2y—15=0,x=7,

由.解得J圓心為C(7,—3).

[3x+10y+9=0,b=-3.

又半徑|CB|=4冬，

圓的方程為(尤-7)2+(y+3)2=65.

(2)方法1:由題意得圓心在x軸上.

設(shè)圓心坐標(biāo)為M(a,0),則=即(〃-5)2+(0—2)2=(“一3)2+(0+2)2,解得a

=4.所以圓心坐標(biāo)為(4,0),半徑，=附4|=4.

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4)2+)2=5.

方法2:線段A8的垂直平分線方程為y=一4),即x+2y—4=0.令y=0,得了=

4,所以圓心坐標(biāo)為(4,0),半徑r=|歷4|=小.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=5.

類型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

|例2］如圖,已知兩點(diǎn)小4,9)和尸2(6,3).

(1)求以PP2為直徑的圓的方程；

(2)試判斷點(diǎn)M(6,9),N(3,3),0(5,3)是在圓上,在圓內(nèi),還是在圓外？

4+69+3

［解］⑴設(shè)圓心C(a,b),半徑r,則由C為P1P2的中點(diǎn)得a=F'=5，b=~^=6.

又由兩點(diǎn)間的距離公式得r=\CPi\=A/(4-5)2+(9-6)2=V^O,.?.所求圓的方程為(x-5)2+(y

-6)2=10.

(2)由(1)知，圓心C(5,6),則分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：|CM=已(6—5)2+(9—6戶?；

|CV|7(3—5)2+(3—6)2:

\CQ\=^/(5-5)2+(3-6)2=3<Vl0.

因此，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)。在圓內(nèi).

通法提煉

判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法

(1)從形的角度，比較圓的半徑與圓心到定點(diǎn)的距離的大小，從而作出判斷.

(2)從數(shù)的角度，將定點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊，再與右邊的值比較，從而作

出判斷.

［變式訓(xùn)練2］已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1)2+。-2)2=/(「>0),若點(diǎn)在圓內(nèi)，

點(diǎn)N(3,2)在圓外，求半徑r的取值范圍.

解：1?點(diǎn)P(l,l)在圓內(nèi)，圓心C(l,2),

r>\PC\=^/(1-1)2+(1-2)2=1.

又；點(diǎn)M3,2)在圓外,

故KINC］川(3—1>+(2—2>=2.

類型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

［例3J設(shè)點(diǎn)尸(無(wú)，>)是圓f+。，+4)2=4上任意一點(diǎn)，則:a-1)2+0—1)2的最大值為

一1)2+(y-1)2轉(zhuǎn)化為圓夕I'一■點(diǎn)與圓

［分析］

的幾何意義上一點(diǎn)距離的最值

數(shù)形結(jié)

T?合求解?

［解析］因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)是圓e+O+dpud上的任意一點(diǎn)，因此.(X—］)2+6-］)2表

示點(diǎn)(1,1)與該圓上點(diǎn)的距離.易知點(diǎn)(1,1)在圓*+。，+4)2=4外，結(jié)合下圖易得

g(x—1)2+6-1)2的最大值為^/(1-0)2+(1+4)2+2=726+2.

[答案]^26+2

通法提煉

求圓外一定點(diǎn)A與圓C上動(dòng)點(diǎn)尸連線距離的最值方法：

設(shè)|AC|=d,圓C半徑為r,則|AP|max=d+r,\AP\m^d-r-,

求圓內(nèi)一定點(diǎn)A與圓C上動(dòng)點(diǎn)尸連線距離的最值方法：

設(shè)|AQ=d,圓C半徑為r,則|AP|max=d+r,\AP\n^n=r-d.

［變式訓(xùn)練3］已知圓C：(x-3)2+(y—4)2=l,點(diǎn)4(0,-1),8(0,1),設(shè)P是圓C上

的動(dòng)點(diǎn)，令d=|%F+|p8|2求d的最大值及最小值.

解：

如圖，設(shè)P(xo,")，

.?"=焉+。0+1)2+看+。0—1)2=2(扉+諭+2=2P。|2+2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求P點(diǎn)到原點(diǎn)

O的距離的最值.

?.?。在圓外，

|OP|max=|Oq+l=5+l=6,

??.|PO|min=|OC|T=5-l=4.

