四邊形二（江蘇專用）初中數(shù)學(xué)

第二步大題得高分

考點(diǎn)26四邊形(2)

真題回顧

1.(2020?山東日照市?中考真題)如圖，中，ZC=90°,以4ff為邊在45上

方作正方形ZE應(yīng)，過(guò)點(diǎn)〃作〃匠L宙交⑦的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E連接版

(1)求證：XAB微l\BDF;

(2)P,〃分別為47,班?上的動(dòng)點(diǎn)，連接4MPN,若。戶=5,AC=9,求4M的最

小值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)14

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=AB,ZDBA=90°,進(jìn)而得出/DBF=NCAB,因?yàn)?/p>

ZC=ZDFB=90°.根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根

據(jù)垂線段最短，作DPi_LAC,交BE于點(diǎn)Ni,垂足為Pi，則AN+PN的最小值等于DPi=FC=14.

【詳解】

(1)證明：；Rt△力以7中，NC=90°,DFLCB,

1

:./C=/DFB=9G.

,二四邊形/夕"是正方形，

:?BD=AB,NDBA=90°,

,：ZDBF+ZABC=90°,ZCAB-}-ZABC=90°,

:?/DBF=4CAB,

:?△ABSXBDF(44S)；

(2)解：、：△ABC^XBDF、

***DF=BC=5,BF—AC=9,

：?FC=BF+BC=9+5=14.

如圖，連接"V,

:砥是正方形頂點(diǎn)/與頂點(diǎn)〃的對(duì)稱軸，

：.AN=DN.

如使得“陰■&V最小，只需久N、?在一條直線上,

由于點(diǎn)P、7V分別是ZC和6￡上的動(dòng)點(diǎn)，

作。A_L/C,交BE干點(diǎn)、Ni，垂足為A，

所以，4V+/W的最小值等于。尸i=R；=14.

【點(diǎn)睛】

2

本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟練掌握正方

形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.(2020?遼寧朝陽(yáng)市?中考真題)如圖，在R/OABC中，ZBAC=9(f,AB=AC,M

是ZC邊上的一點(diǎn)，連接8",作于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作2c的垂線交4P的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AM=CEt

(2)如圖2,以為鄰邊作DAA/BG,連接必交8c于點(diǎn)從連接4V,求丁的

AN

值；

(3)如圖3,若“是47的中點(diǎn)，以為鄰邊作DAGMB,連接GE交回于點(diǎn)M,

NCGE

連接⑷V,經(jīng)探窕發(fā)現(xiàn)壬=g1,請(qǐng)直接寫(xiě)出匕的值.

BC8AN

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)—=2；(3)益二

AN5

【分析】

(1)通過(guò)證與4CAE全等可以證得AM=CE；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF1CE交BC于F,通過(guò)證明△ABG與4ACE全等，證得AG=AE,通過(guò)

△GBNHEFN證得GN=EN,最后由直角三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；

3

(3)延長(zhǎng)GM交BC丁點(diǎn)F,連接AF,在RraAFC中，由勾股定理求出AN的長(zhǎng),在RfAAEG

中，求出EG的長(zhǎng)即可得到答案.

(1)證明

AP±BM,ZAPB=90°

：.ZABP+ZBAP=9(f

vZBAP+ZC4E=90°

4CAE=4ABP

CE±AC,ZBAM=ZACE=90°

vAB=AC,：aABM^JCAE(ASA)

：.CE=AM

上。

EE

圖1圖2

(2)過(guò)點(diǎn)￡作色的垂線交5c于點(diǎn)F

"EC=90°

vAB^AC,ABAC=90°

4

,-.ZACB=ZABC=45°

ZACE=90°,NFCE=45°

:.NCFE=NFCE=4S

:.CE=EF,4EFN=13S

：.四邊形AMBG是平行四邊形

AM=BG,ZABG=NBAC=90’

ZGBN=ZABG+ZABC=135°

/.ZGBN=ZEFN

由(1)得口ABMgDCAE

AM=CE,;.BG=CE=EF

?/NBNG=ZFNE

：GGBN^]EFN(AAS)

：.GN=EN

-AG//BM

NGAE=ZBPE=90",.'.AN=、GE.

