《雙曲線及其標準方程（第2課時）》教學設計

14/142.2.1雙曲線及標準方程（第2課時）（名師:張遠建）1.核心素養(yǎng)發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)，培養(yǎng)解析法解題能力，提高數(shù)學運算素養(yǎng)2.學習目標（1）進一步熟悉雙曲線的定義、標準方程.（2）掌握雙曲線的定義在焦點三角形問題中的應用.（3）了解雙曲線在實際問題中的初步應用.3.學習重點雙曲線的定義4.學習難點雙曲線的定義在焦點三角形問題中的應用二、教學設計（一）課前預習1.預習任務回顧雙曲線的定義、雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有那些區(qū)別?雙曲線的與橢圓的有何區(qū)別?2.預習自測1.已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或答案：A解析：考查雙曲線的定義2.在雙曲線的標準方程中，已知，則其標準方程為（）A． B．或C． D．或答案：D解析：考查雙曲線的標準方程（二）課堂設計1.知識回顧(1)平面內點到兩定點的距離之差的絕對值為常數(shù)，即當時，點的軌跡是雙曲線；(2)雙曲線，判斷焦點在哪個軸上，是看x2，y2系數(shù)的符號，注意都有2.問題探究問題探究一進一步熟悉雙曲線的定義、標準方程.例1已知方程表示的圖形是雙曲線，那么的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．【知識點：雙曲線的標準方程】詳解：∵方程的圖形是雙曲線，∴．即：或，解得：或．故選B．點評：在雙曲線的標準方程中，項和項的系數(shù)是異號的，但若中間以“－”相連，則必須是同號的．形如的方程，若，則當且僅當時，表示雙曲線．例2已知定圓，定圓，動圓與定圓都外切，求動圓圓心的軌跡方程.【知識點：雙曲線的定義，雙曲線的標準方程】詳解：設動圓圓心，半徑為則由已知可得點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，且所以動圓圓心M的軌跡方程為：點拔：由動圓與定圓的關系，得，從而聯(lián)想到雙曲線的定義，用定義來確定方程（軌跡），達到了簡化運算的目的，可見，在圓錐曲線中定義的應用十分廣泛、靈活.問題探究二掌握雙曲線的定義在焦點三角形問題中的應用例3若是雙曲線的兩個焦點，在雙曲線上，且，求的大?。局R點：雙曲線的定義，雙曲線的標準方程】詳解：由雙曲線的對稱性，可設點P在第一象限，由雙曲線的方程，知由雙曲線的定義，得上式兩邊平方，得由余弦定理，得點拔：在焦點三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識點．另外，還經(jīng)常結合，運用平方的方法，建立它與的聯(lián)系，請同學們多加注意．一般地，已知雙曲線上一點為雙曲線的焦點，若，求的面積．解：由雙曲線的定義，有，在中，由余弦定理有∴，即∴問題探究三：了解雙曲線在實際問題中的初步應用例4A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東方，相距6km，C在B的北偏西方向上，相距4km，P為敵炮陣地．某時刻A發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4s后，B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號（該信號的傳播速度為1km/s）．A若炮擊P地，求炮擊的方位角．【知識點：雙曲線的定義，雙曲線的標準方程】詳解：以AB中點為原點，BA所在直線為軸建立直角坐標系，則、、．∵．∴點P在以A、B為焦點的雙曲線右支上．該雙曲線右支方程為．①又∵．∴點P在線段BC的垂直平分線上．該直線方程為．②由①②得：，解得：或（舍去）．∴．又∵，∴．∴點P在點A的北偏東方向上，即A炮擊P地的方位角是北偏東．點拔：（1）有些看似與雙曲線無關的實際應用問題，但依題意，通過數(shù)學建模，可以把問題轉化為雙曲線問題求解.（2）在此類問題時，除要準確把握題意外，還要注意使實際問題有意義.3.課堂總結【知識回顧】（1）形如的方程，若，則當且僅當時，表示雙曲線．當且僅當時，表示橢圓.（2）一般地，已知雙曲線上一點為橢圓的焦點，若，則的面積．【重難點突破】（1）對于形如的方程，能表示圓、橢圓、或雙曲線，具體情況如下：當時，表示圓；當時，表示橢圓，當時，表示焦點在軸的橢圓，當時，表示焦點在軸上的橢圓；當時，表示雙曲線，當時，表示焦點在軸上的雙曲線，當時，表示焦點在軸上的雙曲線.（2）在橢圓的研究中我們已經(jīng)體驗了定義在解決有關曲線上的點到焦點距離問題中的作用，同樣在雙曲線中也應注意定義的應用．已知雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形問題，往往利用正弦定理、余弦定理以及雙曲線的定義列出關系式．（3）在雙曲線的實際應用中，要先建立適當?shù)淖鴺讼?，然后將實際問題中的條件借助坐標系用數(shù)學語言表達出來.4.隨堂檢測1.k>9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示雙曲線的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：B解析：【知識點：雙曲線的標準方程】2.已知為雙曲線的左右焦點，點在雙曲線上，，則（）A.2B.4C.6D.8答案：B解析：【知識點：雙曲線的定義】（三）課后作業(yè)基礎型1.雙曲線的焦距是（）A．4 B．8 C． D．與有關答案：C解析：【知識點：雙曲線的標準方程】2．已知兩定點、，在滿足下列條件的平面內的動點P的軌跡中，為雙曲線的是（）A． B．C． D．答案：A解析：【知識點：雙曲線的定義】3．雙曲線的一個焦點坐標是（3,0），則的值是（）A．1 B．