概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章 假設(shè)檢驗(yàn)教案

第八章假設(shè)檢驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)是在總體分布類型已知的條件下，對(duì)總體分布中某些未知參數(shù)，

利用樣本提供的信息做出其數(shù)值大小的估計(jì)，或在給定的置信概率下，確定出

包含各未知參數(shù)的隨機(jī)區(qū)間。

假設(shè)檢驗(yàn)則是對(duì)總體的未知參數(shù)或總體服從的分布等，首先提出某種假設(shè),

例如假設(shè)未知參數(shù)為某一常數(shù)或總體服從某已知分布等，然后由樣本提供的信

息，在給定的顯著性水平下，對(duì)所做假設(shè)的“真實(shí)性”做出否定還是不否定，

即拒絕還是接受的判定。而做出判定的根據(jù)是"小概率原理"，即一個(gè)概率很小

的事件，在一次抽樣試驗(yàn)中，幾乎是不可能發(fā)生的。否則就認(rèn)為小概率事件的

假設(shè)不真實(shí)。

假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題分為兩大類，一類是參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，另一類是非參數(shù)假設(shè)檢

驗(yàn)。對(duì)總體中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)或簡(jiǎn)稱參數(shù)檢3僉；對(duì)總體

的分布、總體間的獨(dú)立性以及是否同分布等方面的檢驗(yàn)，稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

或簡(jiǎn)稱非參數(shù)檢驗(yàn)。

§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的一般概念

為討論假設(shè)檢驗(yàn)的方法和步驟，先看以下兩個(gè)例子，并由此引入有關(guān)概念。

例1外地一良種小麥,667m2產(chǎn)量(單位:kg)服從正態(tài)分布N(400,252),

引入本地試種，收獲時(shí)任取〃=5塊地，測(cè)得其667m2產(chǎn)量分別為400、425、

390、450、410,假定引種后667m2產(chǎn)量X也服從正態(tài)分布，試問(wèn)：

(1)若方差不變，即X~N(",252),本地平均產(chǎn)量〃與原產(chǎn)地的平均產(chǎn)

量4=400kg有無(wú)顯著變化？

(2)若X~M心y,本地平均產(chǎn)量是否比原產(chǎn)地平均產(chǎn)量高(或低)？

(3)本地引種后，667m2產(chǎn)量的波動(dòng)情況與原產(chǎn)地667m2產(chǎn)量的波動(dòng)情

況有無(wú)顯著不同？

例2檢查200箱食品用X表示一箱食品中變質(zhì)食品的數(shù)量單位包)，

〃表示有X包變質(zhì)食品的箱數(shù)，檢驗(yàn)結(jié)果如下：

X01234

77132432032

試問(wèn)變質(zhì)食品包數(shù)X是否服從泊松分布？

以上兩個(gè)例子都是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，而且例1是參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題；例2是

非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。

檢驗(yàn)是對(duì)假設(shè)而言的。一般來(lái)講有如下兩種假設(shè)：一種是原假設(shè)（或零假

設(shè)），通常是"相等性假設(shè)"，例如假定總體均值等于外,總體方差等于其，

總體分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布等，記為?。涣硪环N是在原假設(shè)被拒絕后可供選擇的

假設(shè)，稱為備擇假設(shè)，記為H\。備擇假設(shè)修是和原假設(shè)從不相容的。

例1中，三個(gè)問(wèn)題的假設(shè)分別表示為：

(1)4：〃=外(=400):“例(=400);(8.1)

(2)4：〃=例(=400):〃＞外(=400);(8.2)

Ho:〃=例(=400);M:〃＜的(=400);(8.2')

(3)%:〃=蘇(=252);從：〃。吊(=252)。(8.3)

例2的假設(shè)則可表示為

H。:X服從泊松分布；M:X不服從泊松分布.

對(duì)于一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，做出完整和恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)是解決問(wèn)題的第一步，下

一步就是根據(jù)樣本提供的信息，對(duì)該假設(shè)做出接受或拒絕結(jié)論的檢驗(yàn)。下面我

們以例1中問(wèn)題(1)為例。闡明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念。

欲檢驗(yàn)的假設(shè)(8.11設(shè)(冷石,…,》”)是來(lái)自總體X的樣本。由第七章的有

關(guān)討論，樣本均值亍是總體均值4的無(wú)偏估計(jì)量①，取值集中于〃附近(當(dāng)“較

大時(shí)更是如此)，是〃的真實(shí)體現(xiàn)。因此，要檢驗(yàn)〃=40()這一假設(shè)是否為真(成

立)，我們便利用〃的無(wú)偏估計(jì)量亍與400相比較，如果花-400|較小，則接受

%；而當(dāng)年-4叫較大時(shí)則拒絕"。接受幺。這就需要我們給出一個(gè)臨界值攵,

使當(dāng)區(qū)-400|〈人時(shí)接受H。，而當(dāng)區(qū)-400怛女時(shí)拒絕兒接受X。通常，采用下

述方法來(lái)確定這個(gè)女O

若兒為真，則

H~N(40(),252/n),

〃=^^2~/V(0,l)o

25/冊(cè)