2

.卒=2.

AN

(3)如圖，延長(zhǎng)GM交BC于F,連接AF

5

A

圖3

在口ABMG中，AB//GM,AABM^AMGA.

ZAMG=ABAC=90°,

NGMC=NACE=90°,

GF/ICE,

AM=MC,

BF=CF,

?/AB=AC,

：.AF1BC,AF=-BC,

CN1

-=

Bc8-,設(shè)CN=x,則BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

.?.在RfAAFN中，AN=VAF2+FN2=5X，

在Rf/XABM中，AB=—BC=—x8x=，AM=」A8=2缶,

222

BM=弋AB?+AM?

：.AG=BM=2MX，

由（1）知LMBW石。石，

6

???ACAE^/XMGA

AE=AG,

在R?AAEG中，EG=y/AE2+AG2=GAG=QX2而X=4&-

.GE4&4石

-------------.

,'AN5X5

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于壓軸題.

模擬預(yù)測(cè)

3.(2021?溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)其他模擬)已知拋物線/:，=-/+陵經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0),點(diǎn)

A,點(diǎn)〃均在拋物線上，且A8//X軸.

(1)求b的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)在第一象限內(nèi)作一個(gè)矩形A8CD,點(diǎn)C,。落在x軸上.將拋物線/平移，使拋物線

頂點(diǎn)落在矩形ABCO內(nèi)部(包括頂點(diǎn))，新拋物線與y軸交點(diǎn)為(。?,若43=2,請(qǐng)求出

c的取值范圍.

【答案】(1)6=4,(2,4)；(2)-9<c<2

【分析】

7

(1)把點(diǎn)(4,0)代入尸-*+灰，利用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后把解析式化成

頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)題意求得/、8的坐標(biāo)，即可求得〃的坐標(biāo)，根據(jù)4〃的坐標(biāo)即可求得拋物線

的解析式，令*=0,與夕軸的交點(diǎn)，求得c的值，根據(jù)圖象即可求得符合題意的c的取值.

【詳解】

解：(1)?.?拋物線/：片-*+6*經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0),

.,.-16+46=0,

b=4,

：.拋物線/為：尸-*+4x,

'：y=~x2+4x=~(x~2)2+4,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)；

(2)設(shè)48點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x/,xz,

?.?對(duì)稱軸x=2,

.?.xi+為=4,

":AB=2,

??X\2,

fx.+=4fx.=3

由《一寸解得?,

(再-x2=2=1

把x=l代入尸一N+4x得尸3,

：.A(3,3),B(1,3),

：.D(3,0),

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)移到點(diǎn)笈時(shí)，則片一(x-l)2+3,

8

令A(yù)=0,則尸2,

c=2,

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)移到點(diǎn)。時(shí)，則片-(x-3)2,

令戶0,則片-9,

：.c=-9,

...-9WW2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩

形的性質(zhì)，求得/、5的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?江蘇南通市?九年級(jí)其他模擬)如圖，在矩形4反。中，AB=2BC,F、G分別

為AB、〃。邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接GF,沿仍將四邊形4也?翻折至四邊形EFGP,點(diǎn)E落在BC

上，EP交Q于點(diǎn)H,連接力￡交GF于點(diǎn)O.

(1)寫(xiě)出斯與之間的位置關(guān)系是;______,

(2)求證：AE=2GF

3

(3)連接6P,若sin/a/=『，求密的長(zhǎng).

【答案】(1)AELGF,(2)證明見(jiàn)解析，(3)1.

9

【分析】

(1)由折疊性質(zhì)得，AAOF=AEOF,進(jìn)而得4?J_GK

(2)過(guò)G作了用，證明△力即可求解；

(3)過(guò)。作PKLS于點(diǎn)&得/功汨=/0氏三NCGP,借助已知函數(shù)值，得出砥與5尸

的關(guān)系，在RtAABE中,由勾股定理列出方程求得各邊長(zhǎng)度，再根據(jù)(2)得出力62廂，

進(jìn)而求得5E和8c的長(zhǎng)即可.

