2025屆廣東省陽春一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2025屆廣東省陽春一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P﹣1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．62．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．43．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．74．命題：存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．5．已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．6．直線l過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是A．10 B．9 C．8 D．77．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．148．已知函數(shù)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域?yàn)镃．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱9．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．12．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐P-ABC中，，，，三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.14．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_______.15．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．16．電影《厲害了，我的國》于2018年3月正式登陸全國院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲，我為我是中國人驕傲！”《厲害了，我的國》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國》，并把標(biāo)識為的四張電影票放在編號分別為1，2，3，4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測：甲說：第1個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是乙說：第2個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是丙說：第4個(gè)盒子里放的是，第2個(gè)盒子里放的是丁說：第4個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是小明說：“四位朋友你們都只說對了一半”可以預(yù)測，第4個(gè)盒子里放的電影票為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．19．（12分）某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以（單位：盒，）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）將表示為的函數(shù)；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且n、、成等差數(shù)列，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.22．（10分）某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號抽獎(jiǎng)的方式，抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖.（1）求抽取的這家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值；（2）估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家；（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時(shí)，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長為：2，對于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點(diǎn)，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過點(diǎn)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．3、B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【詳解】如圖；設(shè)AB的中點(diǎn)為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設(shè)外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)拋物線中過焦點(diǎn)的兩段線段關(guān)系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn)，由過拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知所以因?yàn)闉榫€段長度，都大于0，由基本不等式可知，此時(shí)所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用，基本不等式的用法，屬于中檔題．7、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當(dāng)，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為：解得：若圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則解得：，故D錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性、極值，可得時(shí)，滿足題意，再在時(shí)，求解的x的范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時(shí)，的取值范圍為，∴又當(dāng)時(shí)，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.11、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為，，，的高，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，∴，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.14、【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過點(diǎn)，即，則，由此可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】因?yàn)閟inα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是．答案：16、A或D【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：假設(shè)甲說：第1個(gè)盒子里面放的是是對的，則乙說：第3個(gè)盒子里面放的是是對的，丙說：第2個(gè)盒子里面放的是是對的，丁說：第4個(gè)盒子里面放的是是對的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是；假設(shè)甲說：第3個(gè)盒子里面放的是是對的，則丙說：第4個(gè)盒子里面放的是是對的，乙說：第2個(gè)盒子里面放的是是對的，丁說：第3個(gè)盒子里面放的是是對的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是．故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查簡單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析，.【解析】

（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計(jì)算得到答案.（2）先排除斜率為0時(shí)的情況，設(shè)，，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到，，根據(jù)化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與直線關(guān)于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設(shè)條件矛盾，故直線的斜率不為0.設(shè)，，直線的方程為聯(lián)立，整理得則，.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線過定點(diǎn)問題，計(jì)算出是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，②當(dāng)時(shí)，，顯然成立，所以，③當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因?yàn)椋驗(yàn)?，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．19、（1），眾數(shù)為150；（2）；（3）【解析】

（1）由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率，由此能求出這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此能將表示為的函數(shù)；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率．【詳解】（1）由直方圖可估計(jì)需求量的眾數(shù)為150，由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：∴估計(jì)需求量的平均數(shù)為：（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，考查概率的估計(jì)，是中檔題，解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用．20、（1）證明見解析，；（2）11202.【解析】

（1）由n，，成等差數(shù)列，可得，，兩式相減，由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中的可求出，根據(jù)和求出數(shù)列，中的公共項(xiàng)，分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，可得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)閚，，成等差數(shù)列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）根據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)?，，，，，，，，，，，所?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查分組求和，屬于中檔題.21、（