.,.4/max=2X62+2=74,"min=2X42+2=34.

y課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典------……本欄目通過(guò)課堂自主達(dá)標(biāo)，巧練經(jīng)典，強(qiáng)基提能，全面提升

1.圓。-1)2+產(chǎn)=1的圓心到直線y=^x的距離是(A)

A.g

B.

C.lD.小

解析：圓心為(1,0),則圓心到直線丫=靜的距離

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,l),圓心在點(diǎn)C(8,—3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(B)

A.(x+8)2+(y+3)2=13

B.(X-8)2+G+3)2=25

C.(X—8)2+G—3)2=13

D.(x+8)2+(y-3)2=25

3.點(diǎn)(一1,一1)在圓(尤+4)2+°，一幻2=4的內(nèi)部，則“的取值范圍是(A)

A.—1<?<1

B.O<a<l

C.a<-1或

D.a=±l

解析：因?yàn)辄c(diǎn)(一1,一1)在圓(x+a)2+(y-a)2=4的內(nèi)部，所以點(diǎn)(一1,一1)到圓心(一

a,a)的距離小于2,所以(-1+a)2+(—1—4)2<4,化簡(jiǎn)得a2c1,解得一故選A.

4.已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,l),8(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+

y2=10.

解析：圓心是線段AB的中垂線與x軸的交點(diǎn).

5.已知一個(gè)圓C：(x+2)2+(y—6)2=1和一條直線/：3x—4y+5=0,求圓關(guān)于直線/

對(duì)稱的圓的方程.

解：圓C:。+2)2+。-6)2=1的圓心為<7(—2,6),設(shè)所求圓C'的方程為(x—a)2+(y

~b)2=l,半徑與圓C半徑相等，其圓心為C'(a,〃).：點(diǎn)C和點(diǎn)C'關(guān)于直線/:3x—4y

+5=0對(duì)稱，，點(diǎn)C和點(diǎn)C'的中點(diǎn)M代工，斗旭)在直線/上.；.3?唱2+5=0,

即3a—4〃-20=0.①

VCC'±/,???613=-1，即4。+30-10=0.②

聯(lián)立①②，解得a=4,b=~2.

故所求圓C'的方程為(x-4)2+(y+2)2=l.

堡三課堂小結(jié)

一本課須掌握的三大問(wèn)題

1.對(duì)于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們要從其結(jié)構(gòu)形式上，準(zhǔn)確地記憶.

2.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑大?。环催^(guò)來(lái)說(shuō)，給出了圓的

圓心和半徑，即可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這一點(diǎn)體現(xiàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的直觀性.

3.確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，一般運(yùn)用待定系數(shù)法求a,h,r.

4.1.2圓的一般方程

1目標(biāo)］1.知道二元二次方程表示圓的條件，會(huì)根據(jù)圓的一般方程求圓的圓心坐標(biāo)和半

徑；2.會(huì)根據(jù)所給條件求圓的一般方程；3.會(huì)解答簡(jiǎn)單的軌跡問(wèn)題.

1重點(diǎn)］求圓的一般方程.

1難點(diǎn)］求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

J要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)-------……本欄目通過(guò)課前自主學(xué)習(xí)，整合知識(shí)，梳理主干，夯基固本

知識(shí)點(diǎn)一圓的一般方程

［填一填］

二元二次方程:

對(duì)于方程x1+y2+Dx+Ey+F=0,①

22p2+4F

配方得到：U+f)+(>-+f)=^-；

(1)當(dāng)。2+/—4Q0時(shí)，方程表示以(一學(xué)，一芻為圓心,本其邁為半徑的圓；

(2)當(dāng)》+序一4尸=0時(shí)，方程表示點(diǎn)(一卷一

(3)當(dāng)Z^+/—dFcO時(shí)，方程不表示任何圖形.

當(dāng)加+序―4/?>0時(shí)，方程/+V+/)尤+正)，+尸=0表示一個(gè)圓，稱方程①為圓的一一般

方程.

［答一答］

1.形如x2+y2+Dx+Ey+尸=0的二元二次方程都表示圓嗎？

提示：不是，只有少+爐一4QO時(shí)才表示圓.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程各有什么特點(diǎn)？二者怎樣互化？

提示：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表達(dá)了圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng).

(2)圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，圓心和半徑長(zhǎng)需要代數(shù)運(yùn)算才能得出.