【詳解】

解:(1)由折疊性質(zhì)可知，AAOF=ZEOF,

VZAOF+ZEOF=1QO°,

:.NAOF=/EOF=90°,

：.AELGFx

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)G作G"_L/8于點(diǎn)用，則四邊形為矩形，

：.AD=GM,NMFG+NMGF=90.

由（1）得GF±AE,

〈NMFG+/E4O=90°,

:.ZBAE=/MGF.

:.NB=NFMG=90".

10

:.XABE?t\GMF,

.AE_AB_AB

~GF~~GM~~AD

：.AE=2GF,

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作尸《1仇7,交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)《由折疊的性質(zhì)可知

NFEP=NFAD=/D=NEPG=90",

NCGP+NG〃P=90°.

ZPEC+ZEHC=9Q°且ZGHP=ZEHC,

：.NPEC=4CGP.

'：ZBEF+ZBFE=ZBEF+ZPEC三90°,

ZBFE=ZPEC=ZCGP.

3

?/sinZCGP=-

5

RF3

sinNBFE=——=-

EF5

設(shè)BE=3x,則EF=AF=Sx,

.BF=dEF?-BE?=4x

：.AB=9x.

11

'：AE=2GF,GF=?，

：.AE=2y[\^,

在Rt/XABE中,由勾股定理得AB^+SP=AE2,g|J81^+9^=40,

22

解得x=彳或x=-二(舍去)

33

?*.AB=9x=6fBE=3x=2,

YAB=2BC,

：.BC=3,

:.EC=BC-BE=3?2=\；

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，難度較

大，關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形充分利用相似三角形和解宜角三角形的知識(shí)以及勾股定理、方

程思想解決問(wèn)題.

5.(2021?湖北武漢市?九年級(jí)其他模擬)如圖，P是正方形ABCD邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線

段4E與4D關(guān)于直線4P對(duì)稱，連接班并延長(zhǎng)交直線4P于點(diǎn)E連接成

圖(1)圖(2)圖⑶

(1)如圖(1),ZBAP=20°,直接寫(xiě)出N4陽(yáng)的大小;

(2)如圖(2),求證：BE=五CF；

12

(3)如圖(3),連接出G是磔1的中點(diǎn)，AB=1,若點(diǎn)尸從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,直接寫(xiě)出

點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

兀

【答案】(1)45°,(2)證明見(jiàn)解析，(3)

4

【分析】

(1)連接。尸，作ANVEF,垂足分別為“、N,證四邊形//WW是正方形即可；

(2)連接/C,作4V_L七五，垂足為M證444尸s△胡"，列比例式即可；

(3)連接ZC,取Z61中點(diǎn)。，連接。G,根據(jù)中位線性質(zhì)確定G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)弧長(zhǎng)公

式計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)連接〃區(qū)作ANLEF,垂足分別為用、N,

???線段AE與力。關(guān)于直線力P對(duì)稱，

：.ADFA=AEFA,

：.AM=AN,

"：AD=AB,

：.RtLAM哈RtAANB,

：.NMAD=NNAB,

■:/MAD+NMAB=90°,

：,NNAB+/MAB=NMAN=90°,

四邊形ZMW是正方形，

.*.//郎=45°；

13

(2)連接力C,作力垂足為M

一ACAFr-

由(1)可知，——=——=，2,/CAB=/W5°,

ABAN

:./CAF=4BAN,

:.XCAFsXBAN、

三="=應(yīng)，

BNAN

：.BN=—FC,

2

?:AB=AE,

:?BE=2BN,

:?BE=6FG

14

(3)連接力C,取/C中點(diǎn)。連接。G

?"是砥的中點(diǎn)，

11

??.0G=—AE=—，

22

...點(diǎn)G在以。為圓心，；為半徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)夕與C重合時(shí)，G與6c中點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)。與5重合時(shí)，G與84中點(diǎn)重合,

點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是以千為半徑，圓心角為90°的弧長(zhǎng)，

訓(xùn)，久iz-I90兀x—

路彳仝長(zhǎng)為：2-

180-4

【點(diǎn)睛】

15

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)，解

題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形,通過(guò)線段相等或成比例解決問(wèn)題.

