湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

2024年高一數(shù)學(xué)期中考試試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知，的虛部為.故選：B.2.在中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以所以故選：D.3.如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.直線與直線是異面直線 B.直線與直線AE是共面直線C.直線AE與直線是異面直線 D.直線AE與直線是共面直線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)異面直線的判定定理求解即可.【詳解】由于與均在平面內(nèi)，不是異面直線，故A錯(cuò)誤；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，所以和是異面直線，故B錯(cuò)誤；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，則與是異面直線，故C正確；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，則與是異面直線，故D不正確.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷兩條直線是否為異面直線，第一兩條直線平行或相交，則兩條直線共面，第二若一條直線與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，這是判斷兩條直線是異面直線的方法，要根據(jù)題目所提供的線線、線面關(guān)系準(zhǔn)確的做出判斷.4.若，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，結(jié)合角的范圍，即可得出，.然后根據(jù)兩角差余弦公式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以?又，所以.所以，.故選：C.5.定義：若，則稱復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的平方根.根據(jù)定義，復(fù)數(shù)的平方根為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，然后平方后根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，則，化簡(jiǎn)，所以，，解得，或，，即復(fù)數(shù)的平方根為或，故選：C6.若一個(gè)球的外切正方體的表面積等于6cm2，則此球的體積為（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3【答案】A【解析】【分析】設(shè)球的半徑為Rcm，正方體棱長(zhǎng)為acm，根據(jù)表面積和棱長(zhǎng)的關(guān)系求出棱長(zhǎng)，進(jìn)而可得半徑，再用體積公式求球的體積即可.【詳解】設(shè)球的半徑為Rcm，正方體棱長(zhǎng)為acm，∴6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴Rcm，∴球的體積故選：A.7.下列命題正確的為（）①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P、Q，R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；②若三條直線a，b、c互相平行且分別交直線于A、B、C三點(diǎn)，則這四條直線共面；③已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面；④已知a，b，c為三條直線，若，，則.A.①③ B.②③ C.②④ D.①②【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事實(shí)3可判斷①的正誤，利用基本事實(shí)及3個(gè)推論可判斷②的正誤，根據(jù)可能的反例可判斷③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，設(shè)平面平面，因?yàn)?，平面，所以，同理，，故、、三點(diǎn)共線，①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，可以確定一個(gè)平面，因?yàn)?，，，，所以，所以，又，所?同理，也可以確定一個(gè)平面，且，，因?yàn)?，故重合，故這四條直線共面，所以②正確；對(duì)于③，直線、異面，、異面，則，可能平行、相交或異面，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，，則，可能平行、相交或異面，所以④錯(cuò)誤.故選：D.8.如圖，某人用長(zhǎng)的繩索，施力，把重物沿著坡度為30°的斜面向上拖了，拖拉點(diǎn)在豎直方向距離斜面的高度為，則此人對(duì)該物體所做的功為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得出，再根據(jù)求功公式計(jì)算即可.【詳解】在中，由正弦定理，，∴.故選：B二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）9.在中，已知，，，則角的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，得，因?yàn)?，且，所以?故選：BC.10.已知表示兩條直線，表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題，正確的是（）A.若，且，則B.若相交，且都在外，，則C.若，且，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，結(jié)合平面的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】A：若，且，則可能相交、平行，錯(cuò)誤；B：若相交，且都在外，，由面面平行的判定可得，正確；C：若，且，則可能相交、平行，錯(cuò)誤；D：若，由線面平行的性質(zhì)定理得，正確.故選：BD11.關(guān)于直線，與平面，，以下四個(gè)命題中真命題是A.若，且，則 B.若，且，則C.若，且，則 D.若，且，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理，對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，易得到答案．【詳解】解：若，且，則，可能平行也可能異面，也可以相交，故A錯(cuò)誤；若，且，則，一定垂直，故B正確；若，且，則，一定垂直，故C正確；若，且，則，可能相交?平行也可能異面，故D錯(cuò)誤故選：BC．【點(diǎn)睛】考查線線平行與垂直的判定，基礎(chǔ)題.12.已知兩個(gè)不相等的非零向量,，兩組向量,,,,和,,,,均由2個(gè)和3個(gè)排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題中真命題為（）A.可能有5個(gè)不同值B.若，則與無(wú)關(guān)C.若，則D.若，，則與的夾角為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)的取值依據(jù)所含的個(gè)數(shù)有0個(gè)、有1個(gè)、有2個(gè)，可得,進(jìn)而可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意得的取值依據(jù)所含的個(gè)數(shù)，分三類：有0個(gè)、有1個(gè)、有2個(gè)，記，分別得的取值為：，，，則至多有3個(gè)不同的值，A錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)，，，又，為非零向量，則，與無(wú)關(guān)，B對(duì)；若，則，，，則，C對(duì)；若，則，，，∵，，∴，解得，∴，D錯(cuò)誤.