(3)二者可以互化：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開成二元二次方程的形式即得一般方程，將圓的

一般方程配方即得標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.已知P(xo,yo),圓的方程e+V+Dx+Ey+FuO,如果焉十%+Dxo+Eyo+F<0,

那么點(diǎn)尸一定在圓內(nèi)嗎？

nFD2+E2—4F

提示：一定在圓內(nèi).圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+號(hào))2+()，+*2=_——-——，由上節(jié)

r\Fr\2pQ._

標(biāo)準(zhǔn)方程知點(diǎn)P在圓內(nèi)<=>(xo+y)2+(>,O+'2)2<----4----<=>焉+)3+Dxo+Eyo+尸<0.

知識(shí)點(diǎn)二動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

［填一填］

在直角坐標(biāo)平面上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，所形成的曲線稱為這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡,

曲線的方程稱為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

求軌跡方程的一般步驟為：

(1)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；

(2)設(shè)點(diǎn)：用(x,y)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)是軌跡(曲線)上任意一點(diǎn)；

(3)列式：列出關(guān)于x,y的方程；

(4)化簡(jiǎn)：化方程為最簡(jiǎn)形式；

(5)證明：證明以化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

說(shuō)明：因?yàn)槌齻€(gè)別情況外，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形過(guò)程，所以步驟(5)可以省略不寫，

如果有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明.

I答一答］

4.軌跡和軌跡方程等價(jià)嗎？二者的聯(lián)系是什么？

提示：(1)“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別.“軌跡”是圖形，是指出形狀、位置、大

小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.

(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形：求動(dòng)點(diǎn)的軌

跡方程有時(shí)需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.

W典例講練破題型------——榨目通過(guò)深覺(jué)講練互動(dòng)，聚焦市點(diǎn),剖析難點(diǎn).全線突破

類型一圓的一般方程的概念

I例1］下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑.

(l)f+y2+x+l=0；

222

(2)x+y+24tr+?-0(a^0);

(3)2f+2y2+2or—2ay=0(a#0).

IWJ(1)VD=1,E=0,F=\,

.\D2+E2-4F=1-4=-3<0.

方程⑴不表示任何圖形.

(2)'：D=2a,E=0,F=a2,

：.D2+E2~4F=4/-4/=0.

方程表示點(diǎn)(-4,0).

(3)兩邊同除以2,得/+V+以一。)?。，D=a,E=~a,F=0,：.D2+E2~4F=2a2>0.

方程(3)表示圓，它的圓心為(一冬芻，

半徑r=^jD2+E2-4F=^\a\.

通法提煉

形如f+)2+Qx+Ey+F=0的二元二次方程，判定其是否表示圓時(shí)有如下兩種方法：

①由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,成立則表示圓，否則不表示圓；②將方

程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解，應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程是不是r

+寸+6+4+尸=0這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解.

［變式訓(xùn)練1］(1)圓/+V一曲+6)，=0的圓心坐標(biāo)是(D)

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(-2,-3)D.(2,-3)

解析：(1)圓的方程化為(X-2)2+0，+3)2=13,圓心(2,—3),故選D.

(2)若方程/+尸+2〃1%—2y+〃?2+5〃z=0表示圓，求：

①實(shí)數(shù)，"的取值范圍；

②圓心坐標(biāo)和半徑.

解：①據(jù)題意知D2+￡2-4F=(2zn)2+(-2)2-4(w2+5m)>0,即4/n2+4-4w2-20w>0,

解得

故〃7的取值范圍為(一8,I).

②將方程/+產(chǎn)+2mx—2y+nr+5/M=0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+in)2+。-1/=1一5"?,故

圓心坐標(biāo)為(一〃?,1),半徑r=-\j\-5rn.

類型二求圓的一般方程

［例2］已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4,3),B(3,4),C(—4,-3),求它的外接

圓的方程.

［解］設(shè)aABC外接圓方程為x2+yi+Dx+Ey+F=O,

16+9+4D+3E+f=0,

將三頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程得，'9+16+3D+4￡+F=0,

.16+9-40-3E+F=0,

解方程組得，。=0,E=0,F=-25,

.二△ABC外接圓的方程為f+)2=25.

