2025屆北京東城北京二中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2025屆北京東城北京二中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．52．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3203．設(shè)為坐標(biāo)原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．14．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．5．2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種6．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺灣地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標(biāo)球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標(biāo)球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm7．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．8．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．9609．已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知三棱錐的體積為2，是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點，則球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關(guān)于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點是函數(shù)的一個對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為F，右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D．若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.14．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線在點處的切線與x軸相交于點A，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點，的面積為3，則的值是______.16．設(shè)為拋物線的焦點，為上互相不重合的三點，且、、成等差數(shù)列，若線段的垂直平分線與軸交于，則的坐標(biāo)為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于311的為“長纖維”，其余為“短纖維”）纖維長度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附：（1）；（2）臨界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．19．（12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．20．（12分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.（Ⅰ）若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過點，點滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.21．（12分）已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知動圓經(jīng)過點，且動圓被軸截得的弦長為，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，，為圓與曲線的公共點，若直線的斜率，且，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.2、C【解析】

首先把看作為一個整體，進(jìn)而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選C．考點：1．拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔題．解題時一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題．4、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院A分配2人，分別計算出兩類的分配種數(shù)，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類：第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當(dāng)醫(yī)院B只有1人，則共有種不同分配方案，當(dāng)醫(yī)院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時，共有種不同分配方案；第二類：若醫(yī)院A分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院A時，共有種不同分配方案，當(dāng)乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B【點睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，在做此類題時，要做到分類不重不漏，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道中檔題.6、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)，利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將用表示出來，根據(jù)，列方程求出，進(jìn)而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.7、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．8、B【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選：B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.9、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】點不在直線、上，若直線、互相平行，則過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10、A【解析】

根據(jù)是中點這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設(shè)點到平面的距離為，因為是中點，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點睛】本題考查球的表面積，考查點到平面的距離，屬于中檔題．11、C【解析】分析：根據(jù)最低點，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當(dāng)時，，所以與有6個交點，設(shè)各個交點坐標(biāo)依次為，則，所以③正確所以選C點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．12、A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上，設(shè)，則由得：，因為到直線的距離小于，所以，即，所以雙曲線漸近線斜率，故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.14、【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補(bǔ)成長方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.15、【解析】

對求導(dǎo)，再根據(jù)點的坐標(biāo)可得切線方程，令，可得點橫坐標(biāo)，由的面積為3，求解即得.【詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.16、或【解析】

設(shè)出三點的坐標(biāo)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，由拋物線的定義可知：，，，因為、、成等差數(shù)列，所以有，所以，因為線段的垂直平分線與軸交于，所以，因此有，化簡整理得：或.若，由可知；，這與已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案為：或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（2）見解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應(yīng)用獨立性檢驗知識可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對應(yīng)的概率，可列出分布列并進(jìn)一步求出的數(shù)學(xué)期望．試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得所以，在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3，，，，．∴的分布列為：1123∴．18、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設(shè)M，N對應(yīng)的對數(shù)分別為，，則，當(dāng)時，取得最小值為．【點睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡單題目.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）依題意，由點到直線的距離公式可得，又有，聯(lián)立可求離心率；（2）由（1）設(shè)橢圓方程，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求