這樣，元的取值集中于400便體現(xiàn)在”的取值集中于0。判斷區(qū)-數(shù))|是否較

|x-400|

小，等價(jià)于判斷間=是否較小。給定很小的正數(shù)cG(0,1)(比如a=0.01),

25/4

由于

“不再嚴(yán)格區(qū)分統(tǒng)計(jì)量與其觀測(cè)值，讀者容易根據(jù)其含義做出判斷，這正體現(xiàn)了樣本的二重性。

P\\u\<u}=P=l-a,

a/225/6"2

P{問(wèn)2“2}

因此，{|"|2〃小}是小概率事件，在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。如果在一次抽

樣中果然觀測(cè)到網(wǎng)之％2，則不僅導(dǎo)致了"|〃|較大"，而且也有悖于常理，于

是便拒絕"。接受必；而當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有找到拒絕"。的充分理由，只

好接受它。

稱a是檢驗(yàn)水平或顯著性水平，它是我們制定檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的重要依據(jù)。常數(shù)

%,2把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線下的區(qū)域分成了兩大部分，其中一部分

{(%,為/..,乙)料2%2}(8.4)

稱為“。的拒絕域或否定域，當(dāng)樣本點(diǎn)落入拒絕域時(shí)，我們便拒絕原假設(shè);

另T汾

卜",...,七胴＜%2}(8.5)

則稱為“。的接受域，當(dāng)樣本點(diǎn)落入接受域時(shí)，我們便接受原假設(shè)兒。鑒于，，a,/2

的這種特殊作用，稱*2為兒的臨界值。

對(duì)于假設(shè)（8.2）（或假設(shè)（8.2'））,人們所關(guān)心的不僅是/J與僅=400有

無(wú)差異，而是，是否比的大（或小\對(duì)于這類檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量仍使用

U—工一〃。

W-/-I

25/yjn

若名為真，則X的觀察值較集中在內(nèi)附近，否則就明顯向右（或向左）偏離，

因此備擇假設(shè)僅有一種可能性，故對(duì)于給定的顯著性水平a，假設(shè)（8.2）中4

的拒絕域?yàn)?/p>

（8.6）

《為"。的臨界值。假設(shè)（8.2'）中"。的拒絕域則為

{（芯,3,-?,%“）|〃＜一%}（8.7）

一般地，拒絕域在接受域兩側(cè)的檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn),（8.1）即是這類檢驗(yàn)

的假設(shè)。拒絕域和接受域各為一側(cè)的檢驗(yàn)稱為單側(cè)檢驗(yàn)。（8.2）和（8.2'）都

是單側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)。在單側(cè)檢驗(yàn)中，拒絕域在接受域右邊的檢驗(yàn)稱為右邊單側(cè)

檢驗(yàn)，（8.2）是右邊單側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)；而拒絕域在接受域左邊的，稱為左邊單

側(cè)檢驗(yàn),（8.21）是左邊單側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)。

以上的推斷是利用一次隨機(jī)抽樣的結(jié)果，根據(jù)小概率原理做出的。由于抽

樣的隨機(jī)性和小概率事件并非一定不發(fā)生的事件，因此，在推斷中可能會(huì)犯如

下兩類錯(cuò)誤。第一類錯(cuò)誤稱為“棄真"錯(cuò)誤：本來(lái)/為真，但由于統(tǒng)計(jì)量的

觀察值落入了拒絕域，兒被拒絕了，顯著性水平a是犯這類錯(cuò)誤的概率，即

2凡被拒絕I4為真｝=a。

第二類錯(cuò)誤稱為“納偽"錯(cuò)誤：本來(lái)從不真，但由于統(tǒng)計(jì)量的觀察值落入了

接受域，兒被接受了，犯這類錯(cuò)誤的概率記為網(wǎng)0<￡<1),即

飛從被接受14不真｝=及

在實(shí)際檢驗(yàn)中，當(dāng)然希望這兩類錯(cuò)誤都很小。但是，在樣本容量〃固定時(shí)，要

同時(shí)減小a和￡是辦不到的。要減小其中的一個(gè)，則另一個(gè)就會(huì)增大(但不要

理解為a+夕=1I當(dāng)a減小時(shí)，拒絕域變小，假若Hi為真時(shí)，則可能本來(lái)差

異是顯著的，但由于拒絕域的變小，使統(tǒng)計(jì)量的觀察值沒(méi)有落入拒絕域而是落

入了接受域,把本來(lái)差異顯著的股當(dāng)作差異不顯著的兒接受了，導(dǎo)致了￡的

增大。要想使a和￡同時(shí)減小，只有增大樣本容量n，使樣本均值的方差4/〃

變小而達(dá)此目的。關(guān)于。、￡與〃的關(guān)系，此處不作進(jìn)一步探討。

在實(shí)際工作中，一般是通過(guò)選擇a來(lái)控制￡的。至于a選多大為宜，要根

據(jù)問(wèn)題的重要性而定。例如航天器元件和醫(yī)療藥品，在檢驗(yàn)中寧可讓棄真錯(cuò)誤

大一些，也不要把次品混進(jìn)合格品中，此時(shí)應(yīng)選a大些；對(duì)于質(zhì)量要求不高,

次品出現(xiàn)影響不大的產(chǎn)品(例如粉筆短了1mm),則可選擇a小些。通常a取

0.10、0.05、0.01.0.001等值。

綜上所述，我們可總結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟為：

(1)根據(jù)問(wèn)題的要求提出假設(shè)，寫明原假設(shè)Ho和備擇假設(shè)M的具體內(nèi)