通法提煉

一般地，當(dāng)給出了圓上的三點(diǎn)坐標(biāo)，特別是當(dāng)這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)

和縱坐標(biāo)之間均不相同時(shí)，選用圓的一般方程比選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡(jiǎn)捷，而其他情況下的首

選應(yīng)該是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)要注意，從幾何角度來(lái)分析問(wèn)題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)

系的可用條件.

［變式訓(xùn)練2］求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2),8(—1,3),且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的

圓的方程.

解：設(shè)圓的一般方程為x2+)2+￡>X+E),+尸=0,令y=0,得『+Dr+/=0,所以圓

在x軸上的截距之和為xi+x2=—。；令x=0,得?/+￡1)，+尸=0,所以圓在y軸上的截距之

和為>l+)'2=-E;

由題設(shè)，xi+x2+yi+y2=-(D+E)=2,所以。+E=-2.①

又A(4,2),8(—1,3)兩點(diǎn)在圓上，

所以16+4+4D+2E+F=0,②

1+9—。+3E+F=0,③

由①②③可得。=-2,E=0,尸=-12,

故所求圓的方程為x1+y2-2x~\2=0.

類型三軌跡問(wèn)題

命題視角1:直接法求軌跡方程

|例引等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊一個(gè)端點(diǎn)8是(3,5).求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌

跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么.

［解］設(shè)底邊另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x,y).依題意，得

|AC|=|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式，得

*-4)2+0—2)2=、(4-3>+(2—5)2,

整理，得。-4)2+0-2)2=10.

這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以，而為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳,B,C為三角形的

三個(gè)頂點(diǎn)，所以4,B,C三點(diǎn)不共線，即點(diǎn)B,C不能重合且B,C不能為圓A的一直徑

尤-1-3v-1-5

的兩個(gè)端點(diǎn)，所以點(diǎn)C不能為(3,5),—^4,且即點(diǎn)C也不能為(5,-1).故端

點(diǎn)C的軌■跡方程是(》一4)2+0，-2)2=10(除去點(diǎn)(3,5)和(5,—1)),它的軌跡是以點(diǎn)4(4,2)為

圓心，4而為半徑的圓，但除去(3,5)和(5,—1)兩點(diǎn).

通法提煉

解答本題時(shí)易出現(xiàn)忘記除去兩點(diǎn)(3,5)和(5,-1)的錯(cuò)誤答案，導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是

忽視了構(gòu)成三角形的條件.

［變式訓(xùn)練3］已知圓。的方程為r+y2=9,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌

跡.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).當(dāng)AP垂直于x軸或點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)

分別為(1,0),(1,2),符合題意，此時(shí)x=l;

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)，或AP垂直于)，軸時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或(0,2)時(shí)，也符合題意，

此時(shí)x=0;

當(dāng)xWO,且xWl時(shí)，根據(jù)題意可知AP_LOP,即公小心「=一1,

kop=",即?+)2—x—2y=0(xW0,且xWl).經(jīng)檢驗(yàn)，

X1XX1X

點(diǎn)(1,0),(0,0),(0,2)也適合上式.

綜上所述，點(diǎn)尸的軌跡是以七，1)為圓心，坐為半徑長(zhǎng)的圓.

命題視角2：代入法求軌跡方程

［例4］已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A(2,0)的距離是它到點(diǎn)8(8,0)的距離的一半.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡.

I解I(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),VA(2,0),B(8,0),\MA\=\\MB\,.,.(x-2)2+/=1

［(X-8)2+/］.

化簡(jiǎn)得f+y2=16,

即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=16.

(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,y)9

VA(2,0),N為線段AM的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2_r—2,2y).

又點(diǎn)M在圓16上，(2x—2)2+43^=16,即(x—1)2+)?=4.

.?.點(diǎn)N的軌跡是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓.

通法提煉

求軌跡方程的常用方法

(1)直接法：能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓及以后要學(xué)習(xí)到的橢圓、

雙曲線、拋物線等)，可用定義直接求解.

(3)代入法(也稱相關(guān)點(diǎn)代入法)：找到所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的關(guān)系，代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)所在

的方程.

［變式訓(xùn)練4］點(diǎn)尸(4,-2)與圓f+V=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是(A)

A.(x—2)2+(y+1)2=1

B.(x-2)2+G+1)2=4

C.(x+4)2+S—2)2=4

D.(X+2)2+(>'-1)2=1

ri+4

解析：設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(xi,yi),它與點(diǎn)P連線的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則戈=F一，y

「L2

一2，

所以xi=2x—4,y\=2y+2.

