2025屆山東省桓臺(tái)第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆山東省桓臺(tái)第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-12．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見(jiàn)現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則曲線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，再縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.3．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.54．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長(zhǎng)的最小值為（）A B.C.1 D.5．已知x是上的一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.6．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.7．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.8．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.9．圓心在x軸負(fù)半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.10．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項(xiàng)的和（）A.510 B.126C.256 D.51212．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.14．已知向量，，，若，則____________.15．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式___________16．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為_(kāi)__三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.18．（12分）小張?jiān)?020年初向建行貸款50萬(wàn)元先購(gòu)房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開(kāi)始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)19．（12分）中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，通過(guò)“增強(qiáng)防疫意識(shí)，激發(fā)愛(ài)國(guó)情懷”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，來(lái)回顧中國(guó)共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達(dá)對(duì)建黨100周年以來(lái)的豐功偉績(jī)的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類比賽，你認(rèn)為怎么選最合理，并說(shuō)明理由20．（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.（1）設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；（2）設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.21．（12分）已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值22．（10分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，，．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.2、C【解析】設(shè)單位圓上一點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.3、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C4、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長(zhǎng)最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以線段EF長(zhǎng)的最小值為.故選：B5、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.6、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故兩直線平行時(shí)又之間的距離為，故選：B.7、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式能成立問(wèn)題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可以進(jìn)行分情況討論.8、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以所以，所以，所?故選：D9、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為，故選：A10、D【解析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)榕c向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.11、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件，求得，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，可得，解得，所以?shù)列前6項(xiàng)的和.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.12、D【解析】根據(jù)直線過(guò)圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過(guò)點(diǎn)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，求解即可.【詳解】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得交點(diǎn)為，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即.故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，，所以向量，因?yàn)?，所以，即，解得故答案為?5、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因?yàn)樵诙x域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.16、【解析】由平面互相垂直可知其對(duì)應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問(wèn)2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過(guò)點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.18、每年至少要還6.17萬(wàn)元.【解析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬(wàn)元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬(wàn)元的本息和相等，故有購(gòu)房款50萬(wàn)元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬(wàn)元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬(wàn)元.19、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計(jì)算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問(wèn)1詳解】，解得成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問(wèn)2詳解】選成績(jī)最好的同學(xué)去參賽，分?jǐn)?shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）20、（1）（2）【解析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過(guò)平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角即可【小問(wèn)1詳解】上下兩個(gè)扇形的面積之和為：兩個(gè)矩形面積之和為：4側(cè)面圓弧段的面積為：故這個(gè)幾何體的表面積為：【小問(wèn)2詳解】如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點(diǎn)，則由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為21、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）記PC交DE于點(diǎn)N，然后證明FN∥AC，進(jìn)而通過(guò)線面平行的判定定理證明問(wèn)題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過(guò)空間向量夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N，所