2025屆甘肅省靖遠第四中數(shù)學高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆甘肅省靖遠第四中數(shù)學高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為（）A. B.C. D.2．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點P在線段EF上.給出下列命題：①存在點P，使得直線平面ACF；②存在點P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④3．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.4．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.5．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.6．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，7．已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．設a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，則（）A.a，b，c依次成等差數(shù)列 B.，，依次成等差數(shù)列C.，，依次成等比數(shù)列 D.，，依次成等比數(shù)列9．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列或嚴格遞減數(shù)列，則實數(shù)a取值范圍是______14．在2021件產(chǎn)品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是______.15．已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.16．已知圓的圓心與點關于直線對稱，直線與圓相交于、兩點，且，則圓的方程為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝（1）求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；（2）求證：18．（12分）設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程19．（12分）已知點關于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上任意兩點，為坐標原點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值21．（12分）設等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求數(shù)列通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當時，求n的值22．（10分）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC上的動點，且.（1）求證：；（2）當時，求點A到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【詳解】由各路口信號燈工作相互獨立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：故選：B2、D【解析】當點P是線段EF中點時判斷①；假定存在點P，使得直線平面ACF，推理導出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當點P與G重合時，直線平面ACF，①正確；假定存在點P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點與D連線垂直于DG，因此，假設是錯的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動點P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當P與E不重合時，，，而，則，當P與E重合時，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號是①③④.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)任意一點在另一個平面上的射影都在這兩個平面的交線上.3、D【解析】根據(jù)圓心坐標及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因為圓心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.4、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.5、C【解析】利用等比中項的性質(zhì)可求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項的性質(zhì)可得，解得，又，，故選：C.6、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.7、D【解析】過點P引拋物線準線的垂線，交準線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進而解出此時P的坐標，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點在拋物線C的準線上，作PD垂直于準線，且與準線交于點D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.8、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，利用正弦定理、余弦定理推導出，從而，，依次成等差數(shù)列.【詳解】解：∵a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，∴，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數(shù)列.故選：B.【點睛】本題考查三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.9、B【解析】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結(jié)果【詳解】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，由圖，可知，，當時，直線與線段有交點故選：B10、D【解析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過來，若，，則時，必要性不成立；因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D11、B【解析】由題設可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點線距離關系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當且僅當三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到射線的距離最短問題.12、B【解析】寫出每次循環(huán)的結(jié)果，即可得到答案.【詳解】當時，，，，；，此時，退出循環(huán)，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應用，此類題要注意何時循環(huán)結(jié)束，建議數(shù)據(jù)不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列遞增和遞減的定義求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列或嚴格遞減數(shù)列，所以.若數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，則，即，即恒成立，故；若數(shù)列是嚴格遞減數(shù)列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實數(shù)a的取值范圍是故答案為：14、【解析】設抽到的次品的個數(shù)為，則，求出對應的概率即得解.【詳解】解：設抽到的次品的個數(shù)為，則，所以所以抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是故答案為：15、【解析】由題意得:考點：等差數(shù)列通項16、【解析】利用對稱條件求出圓心C的坐標，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）y=5x－1；（2）證明見解析【解析】（1）求出導函數(shù)，求出切線的斜率，切點坐標，然后求切線方程（2）不等式化簡為．設，求出導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，然后證明即可【詳解】解：（1）的定義域為，的導數(shù)由（1）可得，則切點坐標為，所求切線方程為（2）證明：即證．設，則，由，得當時，；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），即不等式成立，則原不等式成立18、（1）1；（2）y＝x＋7【解析】（1）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得M點坐標，設直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（1）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝＝＝1（2）由y＝，得y′＝設M(x3，y3)，由題設知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)設直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0當Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1，2＝2±2從而|AB|＝|x1－x2|＝由題設知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7所以直線AB的方程為y＝x＋719、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達定理來求解.【小問1詳解】解：點關于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當直線CD斜率不存在時，，所以.當直線CD斜率存在時，設為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值520、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中將圓過原點轉(zhuǎn)化為是解題的關鍵.21、（1）（2）10【解析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.