又(xi,yi)在圓f+y2=4上，

所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,

即(L2)2+()，+1)2=1.

上課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典------——本欄目通過(guò)課堂自主達(dá)標(biāo)，巧練經(jīng)典，強(qiáng)基提能.全面提升

1.方程/+尸+2%—4)，-6=0表示的圖形是(D)

A.以(1,一2)為圓心，而為半徑的圓

B.以(1,2)為圓心，迎為半徑的圓

C.以(-1,—2)為圓心，為半徑的圓

D.以(一1,2)為圓心，迎為半徑的圓

解析：方程配方為。+1)2+。-2)2=11,表示以(一1,2)為圓心，半徑為肝的圓.

2.方程/+)2+2以-6y+c=0表示圓心為C(2,3),半徑為3的圓，貝Ua,b,c的值

依次是(B)

A.2,6,4B.-2,6,4

C.2,一6,4D.2,一6,一4

解析：由題意可知一。=2,4=3,解得。=—2,b=6,

:.r=^(—4)2+(—6)2—4c=3,解得c=4.

3.圓f+y2—2x+6y+8=0的周長(zhǎng)為2\[2n.

解析：由圓的一般方程/+)，2—21+6)，+8=0可得。=-2,E=6,F=8,則半徑r

xlD2+E2-4FA/(-2)2+62-4X8…一

=X5="------5-------=也R，故圓的周長(zhǎng)為2?r7L

4.已知點(diǎn)E(1,O)在圓/+y2—4x+2y+5k=0的外部，則k的取值范圍是章」).

解析：方程表示圓的條件是(-4)2+22-4X540,即左<1;點(diǎn)E在圓的外部的條件為

12+02—4X1+2X0+540,解得上>予所以％的取值范圍為(予1).

5.設(shè)A為圓(x—1>+)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，必是圓的切線且|鞏|=1,求P點(diǎn)的軌跡方程.

解：如圖所示，PA是圓C:(x-l)2+y2=l的切線，所以AC_LAP,\PC\=\I\AC\2+\AP\2

=啦，所以P的軌跡是以C為圓心，啦為半徑的圓，其方程為(x-l)2+y2=2.

理三課堂小結(jié)

——本課須掌握的三大問(wèn)題

1.圓的一般方程f+y2+Dr+Ey+F=0(Z),E,F為常數(shù))具有以下特點(diǎn)：

(I)%2,y2項(xiàng)的系數(shù)相等且不為。(如果/和V項(xiàng)的系數(shù)是不等于1的非零常數(shù)，只需在

方程兩邊除以這個(gè)數(shù)，就可以變系數(shù)為1);

⑵沒(méi)有孫項(xiàng)；

(3)￡>2+E2-4F>0.

2.圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系：

圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從本質(zhì)上講并無(wú)區(qū)別，它們只是表達(dá)形式不同，它們也

可互相轉(zhuǎn)化.如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑，或需利用圓心、半徑來(lái)求解，則用

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便；否則，用圓的一般方程較好.

3.求軌跡方程的一般步驟：

(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)例的坐標(biāo)(x,y).

(2)列出點(diǎn)M滿足條件的集合.

(3)用坐標(biāo)表示上述條件，列出方程_/(x,)，)=0.

(4)將上述方程化簡(jiǎn).

(5)證明化簡(jiǎn)后的以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是軌跡上的點(diǎn).

4.2直線、圓的位置關(guān)系

4.2.1直線與圓的位置關(guān)系

［目標(biāo)］1.會(huì)用代數(shù)方法與幾何方法判斷直線與圓的位置關(guān)系；2.能解決直線與圓相切、

相交的有關(guān)問(wèn)題.

［重點(diǎn)］直線與圓位置關(guān)系的判斷，直線與圓相切、相交問(wèn)題的解答.

|難點(diǎn)］直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題的解答.

J要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)------……本欄目通過(guò)課前自主學(xué)習(xí).整合知識(shí).梳理主干.夯基固本

知識(shí)點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系

I填一填］

直線Ax+By+C=O和圓(x—力2=/的位置關(guān)系及判斷

1.幾何法：

判定依據(jù)：圓心到直線的距離與圓半徑進(jìn)行大小比較.