容。

(2)根據(jù)名的內(nèi)容，建立(或選取)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布。

(3)對(duì)給定(或選定)的顯著性水平a,由統(tǒng)計(jì)量的分布查表或計(jì)算確定

出臨界值，進(jìn)而得到名的拒絕域和接受域。

(4)由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值。

(5)做出推斷：當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的值落入H0的接受域時(shí)就接受H0,否則拒絕

HQ接受o

(6)完整準(zhǔn)確地寫出檢驗(yàn)的結(jié)論。

在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)在0.01<a<0.05下拒絕HQ時(shí)，通常稱差異顯著，記

作,在a<0.01下拒絕H0,通常稱差異極顯著,記作在雙側(cè)檢驗(yàn)

中，備擇假設(shè)可以略去不寫。

§8.2參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

本節(jié)討論單個(gè)總體均值〃和方差/的假設(shè)檢驗(yàn)，兩個(gè)總體均值差的假設(shè)檢

驗(yàn)、方差相等的假設(shè)檢驗(yàn)，以及總體頻率的假設(shè)檢驗(yàn)。

8.2.1單個(gè)正態(tài)總體均值〃的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X~,(王,生…，王)是來(lái)自總體X的樣本，對(duì)，要檢驗(yàn)的

假設(shè)是

(1)雙側(cè)檢驗(yàn)Ho：p=M；H\："W(8.8)

(2)右邊單側(cè)檢驗(yàn)/：〃=僅；Hi:叩例;(8.9)

(3)左邊單側(cè)檢驗(yàn)/:〃=例；(8.10)

其中")為已知常數(shù)。

以上檢驗(yàn)又可分為如下兩種情況。

1.，已知時(shí)的"檢驗(yàn)

由第六章(6.8)式知”N(〃，a2In)，當(dāng)外為真時(shí)，有

〃=￡Z^~N(O,1).(8.11)

a/yjn

對(duì)于給定的顯著性水平a(0<a<1),可查表得到外」，使

P\\u\>ua/2}=a

于是得到雙側(cè)假設(shè)(8.8)中外的拒絕域?yàn)閧(七,內(nèi),…，馬)||哈—}，與(8.4湘

同。由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量”的值后，便可做出檢驗(yàn)結(jié)論：當(dāng)問(wèn)時(shí)

拒絕H。,認(rèn)為總體均值，與已知常數(shù)〃)之間差異顯著；而當(dāng)|“區(qū)分"寸，則

接受名,認(rèn)為〃與，。之間差異不顯著(但并非〃="。\

在檢驗(yàn)單側(cè)假設(shè)(8.9)和(8.10)時(shí)，仍使用統(tǒng)計(jì)量(8.11)。假設(shè)(8.9)中“°

的拒絕域?yàn)閧(玉，斗，…,x,)|“>%},與(8.6)相同；假設(shè)(8.10)中“。的拒絕域

為…,x")|〃<-4}/與(8.7)相同。

例1對(duì)§8.1中例1的問(wèn)題⑴，在a=0.01下做出檢驗(yàn)。

解其假設(shè)如8.1成為6已知時(shí)的〃檢驗(yàn)。由樣本觀察值計(jì)算出了=415,

又已知4=252,〃=5,則統(tǒng)計(jì)量的觀察值“=415-域0=]3416,a=0.05,

25/V5

查表得臨界值％/2="(W25=L96。

由于問(wèn)=1.3416<劭必=1.96,所以接受假設(shè)”。，認(rèn)為該小麥品種引種到

本地后，平均產(chǎn)量與原產(chǎn)地?zé)o顯著差異，具有推廣價(jià)值。

例2據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，某杏園中株產(chǎn)量(單位：kg)服從/V(54,3.52),1993

年整枝施肥后，在收獲時(shí)任取10株單收，結(jié)果如下：

59.055.158.157.354.753.655.060.259.458.8

假定方差不變，問(wèn)本年度的株產(chǎn)量是否有提高？(。=0.05)

解此為已知方差。2=3.52的右邊單側(cè)檢驗(yàn)，其假設(shè)為

Ho:〃=54;Hi:”>54。

計(jì)算得下=57.12。又/7=10,公3.5,所以u(píng)=5712(4=28]89；由

3.5/V10

a4.05彳導(dǎo)=405=L645。

由于〃=2.8189>%=1.645,所以拒絕H。接受Hi,即認(rèn)為本年度的株產(chǎn)量

較往年有較大提高。

例3已知某煉鐵廠的鐵水含碳量%在正常情況下服從/V(4.55,0.112),

今測(cè)得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。若標(biāo)準(zhǔn)差不變,

鐵水的含碳量是否有明顯的降低？(cr=0.05)

