線性代數(shù)與解析幾何-矩陣

第二章矩陣§2.1

矩陣與矩陣的運算一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣的運算√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．數(shù)域定義：對于一個至少含有0，1的復數(shù)集合的子集合F，如

果其中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）

仍在F中，那么F稱為一個數(shù)域．所有的有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)都分別形成一個數(shù)域（有理數(shù)域、實數(shù)域、復數(shù)域），分別記為所有的奇數(shù)（偶數(shù)）都不能構成數(shù)域.構成一個數(shù)域.通常用表示這個數(shù)域.例

集合證顯然包含0,1并且對于加減法是封閉的.另外因為a,b,c,d都是有理數(shù)，所以ac+2bd,ad+bc也是有理數(shù).從而說明對乘法也是封閉的.設，則知對除法也封閉.

由

m×n

個數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n

矩陣．記作二、矩陣的定義（定義在數(shù)域F上）簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.這m×n

個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.行數(shù)不一定等于列數(shù)共有m×n個元素本質上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個元素矩陣行列式同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).2.元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣3.行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.稱為方陣的主對角線元素，所有主對角線元素的和稱為方陣的跡，記為

形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位矩陣．記作記作．定義

設，稱是A的負矩陣，其中例

某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．解：工廠在一年內向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量1、矩陣的加法定義：設有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.知識點比較交換律結合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設

A、B、C是同型矩陣設矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)（A的負矩陣）．顯然設工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．2、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

k是復數(shù)域中的一個數(shù)，它與矩陣

A

的乘積記作

kA

或

Ak

，規(guī)定為結合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律設

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.知識點比較其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．可用矩陣表示為一般地，4、矩陣與矩陣相乘定義：設，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n

矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．例：設則知識點比較有意義.沒有意義.只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例P.34例1.2

結論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結論．矩陣乘法的運算規(guī)律(1)

乘法結合律證明？

(3)

乘法對加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即矩陣乘法不一定滿足交換律!!!(5)

設A是一個n階方陣，f(x),g(x)為復系數(shù)的多項式，則矩陣A的多項式f(A)和g(A)的乘法滿足交換律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).例：如果AB=BA,我們就稱矩陣A，B可交換.證明和對角矩陣可交換的只能是對角矩陣.其中證設矩陣B可以和A可交換.其中則即依次比較兩邊矩陣的第一行，第二行，…….,可以得到故結論成立(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然,定義思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立5、矩陣的轉置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作AT

.例轉置矩陣的運算性質例：已知解法1解法2定義：設A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣例：設列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對稱陣．6、共軛矩陣當為復矩陣時，用表示的共軛復數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

顯然，復矩陣A是實矩陣當且僅當.

例（設A，B

為復矩陣，l為復數(shù)，且運算都是可行的）：性質§2.2

矩陣的分塊前言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？例分塊矩陣把矩陣A用水平線和垂直線分割成若干個小矩陣.如下圖問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，運算時采用分塊法，可以使大矩陣的運算化成小矩陣的運算，體現(xiàn)了化整為零的思想.分塊矩陣的加法若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！分塊矩陣的數(shù)乘若l是數(shù)，且

則有形式上看成是普通的數(shù)乘運算！分塊矩陣的乘法一般地，設A為m

l

矩陣，B為l

n矩陣

，把A、B分塊如下：分塊矩陣的轉置若，則例如：分塊矩陣不僅形式上進行轉置，而且每一個子塊也進行轉置．分塊對角矩陣（補充）定義：設A

是n

階矩陣，若

A

的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對角線上的子塊都是方陣，那么稱A

為分塊對角矩陣．例如：方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運算性質證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構造一個6階行列式令，則

C=(cij)=AB．從而．§2.3

矩陣的秩一、矩陣的初等變換二、矩陣的秩引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個方程，記作；一個方程加上另一個方程的k倍，記作.

其逆變換是：結論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知數(shù)并未參與運算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：交換矩陣中的兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價，記作矩陣之間的等價關系具有下列性質：反身性；對稱性若，則；傳遞性若，則．階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.階梯形矩陣若某行中每個元素都為0，則位于該行下面各行元素也全為0.若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前r行，而對于i=1,2,…,r,第i行中左起第1個非零元素為,則.例是階梯形矩陣，而不是階梯形矩陣.證設m×n

矩陣A

若所有的均為0，則顯然A是階梯形矩陣.定理任意一個矩陣都可經(jīng)過一系列初等行變換化為階梯形矩陣.否則，設A的第列的元素均為0，而第列有非零元素.利用矩陣的初等變換其中.依次類推.

例把化成階梯形矩陣.

解

（續(xù)）考慮列初等變換

定理任意一個m×n

矩陣A都可與一個形如的矩陣等價.為A的等價標準形.任何矩陣階梯形矩陣等價標準形矩陣一系列初等行變換一系列初等列變換一系列初等變換結論二、矩陣的秩的概念定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個元素按原來的順序組成的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n

矩陣A的k

階子式共有個．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對應的余子式相應的代數(shù)余子式矩陣A

的一個2階子塊矩陣A的一個2階子式矩陣A的一個3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個3階子式也等于零．定義：設矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作r(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個s

階子式不等于零，則r(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則r(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個，即|A|． 當|A|≠0時，r(A)=n;

（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當|A|=0時，r(A)<n;

（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤r(A)≤min(m,n)．r(AT)=r(A)．矩陣A的一個2階子式矩陣AT

的一個2階子式AT

的子式與A

的子式對應相等，從而r(AT)=r(A)．例：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個，即|A|，而且|A|=0，因此r(A)=2．例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個非零元為對角元的3階子式，因此r(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結論：階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．證明

只需證明A經(jīng)過一次初等變換化成,有定理初等變換不改變矩陣的秩.下面以列變換為例，按三種初等列變換分別論證.設.要證的任意k(k>r)階子式

D全為零，為此對A按列分塊，設經(jīng)過初等變換后變?yōu)槿的任意一個k(k>r)階子式D,記是D中分別對應于的列.則D有三種情形.(1)

D中不含B的第i列，這時D就是A的子式.則D=0.(2)D中含B的第i列，但不含B的第j列,這時(3)D同時含B的第i列和第j列,B中高于r階的子式都為0，所以，同理可得

.結論成立.分析

比較矩陣A、B的等價標準形.性質1兩個矩陣A、B等價的條件是當且僅當它們有相同的秩.性質2階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目.例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的．一般的矩陣，當行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的.階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？例：求矩陣的秩。解：第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣．階梯形矩陣有3個非零行，故r(A)=3

．分析：對B

作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，設B

的階梯形矩陣為，則就是A

的階梯形矩陣，因此可從中同時看出r(A)及r(B)．例：設，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：r(A)=2r(B)=3§2.4

矩陣的逆矩陣與復數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算.矩陣的乘法是否也和復數(shù)一樣有逆運算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復數(shù)中的地位．一個復數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的