判定結(jié)論：設(shè)圓心到直線的距離為4,圓半徑為r.

⑴若為,則直線與圓相離；

(2)若仁￡,則直線與圓相切；

(3)若兇，則直線與圓相交.

2.代數(shù)法：

判定依據(jù)：將直線方程代入圓的方程，消元得關(guān)于M或y)的一元二次方程的判別式4

判定結(jié)論：

(1)若企Q,則直線與圓相交；

(2)若上^，則直線與圓相切：

(3)若地，則直線與圓相離.

［答一答］

1.(1)''代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系，各有什么優(yōu)勢(shì)？

(2)如何選擇判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法？

提示：(1)“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系是從不同的方面，不同的

思路來(lái)判斷的，“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”：而“幾何法”

則側(cè)重于“形”，結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；

(2)對(duì)于具體用哪種方法判斷直線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)由條件而定，代數(shù)法是從方程角

度考慮，但較為繁瑣；幾何法是從幾何角度考慮，方法簡(jiǎn)單，成為判斷直線與圓位置關(guān)系的

常用方法.

2.⑴直線3x+4y=5與圓/+尸=16的位置關(guān)系是相交;

(2)過(guò)尸(一2,0)向圓x2+V=l引切線，則切線長(zhǎng)是小.

一典例講練破題型/-----——本欄目通過(guò)課堂講練互動(dòng).聚焦重點(diǎn).剖析難點(diǎn).全線突破

類型一直線與圓位置關(guān)系的判斷

［例1］已知圓的方程是/+尸=1,直線y=x+&.當(dāng)b為何值時(shí)，

(1)圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(3)圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn).

［分析］可聯(lián)立方程組，由方程組解的個(gè)數(shù)求解，也可求出圓心到直線的距離，與半

徑比較求解.

y=x+b,

［解］方法1：聯(lián)立直線和圓的方程組成方程組：,整理可得+2bx+

ft2-1=0,其中/=4(2—從).

(1)當(dāng)4=0,即匕時(shí)，直線和圓相切，此時(shí)直線和圓僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(2)當(dāng)/＞0,即一巾＜b＜6時(shí),直線和圓相交，此時(shí)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

⑶當(dāng)/＜0,即從一啦或人＞啦時(shí)，直線和圓相離，此時(shí)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).

方法2:圓/+尸=1的圓心(0,0)到直線/:y=x+Z?的距離1=曷，圓的半徑為r=l.

⑴當(dāng).喋

=1,即。=力時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn);

1=曷＜1,即一也＜i＞＜小時(shí),直線與圓相交，此時(shí)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);

⑵當(dāng)

⑶當(dāng)1=恃＞1,即X—也或6＞小時(shí)，直線與圓相離此時(shí)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn).

通法提煉

“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系是從不同的方面、不同的思路來(lái)判

斷的代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于

“形”，結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì).

［變式訓(xùn)練1］⑴已知點(diǎn)”①，歷在圓。：『+)2=］外，則直線ax-\-by=\與圓。的

位置關(guān)系是(B)

A.相切B.相交

C.相離D.不確定

解析：由點(diǎn)M在圓外，得a2+b2＞1,

圓心。到直線nx+hy=1的距離d=y]cr+b2<^則直線與圓O相交.

(2)若直線過(guò)點(diǎn)(0,?),其斜率為1,且與圓/+產(chǎn)=2相切，則a的值為絲.

解析：由題意，得直線的方程為y=x+a,即x-y+a=0,圓心(0,0)到直線的距離d

=^y^=-^2,；.|a|=2,a=±2,故填±2.

類型二圓的切線問(wèn)題

I例2|已知圓的方程為f+)2=4,分別求過(guò)下列各點(diǎn)的圓的切線方程.

⑴P他，1)；(2)2(4,0).

［分析I先判斷點(diǎn)在圓上還是在圓外，再選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄芯€方程.

［解析］(1)因?yàn)?/＞+12=4,

所以點(diǎn)P在圓上，從而P是切點(diǎn).

1-0_>/3

又過(guò)圓心(0,0)與點(diǎn)P的直線斜率kop=

小一。一3，

所以切線的斜率仁—高=—小.

故所求切線方程為y—1=一小(%一小),

即qir+y—4=0.