解此為方差〃=0.112時(shí)的左邊單側(cè)檢驗(yàn)，其假設(shè)為

H&〃=4.55;M：“<4.55。

由題設(shè)知〃=5,。2=0.112,又由樣本觀察值計(jì)算出亍=4.364,則

天一人4.364-4.55_

u=---=--------；=—=-3a.78O1,

a/yjn0.11/y5

a-0.05,查表得〃。=1.645。

由于u<—ua,所以拒絕從接受Hit即認(rèn)為鐵水的含碳量有顯者下降。

2.J未知時(shí)的，檢驗(yàn)

在許多實(shí)際問(wèn)題中，方差是未知的，此時(shí)由第6章（6.15）式，當(dāng)雙側(cè)假

設(shè)（8.8）中/為真時(shí)

「=之華（8.12）

s/yjn

對(duì)于給定的a（0<a<1）,可查表得%2（"T），使得P｛|”>a2（〃—1）｝=。。

由此得到雙側(cè)假設(shè)（8.8）中“。的拒絕域?yàn)椋ú慌c…,七州之％2（〃-1）｝，

其中如2（〃T）為臨界值。對(duì)于給定的樣本觀察值，可由（8.12）式計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量t

的值，并據(jù)此做出推斷:當(dāng)M乂/2（〃T）時(shí)拒絕”。；而當(dāng)M<%2（〃T）時(shí)接受”。。

在檢驗(yàn)單側(cè)假設(shè)（8.9）和（8.10）時(shí)，仍使用統(tǒng)計(jì)量（8.12）。假設(shè)（8.9）中“°

的拒絕域?yàn)椋ê陀?…（〃-D｝；假設(shè)（8.10）中"。的拒絕域?yàn)?/p>

單個(gè)正態(tài)總體均值〃的〃檢驗(yàn)和常僉驗(yàn)，可總結(jié)如表8.1

表8.1單個(gè)正態(tài)總體均值〃的"檢驗(yàn)和，檢驗(yàn)

方差已知（〃檢驗(yàn)）方差未知（1檢驗(yàn)）

統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量

檢驗(yàn)

HoHi

類型u=.一牛~N(0,1)t=—~~磬~t(n—1)

bNns/

在顯著性水平a下外的拒絕域

雙側(cè)檢驗(yàn)M>%2(〃T)

右邊單側(cè)檢驗(yàn)〃>例U>uat>ta(n-l)

左邊單側(cè)檢驗(yàn)〃二M）〃<外u<-ua

例4一般情況下667m2糧食產(chǎn)量服從正態(tài)分布。某縣在秋收時(shí)隨機(jī)抽查

了20個(gè)村的667m2產(chǎn)量（單位:kg）得平均產(chǎn)量F=1052kg標(biāo)準(zhǔn)差s=50kg,

試問(wèn)該縣已達(dá)到噸糧縣的結(jié)論是否成立?（a=0.05）

解本題是〃未知的左邊單側(cè)檢驗(yàn)。

Ho：^=1000;1000@o

由于樂(lè)未知，用常僉驗(yàn)。由題設(shè)77=20,s=50,a=0.05,貝(］三二1052,

亍―41052-1000一〈I

——=-----=4.651,

s/\/n50/V20

查表彳導(dǎo)占(九-1)=505a9)=1.729lo

由于力T“(“-1),所以接受H。,認(rèn)為該縣已經(jīng)達(dá)到了噸糧縣的標(biāo)準(zhǔn)。

3總體分布未知，但為大樣本時(shí)的"檢驗(yàn)

若總體X的分布未知，均值〃和方差。2存在，(4,生…，%)是來(lái)自總體X

的一個(gè)大樣本(〃250),由獨(dú)立同分布的中心極限定理，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有

當(dāng)J已知且H0為真時(shí)，u=七隼漸近服從N(0,1)分布,故可用〃檢驗(yàn)

(y7n

完成(8.8\(8.9).(8.10)的檢驗(yàn)。

不可將本題的假設(shè)表示為“："=1000,>1000,因?yàn)?=1000和“>1000表示相同的意義。

當(dāng)J未知時(shí)，用。2的無(wú)偏估計(jì)$2代替。2,在"為真的情況下，亦有

“=文年漸近服從N(0,1)分布，可仿照出已知的情況進(jìn)行〃檢驗(yàn)。

例5某果園，蘋果樹剪枝前平均每株產(chǎn)蘋果52kg,剪枝后任取50株單

獨(dú)采收，經(jīng)核算平均株產(chǎn)量為54kg,標(biāo)準(zhǔn)差s=8kg,試問(wèn)剪枝是否提高了株

產(chǎn)量？

解此為總體分布未知且方差亦未知的大樣本下，對(duì)〃的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。

Ho：〃=52;M：〃>52。

由題設(shè)〃=50,x=54,5=8,貝打，=^^=^JI=1.767L查表得

s/yjn8/V50

W0.05=1?64f/%025=1.96。

由于"oa<〃<%35，當(dāng)a=0.05時(shí)應(yīng)拒絕“0接受,而當(dāng)a=0.025時(shí)就

應(yīng)當(dāng)接受H。。故認(rèn)為剪枝對(duì)提高蘋果產(chǎn)量有顯著作用，但并不十分顯著。

8.2.2單個(gè)正態(tài)總體方差4的/檢驗(yàn)