6.(2021?浙江溫州市?九年級(jí)其他模擬)如圖，口。是矩形ABC。的外接圓，NA3C的

平分線分別交AC,口O,CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,￡G,過(guò)點(diǎn)尸作口。的切線產(chǎn)”，交CG于

點(diǎn)H.

(1)證明：FH//AC.

(2)若tanNB4c=3,OE=2,求產(chǎn)”的長(zhǎng).

Q

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【分析】

(1)連結(jié)。尸，首先根據(jù)切線的性質(zhì)得出NOEH=90。，然后利用矩形的性質(zhì)，角平分線

的定義及圓周角定理得出NCO尸=90°,進(jìn)而通過(guò)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行即可證明；

(2)作”/_LAC于點(diǎn)/,作ELJ.AB于點(diǎn)L,則有=O/,然后設(shè)EL=8A=3。，

則AL=a,通過(guò)勾股定理求出AE,AB的長(zhǎng)度，然后通過(guò)平行線分線段成比例得出

AIAP

—=—,進(jìn)而求出a的值，則答案可解.

ABAC

【詳解】

解：(1)連結(jié)。尸，如圖，

16

D

是切線，

ZOFH=90。.

在矩形ABC。中，NA8C=90。，

???8G平分NA5C,

：.ZCBG=-ZABC=45°,

2

ZC(9F=2ZCBG=90°,

.-.ZCOF+ZOFH=180°,

HF//AC.

(2)如圖，作H/J.AC于點(diǎn)/,作反_LAB于點(diǎn)Z,則四邊形尸。出是矩形,

小

???HF=O1.

17

tanABAC=—=3,ZABG=45°,

AL

設(shè)EL=BL=3a,AL=a.

AE-yflOci,AB-Ail>

BCHLE,

.AL_AE

-AC'

a_VlOa

"4a-AC

AC=4y/10a,AO=2715a.

：.OE=y/10a=2,。=半，OC=OF=HI=2回a=4,

14

：.IC=-H1=-.

33

48

..FH=OI=OC-IC=4——=-.

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的綜合，掌握平行線的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例是關(guān)

鍵.

7.（2021?杭州育才中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，點(diǎn)。為正方形Z8CO的中心.DE=AG,連結(jié)

EG,過(guò)點(diǎn)。作OF±EG交Z〃于點(diǎn)F.

18

(1)連結(jié)卻，△瓦加的周長(zhǎng)與Z〃的長(zhǎng)有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)連結(jié)0E,求NECK的度數(shù)；

(3)若ZKCE=m,OF：OE=n,求證：m=ri2-.

【答案】(1)4EDF的周長(zhǎng)與AD的長(zhǎng)相等，證明見(jiàn)解析；(2)45°：(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)連結(jié)OD、OG、CA,則CA必過(guò)點(diǎn)0且可得OE=OG,從而得到OF垂直平分EG,所以

FE=FG,最終可得4EDF的周長(zhǎng)等于AD的長(zhǎng)；

(2)由(1)可得NEOG=/EOD+NDOG=/AOG+DOG=90°,所以可得NEOF=45°；

qAFq(c2

(3)先判斷出△AOFs^CEO,再由=乙叱?=上二可以得到解答.

SCEOCESCEO\OE)

【詳解】

解：(1)4EDF的周長(zhǎng)與AD的長(zhǎng)相等，理由如下：

如圖，連結(jié)OD、OG、CA,則CA必過(guò)點(diǎn)0,

19

??,點(diǎn)0為正方形ABCD的中心，

.\OD=OA,ZOAG=ZODE,

又DE=AG,

AAOED^AOGA,

.'.OE=OG,

VOF±EG,

???0F是EG的垂直平分線，

/.FE=FG,

.\AEDF的周長(zhǎng)=DF+EF+ED=DF+FG+AG=AD；

(2)VOD1OA,

AZDOA=90°,

由(1)可得△OEDgZXOGA,

AZEOD=ZGOA,

AZEOG=ZEOD+ZDOG=ZAOG+DOG=90°,

???△OEG為等腰三角形，OF±EG,

20

???/EOF」/EOG=45。；

2

(3)VZE0F=45°,

AZCOE4-AOF=135°

VZOAF=45°,

???NAFO+NAOF=135°,

.\ZCOE=ZAFO,

???AAOF^ACEO,

???O到AF與CE的距離相等，

S/KAOF：SACEO=AF：CE=m,

?\m=n2.