－1 C． D．－答案：A解析：【知識點：雙曲線的標準方程】4.如圖所示，若，且，則和所表示的曲線只可能是（）答案：C解析：【知識點：雙曲線的標準方程】能力型5.P為雙曲線上一點，F(xiàn)是一個焦點，則以PF為直徑的圓與圓的位置關系是（）A．內切 B．外切 C．外切或內切 D．無公共點或相交答案：C解析：【知識點：雙曲線的定義，圓的幾何性質】6.已知雙曲線的焦點為，點在雙曲線上且，則點到軸的距離為()A.B.C. D.答案：C解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】7．若、、成等差數(shù)列，則點的軌跡方程是_______________．答案：解析：【知識點：雙曲線的標準方程，等差數(shù)列】8.在平面直角坐標系中，已知的頂點和，若頂點在雙曲線的左支上，則答案：解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】探究型9.已知定點和定圓C：，動圓和圓C相切，并且過點A，求動圓圓心P的軌跡方程．答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】設點的坐標為，∵圓C與圓P外切且過點A．∴．∵，∴點的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的右支．∵，，∴．∴圓心的軌跡方程為10.已知雙曲線中，半焦距為左右焦點，為雙曲線上的點，,求雙曲線的標準方程.答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】由雙曲線的定義，有，而在中，由余弦定理有∴，即,∴,所以所求雙曲線標準方程為(四)自助餐1.焦點的坐標是（－6,0）、（6,0），并且經(jīng)過A（－5，2）的雙曲線的標準方程為（）A.B.C.D.答案：A解析：【知識點：雙曲線的標準方程】2．已知方程表示雙曲線，則它的焦點坐標為（）A．、 B．、C．、 D．不能確定答案：D解析：【知識點：雙曲線的標準方程】3.設點在雙曲線上，若為此雙曲線的兩個焦點。且，則的周長等于（）A．22 B．16 C．14 D．12答案：A解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】4．設為第四象限的角，則方程所表示的曲線是（）A．焦點在軸上的橢圓 B．焦點在軸上的橢圓C．焦點在軸上的雙曲線 D．焦點在軸上的雙曲線答案：解析：【知識點：雙曲線的標準方程】5.若動圓P與定圓及都相內切或都相外切，則動圓P的圓心軌跡方程是（）A． B． C． D．答案：C解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】6．設圓過雙曲線的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上．則圓心到雙曲線中心的距離是．答案：解析：【知識點：雙曲線的標準方程，圓定義及性質】7.已知點的坐標分別是，曲線C上任意一點P滿足，則曲線C的方程為______________.答案：解析：【知識點：雙曲線的定義，平面向量的?！?．P是雙曲線左支上一點，、分別是左、右焦點，且焦距為，則的內切圓的橫坐標是．答案：解析：【知識點：雙曲線的定義】9．已知的底邊長為，且底邊固定，頂點是動點，使．求點的軌跡．答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，令為軌跡上任一點，則，．因為，利用正弦定理，我們有，結合雙曲線定義，動點到兩個定點的距離之差為，動點位于以為焦點的雙曲線上。又注意到，此時點只能在左支上，且不能與左頂點重合．在雙曲線中，實軸長為，焦距為，則，，中心在原點，兩焦點在軸上，方程為．所以A點的軌跡是雙曲線的左支，并且除去點．10.在周長為48的，，，求以M、N為焦點，且過P的雙曲線方程．答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的定義及標準方程】∵的周長為48，且，∴設，，則．由，得：．∴、、．以MN所在直線為軸，以MN的垂直平分線為軸建立直角坐標系。設所求雙曲線方程為．由得，，．由得，．由得所求雙曲線方程為．點拔：選取的坐標系不同，則雙曲線方程不同，但雙曲線的形狀不會發(fā)生變化，解題中，注意合理選取坐標系，這樣才能使所求曲線的方程更簡便.數(shù)學視野1619年，23歲的笛卡爾在一支德國部隊服役，軍營駐扎在多瑙河旁，11月的一天，他因病躺在了床上，無所事事的他默默地思考著……20歲時，他大學畢業(yè)繼承父業(yè)，當了一名律師，當時法國的社會風氣是“非紅即黑”。也就是說，有志之士不是致力于宗教事業(yè)就是獻身于軍事，笛卡爾選擇了后者。軍旅中一個偶然機會，他解出了數(shù)學教授別克曼的一道難題。從此成了別克曼教授的上賓，在數(shù)學的海洋中漫游，并游進了深水區(qū)。他開始看到了傳統(tǒng)的幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷。同時也深感代數(shù)過分受法則和公式的限制而缺乏活力。代數(shù)與幾何的各自為政、劃地為牢的狀況抑制了數(shù)學的發(fā)展，怎樣才能擺脫這種狀況，架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁呢？這個問題苦苦折磨著年輕的笛卡爾。在沒有戰(zhàn)事的軍隊中，他常常有時間思考它?，F(xiàn)在，他的思緒又回到了這個問題上……抬頭望著天花板，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過來，吐絲結網(wǎng)，忙個不停。從東爬到西，從南爬到北。要結一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路啊！笛卡爾突發(fā)奇想，算一算蜘蛛走過的路程。他