(2)因?yàn)??+02>4,所以點(diǎn)Q在圓外，可設(shè)切線方程為y=A(x—4),即日一y—4攵=0.

因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，從而、^=2,所以左=±乎.

故所求切線方程為y=Qp(x—4),即x±45y—4=0.

通法提煉

經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的圓的切線不存在，經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線有一條，經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的

圓的切線有兩條，因此，在求圓的切線方程時(shí)，應(yīng)首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

［變式訓(xùn)練2］已知直線/：x+ay-l=0(aGR)是圓C：f+y2-4x—2y+1=0的對(duì)稱

軸.過(guò)點(diǎn)4一4,“)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為8,則|A8|=(C)

A.2B.4V2

C.6D.2VT0

解析：由題意得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-2)2+。-1)2=4,所以圓C的圓心為(2』)，半

徑為2.因?yàn)橹本€/為圓C的對(duì)稱軸，所以圓心在直線/上，則2+a—1=0,解得°=一1,

所以|4B|2=|AC］2一|8C|2=(一4一2)2+(-1一i)2-4=36,所以|A用=6,故選C.

類型三圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

|例3］已知圓尸過(guò)A(5,-2),3(0,3),C(4,l).

(1)求圓尸的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)〃(一3,一3)的直線/被圓戶所截得的弦長(zhǎng)為8,求直線/的方程.

［分析］設(shè)出直線的斜率，利用圓半徑、弦心距、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系求出斜率，再由點(diǎn)

斜式寫出直線的方程.

［解］(1)設(shè)圓P的方程為：/+；/+m+￡>+尸=0,

25+4+5D-2￡+F=0,.￡)=0,

由題意得＜9+3E+P=0,解得JE=4,

/6+l+4C+E+B=0,F=-21,

.?.圓P的方程為：f+9+4)，-21=0.

(2)圓尸的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1+。，+2)2=25,圓心P(0,-2),半徑r=5,

設(shè)直線/:y+3=k(x+3),即fcr-y+3%—3=0,

圓心P到直線/的距離

d=y]52—42=3,.*/=_*

4

/:y+3=-1(x+3),即4x+3y+21=0.

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，即x=—3,

圓心P到直線/的距離為3,

弦長(zhǎng)為2,52-32=8,滿足題意.

綜上可知，直線/的方程為：4x+3y+21=0或x=-3.

通法提煉

直線與圓相交后的弦長(zhǎng)問(wèn)題，常采用幾何法(半弦長(zhǎng)、弦心距、圓的半徑構(gòu)成的直角三

角形)求解.

[變式訓(xùn)練3]已知一圓C的圓心為(2,-1),且該圓被直線/：x-y-1=0截得的弦

長(zhǎng)為2啦，求該圓的方程.

解：設(shè)圓C的方程是。-2)2+°，+1)2=/(廠＞0),

則弦長(zhǎng)/=27/一人,其中“為圓心到直線x-y—1=0的距離，d=y[2.

：./=2.?_(也)2=2巾.；.a=4.

：.圓方程為(x-2)2+(y+1)2=4.

上課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典------——本欄目通過(guò)課堂自主達(dá)標(biāo)，巧練經(jīng)典，強(qiáng)基提能.全面提升

1.直線3x+4y+12=0與圓(x-l)2+(y+l)2=9的位置關(guān)系是(D)

A.過(guò)圓心B.相切

C.相離D.相交但不過(guò)圓心

|3><1+4X(—1)+12|11

解析：圓心(1,一1)到直線3x+4y+12=0的距離d=V^+45~5<r.

2.直線x+y+m=0與圓/+9=皿相＞0)相切，則，"的值為(B)

A.0或2B.2C,V2D.無(wú)解

解析：由圓心到直線的距離〃=3=赤，解得〃7=2.

3.設(shè)A、B為直線y=x與圓x2+)2=1的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|等于(D)

A.lB.&C.A/3D.2

解析：直線y=x過(guò)圓/+尸=1的圓心C(0,0),則|AB|=2.

4.由點(diǎn)P(l,3)引圓f+V=9的切線的長(zhǎng)是1.

解析：點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離為|PO|=#B,Vr=3,.?.切線長(zhǎng)為)10—9=1.

5.已知圓的方程為*+＞2=8,圓內(nèi)有一點(diǎn)P(—1,2),AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為a的弦.