【點(diǎn)睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似三角

形和全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是角度的計(jì)算.

8.（2021?廣西南寧市?三美學(xué)校九年級(jí)一模）在矩形Z8CO中，AB=12,P是邊4ff上

一點(diǎn)，把兩7沿直線27折疊，頂點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作的LCG垂足為￡且

在40上，BE交PC千氤F.

21

(1)如圖1,若點(diǎn)E是力〃的中點(diǎn)，求ZA的長(zhǎng)；

(2)如圖2,①求證：BP=BF；

②若4g25,且AE>DE,求sinNP，方的值；

③當(dāng)明班=108時(shí)，求在的值.

【答案】(1)24；(2)①見(jiàn)解析；②《：③9

【分析】

(1)先判斷出/力=/。=90°,力四。C再判斷出力可證明△力￡旌得到

BE=CE,從而判定是等腰直角三角形，得到/月旗=//5￡三45°,貝U可得力氏力以

即可得到AD-.

(2)①利用折疊的性質(zhì)，得出NPGG=NP反三90°,NBPC=NGPC,進(jìn)而判斷出

/G2三/。陽(yáng)即可得出結(jié)論；②判斷出△力5Ks△〃員;得出比例式建立方程求解即可得出

>4^=16,DE=9,再判斷出△"■△GCP,進(jìn)而求出5尸和尸C,即可得出結(jié)論；③判斷出

△GEFsMEAB,得出BE,E抬AB?GF,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)在矩形力比。中，ZA=ZD=90a,AB=DC,

???￡是中點(diǎn)，

：.AE=DE,

在△力￡5和中，

AB=DC

"NA=NO=90。，

AE=DE

:*△AEB^XDEC(S4S),

：.BE=CE,

22

,:BELCG,即N8EG=90°,

是等腰直角三角形，/EBC=ZECB=4S：

■:ADHBC,

:?/AEB=/CED=/ABE=45°,

：.AE=AB=12,

：.AD=24；

(2)①在矩形力比0,NABC=90°,

,:/\BPC沿27折疊得到△G27,

:?/PGC=/PBC=9G,NBPC=/GPC,

,/BELCG,

:?BE〃PG,

:?/GPF=/PFB,

:?/BPF=/BFP,

：.BP=BF\

②當(dāng)為P=25時(shí)，

■:ZBEC=93,

:?NAEB+/CED=90°,

u：ZAEB+ZABE=90°,

：?4CED=/ABE,

???N/=NP=9(T,

:,XABEs叢DEC,

23

.AB_DE

??第一五’

設(shè)AE=x,

DE=25-x,

.1225-x

..—=---------，

x12

或416,

■:AE>DE,

???力6=16,DE=9,

???CE=y/cD2+DE2=15,BE=^AB2+AE2=20,

由折疊得，BP=PG,

：.BP=BF=PG,

'：BE//PG,

:.△ECFSXGCP,

.EFCE

"7G-CG'

設(shè)BP=BF=PG=y,

20—y_15

2525

解得：y=—y經(jīng)檢驗(yàn)：尸是原方程的解，

22

24

在”中,心祈正孝

25

PB^2J5

：.s加NPCB=—=―+=—；

PC2565

2

③如圖，連接網(wǎng)；,

":BE"PG,

:"GPF=/PFB,

：.4BPF=/BFP,

:.BP=BF；

'/BP=PG,

?"BPG尸是菱形,

???BP//GF,

：.4GFE=/ABE,

:.XGEFSMEAB、

EFAB

/.---=----,

GFBE

:?BE*EF=AB*GF,

■:BE/EHG8,力612,

:?GF=9,

25

:.BP=GF=9.

