第三章第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解指數(shù)冪的拓展過程,掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.會(huì)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).考情分析考點(diǎn)考法:高考命題以考查指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)、指數(shù)冪的大小比較為主,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算(1)根式的性質(zhì)①(na)n=a(a使na②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),nan=a;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),nan=|a|=(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義①amn=(a>0,m,n∈N*,且n②a-mn=1amn=(a>0,m,n∈N③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).【微點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)nan時(shí),一定要注意區(qū)分n是奇數(shù)還是偶數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項(xiàng)目0<a<1a>1圖象性質(zhì)定義域:R值域:(0,+∞)過定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)【微點(diǎn)撥】(1)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,1),(1,a),(1,1a).(2)討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),要注意分底數(shù)a>1和0<a<1兩種情況.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)123,41.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn可以理解為mnB.函數(shù)y=2xC.若am<an(a>0,且a≠1),則m<nD.函數(shù)y=ax2+1(a>1)的值域是【解析】選ABC.A當(dāng)mn<1時(shí),不可以×B由于指數(shù)函數(shù)解析式為y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x1不是指數(shù)函數(shù).×Cm與n的大小關(guān)系與a的取值有關(guān).×D由于x2+1≥1,又a>1,所以ax2+1≥a.故y=ax2+1(√2.(人A必修第一冊(cè)P119T6·變形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)y=1.01x在(∞,+∞)上是增函數(shù),且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.3.(忽視函數(shù)的定義域)函數(shù)f(x)=21x【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},所以1x-1≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函數(shù)的值域?yàn)?0,1)∪答案:(0,1)∪(1,+∞)4.(忽視底數(shù)的取值)若函數(shù)f(x)=ax在[1,1]上的最大值為2,則a=________.

【解析】若a>1,則f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,則函數(shù)f(x)max=f(1)=a1=2,得a=12答案:2或1【巧記結(jié)論·速算】1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1),(1,a),(1,1a)2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象越高,底數(shù)越大.【即時(shí)練】1.若a>0且a≠1,則函數(shù)f(x)=ax4+3的圖象恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為________.

【解析】令x4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函數(shù)f(x)=ax4+3的圖象恒過定點(diǎn)(4,4).答案:(4,4)2.已知y1=(13)x,y2=3x,y3=10x,y4=10x,則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),為 ()【解析】選A.y2=3x與y4=10x在R上單調(diào)遞增;y1=(13)x與y3=10x=(110)x在R上單調(diào)遞減,在第一象限內(nèi)作直線x=1(圖略),由結(jié)論可得選項(xiàng)A【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算[例1](1)已知x<0,y>0,化簡(jiǎn):49x8yA.3x2y B.3x2yC.3x2y D.3x2y【解析】選B.由題意得49x8y4=914(x8)(2)計(jì)算:(1.8)0+(32)2·3(338)【解析】(1.8)0+(32)2·3(33=1+232·27=1+(23)2·(32)2=1+110+27=19.答案:19(3)已知a2x=5,則a【解析】a3x=a2x+1+a-2x=5+1+15答案:31【解題技法】指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的,無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是字母,先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來計(jì)算.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知3a+2b=1,則9a·【解析】因?yàn)?a+2b=1,所以32a+b=1所以原式=(32)a·3b(3答案:32.計(jì)算:(14)

-12·(4ab-1)3【解析】原式=2·432答案:83.若a,b,c為正實(shí)數(shù),ax=by=cz,1x+1y+1z=0,則【解析】設(shè)ax=by=cz=k,則k>0,a=k1x,b=k1y,因此abc=k1xk1yk1答案:1考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)函數(shù)f(x)=(12)|x+1|的圖象大致為 (【解析】選B.作出函數(shù)y=(12)|x|的圖象,如圖所示,將y=(12)|x|的圖象向左平移1個(gè)單位得到f(x)=(12)|x(2)(多選題)(2023·福州調(diào)研)已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式2023a=2024b,下列等式可以成立的是 ()A.a=b=0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a【解析】選ABD.如圖,觀察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,故選ABD.(3)(一題多變)若函數(shù)y=|3x1|在(∞,k]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.