設(shè)總體人/V(〃，J),其中出為待檢驗(yàn)的未知參數(shù)，(芭，在…，/)是來(lái)自

總體X的樣本，要檢驗(yàn)的假設(shè)為：

(1)雙側(cè)檢驗(yàn)~b；(8.14)

22

(2)右邊單側(cè)檢驗(yàn)H0:<T=蘇;Hf:a>a-；(8.15)

(3)左邊單側(cè)檢驗(yàn)/：/=其；乜：b2<b>(8.16)

其中/是已知常數(shù)。由于使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均服從/分布，故檢驗(yàn)稱為/檢

驗(yàn)。檢驗(yàn)分為，已知和未知兩種情況。

1.〃已知時(shí)〃的/檢驗(yàn)

當(dāng)兒為真時(shí)

1n

z2=—Xu,-^)2~Z2(?)(8.17)

5)i=l

且

P{/2<%乙2(〃)}=。/2,(8.18)

產(chǎn){力2>%，(〃)}=a/2。(8.19)

由(8.18)和(8.19)可得雙側(cè)假設(shè)(8.14)中外的拒絕域?yàn)?/p>

{(3,為2，-、馬)|力2<沈.2(〃)}1|{(知工2，,"")|%2>福(〃)}。(8.20)

由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量/的值后，便可進(jìn)行如下推斷：當(dāng)

/<2乙2(〃)或/>/，(")時(shí)拒絕HQ,認(rèn)為樂(lè)與b：差異顯著；否則就接受

H0,認(rèn)為〃與式之間無(wú)顯著差異。

對(duì)于單側(cè)檢驗(yàn)(8.15)和(8.16),仍使用統(tǒng)計(jì)量(8.17),不難得到它們的

拒絕域分別為

2

{(x,,x2,---,x?)|z>/(〃)}(8.21)

和

{(2々,…,4)|%2<猶&(研。(8.22)

2.〃未知時(shí)/的/檢驗(yàn)

在〃未知且當(dāng)，為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

z2=^-T-s2=-4-^2(X,.-x)2~z2(/i-l)(8.23)

々4/=!

檢驗(yàn)方法與〃已知的情況沒(méi)有本質(zhì)的差異。(8.14)中4的拒絕域?yàn)?/p>

{a，X2「、X")|%2<7M/2(〃T)}u{a，"“")|%2>/22(〃T)}。(8.24)

(8.15)中小的拒絕域?yàn)?/p>

2

{(xl,x2,---,x?)|z>Z；(?-1)}(8.25)

(8.16)中/的拒絕域?yàn)?/p>

{(七,々/一,王)|力2<力乙("-1)}。(8.26)

總結(jié)上述討論，可得單個(gè)正態(tài)總體方差@的/檢驗(yàn)表8.2。

例6已知某種棉花的纖度服從，0.0482),現(xiàn)從2003年收獲的此種

棉花中任取8個(gè)樣品,測(cè)得纖度為：1.40,1.38,1.32,1.42,1.36,1.44,

1.32,1.36。問(wèn)2003年棉花纖度的方差與已知纖度的方差是否相同?(a=0.10)

解這是〃未知情況下，對(duì)總體方差的雙側(cè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)假設(shè)為

Ho：o2=b：(=0.0482\

由題設(shè)條件n=8,蘇=0.0482,又由樣本觀察值計(jì)算得斤=1.375,

818

22

X(七-元)2=0.0134,貝?。輟=-^￡u,.-x)=5.8160,的0.10，查表得

i=l/=1

力：烏(〃-1)=%工(7)=1.145,z^(n-l)=7^.(7)=11.071o

~2

由于1)</<，所以接受H。,即認(rèn)為2003年棉花纖度的

122-

方差與0.0482無(wú)顯著不同。

表8.2單個(gè)正態(tài)總體方差出的胃檢驗(yàn)

〃已知〃未知

統(tǒng)計(jì)量/=統(tǒng)計(jì)量￥=

檢驗(yàn)

HoHi

1〃二！■5?~九2（〃-i）

類型F￡（X,一〃）2~力2（〃）

aoZ=1

在顯著性水平a下4的拒絕域

22,、22

%<%Y/2（〃）力一<名二/2（〃-1）

雙側(cè)檢驗(yàn)〃=說(shuō)

或力2>//2（〃）或/>//2（〃-1）

22,

Z2>/（〃T）

H>筋⑺

右邊單側(cè)檢驗(yàn)出二大

*

292

，〈疣a（〃）Z<ZL（?-D

左邊單側(cè)檢驗(yàn)無(wú)而

或

8.2.3兩個(gè)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體片/V（仇，。2）,Y~NM6）,且X與丫相互獨(dú)立，（與,々,…,天）

和(y，M，…,九)分別是來(lái)自總體版口H的樣本K和s；分別是樣本(％,々,…,/)