【點(diǎn)睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

9.（2021?九龍坡區(qū)?重慶市育才中學(xué)）如圖，拋物線尸萩+Zw+c（aWO）與x軸交于

點(diǎn)4夕（點(diǎn)Z在點(diǎn)3的左邊），與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)2、C的坐標(biāo)分別為（-3,0）、（0,

2）,對(duì)稱軸為直線k-2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)〃與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接ZC,過(guò)點(diǎn)〃作以“47交拋物線

于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)點(diǎn)尸是直線47下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接打交2C于點(diǎn)G,連

接EG,求△廝G的面積的最大值以及取得最大值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,是以點(diǎn)P、Q、

尺。為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由.

7Q1531Q96I

【答案】（1）y=~rx2+2；（2）見(jiàn)石陽(yáng)最大為7,8一彳，一不）；（3）穴—7，—）

?19157

文——，一）.

1050

【分析】

（1）將ac的坐標(biāo)代入函數(shù)式，再結(jié)合對(duì)稱軸公式利用待定系數(shù)法求解即可；

26

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求出直線力C、直線。E的表達(dá)式，再根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系表示

出△￡7子■的面積，從而得到當(dāng)△。石尸的面積最大時(shí)△￡7心的面積最大，求出△，石戶面積的最

大值進(jìn)行計(jì)算即可；

28

(3)設(shè)-m2+-m+2),RXP,y?,分三種情況：①以6為對(duì)角線，②以&為

對(duì)角線，③以。為對(duì)角線，分別計(jì)算可得問(wèn)題的答案.

【詳解】

解：(1)將“、C的坐標(biāo)(-3,0)、(0,2)代入函數(shù)式且對(duì)稱軸為尸一2,

9a-3h+c-0

c=2

2

a--

3

Q

解得：＜。,

c=2

9Q

，拋物線的解析式為：y=jx2+|x+2；

2

(2)由點(diǎn)4C的坐標(biāo)(-3,0)、(0,2)可知，直線力。為：y=-x+2f

9：DE//AC,

?'?koE-kAC，

._2

kpE=—,

???〃與C關(guān)于片=-2對(duì)稱，

，久一4,2),

27

214

.二直線〃￡為：y=-x-i---,

33

214

y=—xd--

33X=1

聯(lián)立：〈。Q，解得：,x=—4舍去，

x=-42

y——xH—x+22

33

.?.￡的橫坐標(biāo)為1,

代入可得，y=：+2+2=學(xué)，

333

16

...醺1,y),

連接DC,作在"J_x軸，交DE千K,

'：DE//AC,

SixDEG-S^DEC,

21414

將尸。代入y=尸+丁得：y=—<

333

14

了），

.20

??SaDEC—5kDCM+5AECM=>

._20

??SCDEG-，

28

..20

?SAEFG=SdDEF-S&DEG=SQDEF--7?

3

/.當(dāng)△。牙1的面積最大時(shí)，△￡/石1的面積最大,

以、，228c214

設(shè)廠為(&—t+-t+2),K(t,—t+-)-

1528、5,2、2125

=2

SQDEF=S/sDFK+Sf,EFKy(XLX")(yK-yr)=-|--t+

333J丁+PF'

3125

二當(dāng)尸=-一時(shí)，三角形。E廠面積最大，最大為一丁，此時(shí)△￡?右面積的最大值為:

212

1252015

1234

3115

，當(dāng)尺一不，一77）時(shí)，8￡?跖最大為二

224

（3）假設(shè)存在,

31

2）,用一5，且以尸、。、F、C為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,

283

???設(shè)?)，—m2+—zn+2),P(xp,yp),則加#0,——,

.…:峪=上。,直線QC：kOQ

m2+m+2—2

3328,

0-(-j)3%-m+—

33

28c1

—m2+一相+2+—)q

直線QF-.kQF=3----J——2=w加+：,

m+-33

2

Xc+XF=Xp+XQ

①矩形以CF為對(duì)角線，貝|J：,%+%=為+為，

QC1QF

:.kQc*kQ產(chǎn)一\,

29

3

——=Xp+m

,cl28c

??<2—=yH2—m+—"t+2,

2，p33

(18、(25、,

—m+—x-m-^—=-1

ll33j(33)

