《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計》吳翊李永樂第二章 參數(shù)估計課后習(xí)題參考答案

第二章參數(shù)估計

課后習(xí)題參考答案

2.1設(shè)總體X服從二項分布8（/^,〃）,1<〃<1,*|,*2產(chǎn)?,*”為其子樣，求N及p的矩法

估計。

解：

E（X）=Np,D（X）=NpQ-p）

令產(chǎn)即

6=即（1一〃）

解上述關(guān)于N、p的方程得：

―2

而=二=二

,PX-S2

..S2

p=1

X

■2

I—（?-x）,O<cxxa

2.2對容量為n的子樣，對密度了數(shù)/（無如二］。一

0屋0j2a

其中參數(shù)a的矩法估計。

.a2

解：a=E(x)=x-(a-x)dx

J。a2

=J：(2x一馬丁心

Joaa

1221

=-a~2----7a3=a——a=—a

a3a233

A_一j

所以a-3a=3x其中x=—(玉+馬+…+x,）員工2,…，乙為11個樣本的觀察值。

in

2.3使用一測量儀器對同一值進(jìn)行了12次獨(dú)立測量,其結(jié)果為（單位：mm）

232.50,232.48,232.15,232.52,232.53,232.30

232.48,232.05,232.45,232.60,232.47,232.30

試用矩法估計測量的真值和方差(沒儀器無系統(tǒng)差)。

E（X）=-^X,.=X=232,4025

解：

22

D（X）=-^（XI.-X）=S=0.0255

2.4設(shè)子樣1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1是來自具有密度函數(shù)/（%/）二5,0</<1的總

體，試用矩法估計總體均值、總體方差及參數(shù)夕。

解:

總體均值了」之Xj=1.2

幾汩

（）2

總體方差：S2=-JX,.-X=0.407

ni=\

/（x，⑶=2

r

pP

E（X）=］用無"班=J土去=2=又

00B2

參數(shù)：=2X=2.4

2.5設(shè)九乂2,…,X”為N（〃,l）的一個字樣，求參數(shù)〃的MLE；又若總體為N（l,的

MLEo

解：⑴

:

i（芍一〃）

72兀

I

fl/（%,，〃）=g，〃）=—二2

Z（2TT）2

In乙（七,//）=——In27r——X—/，）'

22/=i

Sin上（巧，〃）

=2a-〃）=。

i=i

1n---

a=一其陽=x

ni=i

⑵

.、1(-一】)2

72兀o

fl/L，b2)=L(七，b2)二-\—e2,

/=1(27/0〃

In￡(%,.,cr2)=--In2)一〃Inb----yX(^,--l)2

22cri=i

2

SinL(X/.,CT)_金+*%-1)2=。

dcr2

32=噸(玉J

ni=\

2.6設(shè)總體X的密度函數(shù)為/（x；e）,X1,X2,…,X”為其樣本，求下列情況下1的MLE。

nx

—e^,x=0,l,2,-

(i)

f(X-9ff)=-x!6>>0

0,其它

Oxa~\O^x^]

(ii)f(x\G)=-9?（）

0,其它

\0a)xa-[e-Ox\x^0

(iii)/(x;<9)=-a已知

、0,其它

{O(Ox}r-'effxIV(r\x>^

(iv)/U;6>)=r已知

0,其它

1_x

—e尤>0

(v)fM=<e夕A0

o,其它

n

0-'e~n0

解：（)L(0)

凡！々!…五！

In￡(。)=ZXJn。-In^lx2!?xn!)

/=1

d\nL(0)一

do’

之Xj=7

n,=i

(ii)L(0)=Y[OX^=OnY\xf-}

InL(。)=〃In。+(。-1)ZInxt-

i=i

dInL(G)nfIn%=0

------------=----F

dO0M

0=_〃(fInA;)-1=-(—^lnx,.)-1

〃i-l

”_，￡*尸

(iii)L(e)=G9a)〃產(chǎn)e

ni=i

〃一

InL(e)=nln(%)+(aT)￡In?￡￥

?=ii=i

dlnLCt

-------=n------->x,=——>x=0

d00a101

AI?