的均值和方差；了和其分別是樣本(加的均值和方差，要檢驗(yàn)的假設(shè)

為：

(1)雙側(cè)檢驗(yàn)/：伏二優(yōu)；/V1：仇H篋；(8.27)

(2)右邊單側(cè)檢驗(yàn)Ho：/Ji=p2；Hi:">位;(8.28)

(3)左邊單側(cè)檢驗(yàn)HO：/JI=/J2；</J2O(8.29)

此檢驗(yàn)分為如下兩種情況。

1./2,6已知時(shí)的"檢驗(yàn)

由抽樣分布知且］,，

由X與汽目互獨(dú)立知F與

k)I〃2J

F獨(dú)立，故

<22、

x-y~N4-〃,，—+—

I4〃2,1

當(dāng)外為真時(shí)，有

?N(0,1)(8.30)

仿照單個(gè)正態(tài)總體均值〃的〃檢驗(yàn)，即可得到表8.3中的相關(guān)結(jié)果。

2.b；=/=4但未知時(shí)的，檢驗(yàn)

在此條件下，當(dāng)從為真時(shí)，有

K一.、’

?+%-2)(8.31)

y々+%-214%,

仿照單個(gè)正態(tài)總體均值〃的常僉驗(yàn)，即可得到表8.3中的相關(guān)結(jié)果。

表8.3兩個(gè)總體均值差的U檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)

而，可已知（〃檢驗(yàn)）b：=b；=CT?但未知?檢驗(yàn)）

統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量*

檢驗(yàn)

《H\

“二-,，MV——N(O,1)

區(qū)+三1=—2)

類型上

Y勺n

2Vnin2

在顯著性水平a下〃的拒絕域

1〃1>電1t\>t(ni+m-2)

雙側(cè)檢驗(yàn)〃1二〃2a

~22

右邊單側(cè)檢驗(yàn)二〃2〃1>〃2〃>%t>ta(m+/72-2)

U<

左邊單側(cè)檢驗(yàn)二伏-"at<-ta(m+m-2)

*$2=(勺-1)5；+(%-1)5；

勺+%—2

例7為比較兩種農(nóng)藥殘留時(shí)間（單位：d）的長(zhǎng)短，現(xiàn)分別取12塊地施

甲種農(nóng)藥，10塊地施乙種農(nóng)藥，經(jīng)一段時(shí)間后，分別測(cè)得結(jié)果為：

甲：x=12.35,=3.52;

乙：j=10.75,$=2.88.

假設(shè)兩藥的殘留時(shí)間均服從正態(tài)分布且方差相等，試問(wèn)兩種農(nóng)藥的殘留時(shí)間有

無(wú)顯著差異？（a=0.05）

解此為蘇=員=/但未知時(shí)，對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的？的檢驗(yàn)。

Ho:〃1=〃2；H1:必/篋。

由題設(shè)％=12,氏=10,x=12.35,y=10.75,s；=3.52,s：=2.88,則

12.35-10.75

t=■I,=2.0786,

11x3.52+9x2.88(1J_、

+

y-12+10-2-lk1210.

a=0.05,則L(〃|+%-2)=103(20)=2.0860。

22

由于14<L(〃|+%-2),所以在顯著性水平a=0.05下接受H0,認(rèn)為兩

2

種農(nóng)藥的殘留時(shí)間無(wú)顯著差異。但由于a=0.052時(shí)，%(4+〃2-2)=%052(20)

~22

=2.0663,所以在顯著性水平a=0.052下應(yīng)拒絕Ho,認(rèn)為兩種農(nóng)藥的殘留時(shí)

間有顯著差異。這就表明，在統(tǒng)計(jì)量的值比較接近臨界值時(shí)，做出何種結(jié)論都

是困難的，都可能312較大的錯(cuò)誤。

以上是對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)。但是，更多的情況是總體分布

未知，要求對(duì)兩個(gè)總體的均值差進(jìn)行檢驗(yàn)。要解決這類問(wèn)題，通常的方法是取

兩個(gè)大樣本，由中心極限定理，當(dāng)外:伏=償為真時(shí)

u=.「一》~N(0,l)③(8.32)

區(qū)+式

《飛巧

當(dāng)b；，犬未知時(shí)，用S：和食分別代替b；和犬,有

u=^~y~/V(0,l)(8.33)

o

VAlj&

這就是說(shuō)，兩個(gè)總體的分布未知，但只要是大樣本，無(wú)論方差知否，均可

用"檢驗(yàn)進(jìn)行均值差的顯著性檢驗(yàn)。

記號(hào)“~N(0,l)表示當(dāng)8時(shí)u的漸近分布為N(0,l)。

例8甲乙兩種作物分別在兩地種植，設(shè)管理?xiàng)l件相同，收獲時(shí)得以下結(jié)

果：

甲：g=400hm2,平均產(chǎn)量彳=5030kg,5,=510kg;

2

乙：/72=550hm,平均產(chǎn)量歹=5100kg,s2=500kgo

問(wèn)甲的產(chǎn)量是否比乙的低?(a=0.05)