.'.4/n24-26/77+49=0,

vA=262-4X4X49=-108<0-

...無(wú)解，此時(shí)不存在；

%+X。=Xp+XF

②以C。為對(duì)角線，則：,九+%=外+力，

CFA.QF

?**kcF*kQF=1>

，3

m=xp

228/

33勺2

5f25、

—x—m+—=--1

3U3)

17

.?%i=-----，

5

■19

Xn------

xc+xp-xQ+xF

③以C尸為對(duì)角線，貝I：

CF1QC

30

.**kcF*kQc=1,

3

xp=m——

28cl

2+%—m2+—m+2——,

332

528、

—X—m+—=—1

333>

49

/.m=----

10

32

Xp

5

61

?二石

.J—%

525J

點(diǎn)尸坐標(biāo)為,(卜歷19，丸157|、3261)

綜上,或

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，矩形的判定等知識(shí)，熟練掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和

二次函數(shù)的性質(zhì)，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，會(huì)解一元二次方程，會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決

問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?江蘇南通市?九年級(jí)其他模擬)如圖，在矩形4成。中，AB=2,BC=2yf3>

點(diǎn)E在射線以上，在RtAEFG中,NEF0Q°,Z.FEG=30°,EG=4,斜邊EG始終經(jīng)

過(guò)點(diǎn)5,連接密

(1)如圖1,若點(diǎn)E與點(diǎn)力重合，請(qǐng)找出圖中除矩形以外的平行四邊形，并加以證

明；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段回上，求班1的長(zhǎng)；

31

(3)如圖3,連接出若點(diǎn)尸在線段慮上，求。E的長(zhǎng).請(qǐng)寫(xiě)出求解的思路(可以不得

出寸算結(jié)果).

【答案】(1)四邊形CO6G是平行四邊形，證明見(jiàn)解析；(2)BE=T2-46；(3)見(jiàn)解

析

【分析】

(1)證明求得點(diǎn)C、F、G三點(diǎn)共線，因?yàn)镃D〃BG,鳧CD=BG,即可證

明四邊形5GC。是平行四邊形；

(2)證明△EWs△向vp,得到々=」求出PF,根據(jù)aG班s/iGEP,得到＜=—

EFFMGPGE

即可算出BE長(zhǎng);

12

(3)先求N4出=30°；證明明，得出8。=0乂而；CP=i,'；證明

y/a+4

12

CPBC2百

△BPCSRDPE,得出——=—,列出方程得出方程

EPDE丁

即可求出的長(zhǎng).

【詳解】

32

(1)四邊形以是平行四邊形

如圖1,連接/C

證明：在收△力以7中，tanZCAB=^>

：.ZCAB^60°

：.4GAF=/CAF

"：AG=AC=4,ZGAF=ZCAf,AF=AF,

：.l\AGF^XACF、

：.ZAfC=ZAFG=90°,

：.AAFC+AAFG=1^,

...點(diǎn)C、F、G三點(diǎn)共線

VCD//BG,且Q=8G,

四邊形6GC。是平行四邊形

(2)如圖2,延長(zhǎng)GF交力〃于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)。作PNLBC于點(diǎn)、N,過(guò)點(diǎn)"作6c于點(diǎn)M

在AtAEMF中,MF=2應(yīng)

■:NEFG=NEFM+NMFG=90°,NEPN=NEPF+NFPN=9G,

33

,:ED〃BC

：.ZEPF=ZPFC=ZMFG

：?/EFM=/FPN

：、XEMFS[\FNP

?PFPN

^~EF~~FM'

:,PF=^

'：EDUBC

：.2GBF=/GEP、AGFB=AGPE

:?l\GBFsAGEP

GFBG

.?-----=-----，

GPGE

:.BE=12-45/6

（3）如圖3,連接BD與仍相交于點(diǎn)P

12

先求/55=30°；再證明得出8。=少義以；Cki、:；

V?2+4

CPBC

再證明△BPCs△DPE,得fl；—=——

EPDE

12

2G

得出方程二J"。一

A/774--4?_a

Ja2+4

計(jì)算結(jié)果是6+jn

【點(diǎn)睛】

34

此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四