(1)當(dāng)a=135。時(shí)，求A8的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)尸平分時(shí)，寫出直線AB的方程.

解：（1）解法1:（幾何法）如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作0C-LA8.

由已知條件得直線的斜率為人=tan135°=—1,直線AB的方程為y—2=—（x+1）,

即x+y~1=0.

ITI啦

:圓心為(0,0),

...|。0=忑=2,

，；r=2小,.?.山上力一惇卜等,

A\AB\=2\BC\=yl3O.

解法2:（代數(shù)法）當(dāng)a=135°時(shí)，直線AB的方程為y-2=-（x+l）,即），=-x+l,代

CCC7

入W+y2=8,得Zx2—2x—7=0.；⑻+12=1,"1X2=一1,

：.\AB\川1+爐1汨-x2\=N(1+1)[(X1+X2)2—4X1、]=^30.

(2)如圖，當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，0P_L4B,

■:kop=-2,:?kAB=],

直線AB的方程為y-2=1(x+l),

即x-2y+5=0.

堡三課堂小結(jié)

——本課須掌握的三大問(wèn)題

1.判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法中，幾何法要結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷，

一般計(jì)算較簡(jiǎn)單.而代數(shù)法則是通過(guò)解方程組進(jìn)行消元，計(jì)算量大，不如幾何法簡(jiǎn)捷.

2.一般地，在解決圓和直線相交時(shí)，應(yīng)首先考慮圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半，

圓的半徑構(gòu)成的直角三角形.還可以聯(lián)立方程組，消去乃組成一個(gè)一元二次方程，利用方

程根與系數(shù)的關(guān)系表達(dá)出弦長(zhǎng)/=后日?燈（制+及）2-4乃及

=—一+1|X|一及|.

3.研究圓的切線問(wèn)題時(shí)要注意切線的斜率是否存在.過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要

考慮該點(diǎn)是否在圓上.當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，切線只有一條；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，切線有兩條.

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

［目標(biāo)］1.能根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系；2.能解決兩圓相切、兩圓

相交的有關(guān)問(wèn)題；3.能夠利用直線與圓的關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

［重點(diǎn)］圓與圓位置關(guān)系的判斷；兩圓相切、相交的有關(guān)問(wèn)題.

［難點(diǎn)］兩圓相切、相交的有關(guān)問(wèn)題.

J要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)------——本欄目通過(guò)深前自主學(xué)習(xí)，整合知識(shí)，梳理主干,夯基固本

知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系

［填一填］

1.圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系有5種：外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.

兩圓相交兩圓外切兩圓外離

兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含

2.圓與圓位置關(guān)系的判定

(1)幾何法

若圓C與圓C2的半徑分別為，和R，兩圓圓心距為“，則當(dāng)“<|/?一/1時(shí)，兩圓內(nèi)含;

當(dāng)4=|R—r|時(shí)，兩圓內(nèi)切;

當(dāng)|R-r|<dvR+r時(shí)，，兩圓相交;

當(dāng)"=;?+'時(shí)，兩圓外切;

當(dāng)r/>R+r時(shí)，兩圓外離.

(2)代數(shù)法

設(shè)兩圓方程分別為x2+y2+Z)ix+Ei>'+Fi=O,

/+72+。2*+及)，+/2=0,聯(lián)立方程得

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x+y+D,x+E1y+Fi=O.

+V+￡)2X++尸2=0,

方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解臺(tái)兩圓相交，有二組實(shí)數(shù)解臺(tái)兩圓相切，無(wú)實(shí)數(shù)解臺(tái)兩圓

外離或內(nèi)含.

［答一答］

1.如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么它們一定外離；如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么

它們一定外切，這種說(shuō)法是否正確？

提示：這種說(shuō)法不正確.如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么它們外離或內(nèi)含，這兩種位置

關(guān)系統(tǒng)稱為相離；如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們外切或內(nèi)切，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱

為相切.

2.兩圓的公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系有何聯(lián)系？能否根據(jù)公切線條數(shù)判斷兩圓位置

關(guān)系？

提示：兩圓不同的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)著不同的公切線條數(shù)，因此可以由公切線的條數(shù)判斷

兩圓的位置關(guān)系，即當(dāng)兩圓內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離時(shí)，分別對(duì)應(yīng)的公切線條數(shù)為0、

1、2、3、4,反之亦成立.