故選：BC三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13.命題“，都有”的否定是___________.【答案】，有【解析】【分析】由命題的否定的定義求解．【詳解】題“，都有”的否定是：．故答案：．14.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在表面積為的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】先求出半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系，即可得到側(cè)面積表達(dá)式，然后用基本不等式即可求解最大值.【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，母線為l，由題意可知，，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在球面上，則滿足，而圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，，故答案為：15.已知向量,，則向量的模的最大值是________.【答案】【解析】【分析】求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)模的計(jì)算公式求出模的表達(dá)式，并化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.【詳解】∵，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，且為，故答案為：16.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是______.【答案】【解析】【分析】通過(guò)構(gòu)造平行線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角，解三角形即可.【詳解】如圖，在棱上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接，，，由于，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，進(jìn)而，又因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.設(shè)，則，，.從而，，，，故，故異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：.四．解答題（共6小題，共70分）17.已知棱長(zhǎng)為1的正方體中．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)三棱錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】證明：（1）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，且所以四邊形為平行四邊形又平面，平面，平面；（2）由正方體易知，三棱錐的高為，所以．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為和最小值為0【解析】【分析】（1）由圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可以得到，進(jìn)而得到的解析式；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，進(jìn)而分析在區(qū)間上的最大值和最小值.【小問(wèn)1詳解】由圖象可知：，將點(diǎn)代入得，∴【小問(wèn)2詳解】由得當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；

19.在銳角中，角的對(duì)邊分別是，，，若（1）求角的大??；（2）若，求中線長(zhǎng)的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，可得到，從而求出結(jié)果；（2）先利用向量的中線公式得到，再利用正、余弦定理及條件求出的范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以，兩邊平方可得:，所以，因?yàn)椋?，，所?又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，得到，所以，由的圖像與性質(zhì)知，，所以，所以，得到故.20.某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).處有一棟大樓，某學(xué)生選，兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得的距離為，，，在處測(cè)得大樓樓頂?shù)难鼋菫?5°.（1）求兩點(diǎn)間的距離；（2）求大樓的高度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，在中，由正弦定理得，即，所以m，即AC兩點(diǎn)的距離為m；【小問(wèn)2詳解】在中，因?yàn)椋?，所以，又，所以m，即大樓的高度為m.21.在銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知邊，且.（1）若，求的面積；（2）記邊的中點(diǎn)為，求的最大值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理、余弦定理可得，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算可得，進(jìn)而，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)余弦定理得，由平面向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】在中，，∴，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，又，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，當(dāng)時(shí)，為正三角形，得，∴；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得：，∵，，∴，∵邊的中點(diǎn)為，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.22.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.（1）證明：平面平面ACE；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一：由已知可推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可證平面PBD，由此能證明平面平面ACE；法二：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面ACE.（2）法一：由題意可推出CE在平面PBD內(nèi)的射影為OE，是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值；法二：求出平面PAC的一個(gè)法向量和平面ACE的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣E的余弦值.【小問(wèn)1詳解】解法一：證明：平面ABCD，，又底面ABCD是菱形，，而，平面，平面PBD，而平面ACE，所以平面平面ACE解法二：證明：已知底面ABCD是菱形，，又平面ABCD，所以BO，CO，