【解析】函數(shù)y=|3x1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,函數(shù)圖象如圖所示.由圖象知,其在(∞,0]上單調(diào)遞減,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(∞,0].答案:(∞,0](變條件、變?cè)O(shè)問)若本例(3)的條件變?yōu)?函數(shù)y=|3x1|與直線y=m有兩個(gè)不同交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】曲線y=|3x1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.作出直線y=m和曲線y的圖象如圖所示,由圖象可得,如果曲線y=|3x1|與直線y=m有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是(0,1).答案:(0,1)【解題技法】有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象,一般是取特殊點(diǎn),判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn),若不滿足則排除;(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論;(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解;(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題,可以通過直線x=1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)已知非零實(shí)數(shù)a,b滿足3a=2b,則下列不等關(guān)系中正確的是 ()A.a<bB.若a<0,則b<a<0C.|a|<|b| D.若0<a<log32,則ab<ba【解析】選BCD.如圖,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知,0<a<b或者b<a<0,所以A錯(cuò)誤,B,C正確;D選項(xiàng)中,0<a<log32?0<a<b<1,則有ab<aa<ba,所以D正確.2.(2023·哈爾濱模擬)若存在正數(shù)x使ex(x+a)<1成立,則a的取值范圍是 ()A.(∞,+∞) B.(∞,1)C.(∞,1e1) D.(∞,【解析】選B.由題設(shè)知,?x>0,使x+a<ex成立,令y=x+a,y1=ex,所以當(dāng)x>0時(shí)有y1=ex∈(0,1),而y=x+a∈(a,+∞),所以當(dāng)a<1時(shí),?x>0,使得ex(x+a)<1成立.3.若函數(shù)f(x)=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________.

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x2|與y=b的圖象,如圖所示.所以當(dāng)0<b<2時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),從而函數(shù)f(x)=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn).所以b的取值范圍是(0,2).答案:(0,2)考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用【考情提示】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是高考的命題熱點(diǎn),多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),重點(diǎn)考查比較大小、解方程或不等式、求值域等問題,難度中檔或以下.角度1比較指數(shù)冪大小[例3]已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】選D.方法一:由指數(shù)函數(shù)y=0.3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,得a<b,由冪函數(shù)y=x0.5在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,得c>b.方法二:因?yàn)閍b=0.365<1,且bc=(34)0.5<1,又a,b,c都為正數(shù),所以角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式[例4](1)若x滿足不等式2x2+1≤(14)x2,則函數(shù)y=2xA.[18,2) B.[18C.(∞,18] D.[【解析】選B.將2x2+1≤(14)x2化為x2+1≤2(x2),即x2+2x3≤0,解得x∈[3,1],所以23≤2x≤21,所以函數(shù)y=2x的值域是[(2)已知實(shí)數(shù)a≠1,函數(shù)f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f【解析】①當(dāng)a<1時(shí),由f(1a)=f(a1)得41a=2a-(a-1),即222a=2,所以22a=1,解得②當(dāng)a>1時(shí),由f(1a)=f(a1)得2a-(1-a)即22a1=22a2,所以2a1=2a2,無解.綜上可知,a=12答案:1角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例5](1)(多選題)(2023·廣州模擬)已知函數(shù)y=(12)是()A.定義域?yàn)镽B.值域?yàn)?0,2]C.在[2,+∞)上單調(diào)遞增D.在[2,+∞)上單調(diào)遞減【解析】選ABD.函數(shù)y=(12)

x2因?yàn)閤2+4x+3=(x+2)21≥1,所以0<(12故函數(shù)y=(12)

x因?yàn)閥=(12)u在R上是減函數(shù),u=x2+4x+3在(∞,2]上是減函數(shù),在[2,+∞)上是增函數(shù)所以函數(shù)y=(12)

x2+4x+3在(2)(多選題)(2023·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=3x-13x+1A.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.f(x)的值域?yàn)?1,1)D.?x1,x2∈R,且x1≠x2,f(【解析】選AC.對(duì)于A,由f(x)=3-x-13-x+1=3x-13x+1=f(x),可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(對(duì)于C,設(shè)y=3x-13x+1,可得3x=1+y1-y,所以1+y1-y>0,即1+yy-1<0,解得1<對(duì)于D,對(duì)?x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2而f(x)=3x-13x+1=123【解題技法】有關(guān)指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的常考題型及求解策略題型求解策略比較冪值的大小(1)能化成同底數(shù)冪的先化成同底數(shù)冪再利用單調(diào)性比較大小(2)不能化成同底數(shù)冪的,一般引入“1”等中間量比較大小解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·河南名校聯(lián)考)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,則 ()A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】選A.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,且1.9>1.5,所以21.9>21.5,即a>b.因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x1.9在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且3>2,所以31.9>21.9,即c>a,所以c>a>b.2.(2023·青島模擬)已知y=4x3·2x+3的值域?yàn)閇1,7],則x的取值范圍可以是 ()A.[2,4] B.(∞,0)C.(0,1)∪[2,4] D.(∞,0]∪[1,2]【解析】選D.因?yàn)閥=4x3·2x+3的值域?yàn)閇1,7],所以1≤4x3·2x+3≤7.所以0<2x≤1或2≤2x≤4.所以x≤0或1≤x≤2.3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ex+e-xA.f(x)的定義域?yàn)镽B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在定義域上是減函數(shù)D.f(x)無最小值,無最大值【解析】選BD.對(duì)于A,由exex≠0,解得x≠0,故f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)=e-x+ex故f(x)是奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,f(x)=ex+e-x故函數(shù)f(x)在(∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(∞,0