解這是兩個(gè)總體分布及其方差均未知，對(duì)總體均值差的檢驗(yàn)，由于是大

樣本，故為〃檢驗(yàn)。

Ho:仇=依;/Ji</J2o

由題設(shè)條件及(8.33)可計(jì)算出

x-y_5030-5100

U=-2.10599,

51025OO2

-------d----------

400550

cr=0.05,則%=1.645。由于%,所以拒絕從接受Hi,即認(rèn)為作物甲的

產(chǎn)量比作物乙的低。

8.2.4兩個(gè)正態(tài)總體方差齊性的尸檢驗(yàn)

設(shè)總體，內(nèi)M〃2，b；）,且X與P相互獨(dú)立，（％,無(wú)2,…，/）和

（x，%，…,九）分別是來(lái)自總體版口用樣本k和s：分別是樣本（西,孫…,勺）的

均值和方差萬(wàn)和S；分別是樣本（X，必，…,九）的均值和方差，欲檢驗(yàn)的假設(shè)是：

Tr?2

（1）雙側(cè)檢驗(yàn)Hn：b；=cr+"]b2干b；(8.34)

（2）右邊單側(cè)檢驗(yàn)%：b；=cr：；HjCr；(8.35)

（3）左邊單側(cè)檢驗(yàn)H（）:cr；=cr：；H,cro(8.36)

此檢驗(yàn)又分為ZA,42已知和未知兩種情況。

1.,償已知時(shí)方差齊性的尸檢驗(yàn)

由樣本方差的性質(zhì)知

得百1?熱1—-旭），竭大1〃2.「〃―/（?

當(dāng)兒為真時(shí)，由尸分布的定義知統(tǒng)計(jì)量

1勺

2,一之（七一4）2

石/勺_馬閆(8.37)

//%心（y「〃2）2

?22

由

aa

■｛尸（耳?2（?1，?2）｝=萬(wàn)，—｛尸〉乙/2（?1，?2）｝=5，

得至U（8.34）中外的拒絕域?yàn)?/p>

卜孫工2，一?,%）,（如當(dāng)，?“，券2）|%耳-"2（4，〃2）｝

或｛（%，巧，…，/），（如必，…，九）忻》弓/2（/，〃2）｝。

由樣本觀察值計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量的觀察值尸后，便可做出以下推斷：當(dāng)

FW耳52（%"2）或產(chǎn)之月/2（“，巧）時(shí)，就拒絕H。,認(rèn)為（T：和CT；有顯著差異,

否則接受小,認(rèn)為b：和b；差異不顯著，此時(shí)稱X和P的方差是齊性的。方

差相等性檢驗(yàn)也稱為方差齊性檢驗(yàn)。

對(duì)于單側(cè)檢驗(yàn)，其統(tǒng)計(jì)量仍為（8.37）式,4的拒絕域見(jiàn)表8.4。

2.2,償未知時(shí)方差齊性的尸檢驗(yàn)

由樣本方差的性質(zhì)知

5%

由x和％獨(dú)立知片和必獨(dú)立。則當(dāng)必為真時(shí)，由尸分布的定義，統(tǒng)計(jì)量

F==4~?（〃「1,%T）（8.38）

72/（%—1）$2

類似于仇和篋已知的情況,（8.34）中Ho的拒絕域?yàn)?/p>

卜不々,一，,/）,（凹,必，,、%）怛<片-a/2（勺一1，〃211）｝

或｛（%工2，一,,/）,（如%，一、九）|/2月/2（4-1，〃2-1）｝。

總結(jié)以上結(jié)果，得方差齊性的尸檢驗(yàn)表8.4。

表8.4兩個(gè)正態(tài)總體方差齊性的尸檢驗(yàn)表

,〃2已知〃1,〃2未知

統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量

檢驗(yàn)

1為

一方（X）2

HoHi

尸;代----------尸（勺,"2）

類型

F=^~F{n,-\,n-\)

n2/=12

S2

在顯著性水平a下的的拒絕域

o22F<F八足，吟F<F?(Z71-1,z72-1)

雙側(cè)CTjHb：1--

檢驗(yàn)或F>q(m,㈤或F>F區(qū)(m-1,rn-

22

1)

右邊單

42=/2CT；>㈤

F>Fa(ni,F>Fa(ni-1,n2-1)

側(cè)檢驗(yàn)

左邊單

2?

%=g蘇</F<F~(m,㈤F<F,_a(ni-1,r72-1)

側(cè)檢驗(yàn)

例9從甲乙兩種氮肥中，各取若干樣品進(jìn)行測(cè)試，其含氮量數(shù)據(jù)分別為

甲：/7I=18,元=0.2300,s；=0.1337；

乙：柩=14,y=0.1736,^=0.1736.

若兩種氮肥的含氮量都服從正態(tài)分布，問(wèn)兩種氮肥的含氮量是否相同？

(a=0.05)

解此題是兩正態(tài)總體方差未知，亦不知是否齊性的情況下對(duì)兩總體均值

差的檢驗(yàn)。要用纖僉驗(yàn)，須先作方差齊性檢驗(yàn)。

2

Ho:er,=(y\.

由題設(shè)勺=18,s[=0.1337,%=14,s；=0.1736,于是

s：0.1337

=0.7702,

品一0.1736

由cr=0.05得

FJ^-1,n2-V)=F005(17,13)=3.00,

22

Fa(n1-l,n2-l)=F005a7,13)=0.36°

1-1-------

22

由于77a(4-1，四一1)＜一＜工(4一1，々一1)，所以接受外，認(rèn)為方差是齊

I-----

22

性的。

因已得到方差齊性的結(jié)果，1檢驗(yàn)的條件已滿足。進(jìn)而檢驗(yàn)

Ho：優(yōu)二"。

統(tǒng)計(jì)量的值為

t=?-

gl)S：+(〃2-叫1+1

4+〃2-2n

J]27

0.23-00.1736

0.40,

I17XO._1J^7X13^0/17361

\1-141「"J14

a=0.05,貝+%-2)=%(30)=2.0423

22

由于I/1〈L(/+〃2-2),所以接受H0,即認(rèn)為兩種氮肥的含氮量基本相

~2

同(無(wú)顯著差異\

8.2.5總體頻率的假設(shè)檢驗(yàn)

在產(chǎn)品檢驗(yàn)，森林樹木病害率的調(diào)查以及藥效對(duì)比等試驗(yàn)中，常用到總體

頻率的檢驗(yàn)，本節(jié)就大樣本的情況下，討論總體頻率差異性的檢驗(yàn)。

1.單個(gè)總體頻率的檢驗(yàn)

設(shè)夕為總體X的頻率，(冷冷….口是來(lái)自總體入的樣本，下是樣本均值，

例(0<0<1)為已知常數(shù)，要檢驗(yàn)的假設(shè)為

HQ:P=PG。(8.39)

由中心極限定理，當(dāng)/為真時(shí)

(8.40)

于是以下的檢驗(yàn)過(guò)程完全同于〃檢驗(yàn)，不再贅述。

例10某種子站有一批種子，按規(guī)定發(fā)芽率不低于95%才可出售，今從

中任取500粒作發(fā)芽試驗(yàn)，有480粒出芽，問(wèn)這批種子可否出售?(a=0.0S)

解設(shè)這批種子(總體)的發(fā)芽率為p,則要檢驗(yàn)的假設(shè)為

Ho:/?=0.95;Hi:/?<0.95?

由題設(shè)條件”=500,x=----=0.96,cr=0.05,ua=1.645,

=1.026

Po)0.95(1-0.95)

V500

由于〃〉-%,故接受HQ,認(rèn)為該批種子的發(fā)芽率不低于95%,可以出售。

2.兩個(gè)總體頻率差異性的檢驗(yàn)

在分析對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，常用到兩個(gè)總體頻率差異性的檢驗(yàn)，設(shè).和口

分別是獨(dú)立總體X和P的頻率，亍和了分別X和P的樣本均值，G和①分別

是X和Z的樣本容量。檢驗(yàn)假設(shè)為

，2(=Q；

“0：P尸4:印月；(8

H。：%=〃2(=同；耳：廬序(8

，2(=0；

“o：P尸4:不P1-(8

由中心極限定理，有

^(g支]

Np?y^N(p

人/v〃],，yiy“2，

n

In\)I2J

由X和P的獨(dú)立性，有

x-j-//vfp「p,,■(1")+，2(1-幺)](8.44)

I4?2)

當(dāng)HQ為真時(shí)，即8="2=〃時(shí)，P的無(wú)偏估計(jì)為

(8.45)

n+n

勺+〃2勺+〃2(&M)\2

其中九人分別是二總體具有某種性質(zhì)的個(gè)體數(shù)(亦即實(shí)測(cè)頻數(shù)\由(8.44)式,

當(dāng)兒為真時(shí)

ud

了7x—y

u=-;=~/V(Q,l)(8.46)

IP(I-P)+P(1-P)fl1]

y/n2V14n2)

以下的檢驗(yàn)也完全與"檢驗(yàn)相同?，F(xiàn)將總體頻率的假設(shè)檢驗(yàn)總結(jié)為表8.6。

例11為檢驗(yàn)一種預(yù)防流感新藥的療藥，作對(duì)比試驗(yàn)，其中一組200人

服此藥后，161人免于流感，另一組400人服其它藥，有250人免于流感,

試在汨0.01下，檢驗(yàn)此藥對(duì)預(yù)防流感的效果是否顯著？

解此為二總體頻率差異性檢驗(yàn)，設(shè)服新藥總體免疫的頻率為.，服其它

藥總體免疫的頻率為pi,欲檢驗(yàn)

Ho:P1=P2；HePl>4

由題設(shè)條件機(jī)=200,./；=161,叼=400,人=250,a=0.01,%=%,(n=2.33。

=1^1=0.805,_250=0.625,p=A±4161+250

則%y-----=0.685,

200400-200+400

0.805-0.625

u==4.4745。

11

.P0~P)—?+|0.685(1-0.685)--------1--------

V5n2)200400

由于，，＞%,所以拒絕”。接受Hi,即新藥療效極顯著。