”(工￥)T

〃/=l

(iv)L(e)=6"n(3尸eH/(r(r))M

t=i

InL(6)=In0nr+(r-l)yx「屯x,.-nlnr(r)

i=ii=i

t/lnL(0)nr￡_

------------=------/x；=0

d0。白’

)=*_=E,=_LfXj

3X〃2

i=l

(v)咐=占

lnL(6)=-〃儲

8i=i

d\nL(O)_n?1

d9一萬+下七*'

2.7設(shè)總體X的密度函數(shù)為/(%)=(4+1)AA0<X<1,X.X2,…,X〃為其子樣，求參數(shù)

￡的MLE及矩法估計。今得子樣觀察值為0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55,求參數(shù)夕的

估計值。

解：

極大似然估計：

—1”

X=—2項=0.48

fl/?)=L(xz,/?)=(/?+1)"PJ婢

InL(x,.，Z?)=nln(/7+l)+/?fIn七

Sin

+ZInx=0

明z?+ii

1〃、

P=-\-—ZinXj

矩法估計：

E(x)=Jxf{x)dx=|x(j3+\)xpdx=0=X

oo尸+2

八1

B=—=-2=-0.07

1-X

2.8在處理快艇的6次實驗數(shù)據(jù)中，得到下列的最大速度值(單位：m/s)27,38,30,37,35.31,

求最大艇速的數(shù)學(xué)期望與方差的無偏估計。

解：歹是總體期望E(X)="的無偏估計

...E(X)=〃=，fX,=33m/s

s?是總體方差o(x)=的無偏估計

=18.8m2/1

2.9設(shè)總體X~N(〃Q2),X],名,…,X”為其子樣。

1〃一1

⑴求k,使合2二一為O'?的無偏估計;

ki=i

(2)求k,使5=可為°的無偏估計。

k(.1

解：

（1）d:￡（x,「xj]=7-L7d￡（x,「/+￡（x「〃）]=^〃

（左普）kn-\^）k

即k=2（n-l）

（2）

x,-x=—x,--Sx；

〃幾j±i

I〃JU'j"7nnnn

￡＞（x‘-又++

I〃Jl九加）nn加

71

2.10設(shè)總體XN(〃,1),X1,X2，X3為一樣本，試證明下述三個估計變量

"x”

,5110

〃2=-XHX24--X3

231、42123

LI,=-X.+-X,+-X,

3316223

都是〃的無偏估計量，并求出每一估計量的方差，問哪一個最小?

131

證:E(^)=-E(Xl)+^E(X2)+-E(X3)

同理：E(//2)=1E(XI)+1E(X2)+^E(X3)

115、

=(Z一+-4)〃=U

3412

El4))+:E(XJ+gE(XJ)

/.從，42，43是〃的無偏估計量。

由于

一）=$+市+少嚙

口〃2）=（1）2+（J?+（Q=||

。口）=$+$+（權(quán)=5

.。（〃2）最小。

2.11設(shè)0是參數(shù)。的無偏估計，且有句＞0,試證鏟不是外的無偏估計。

解：

。是參數(shù)夕的無偏估計，即

又因為癡）=E（鏟）-[^）f,。卜）＞0

所以E（鏟）=響+歸例2=。2+響,，2

綜上所述：鏟不是夕2的無偏估計

2.12設(shè)總體XN(〃,cr2),以已知,X…?,x”為一樣本，證明

無偏估計，且效率為——

^■-2

證明：設(shè)/=%一〃則%-N(0Q2)

E(”|)=2『)"(y迎

尸14

?J。X詬尸困

7r〃f7'

=--752a2--O'2

2/tri乃

(萬一2)2

=---------O

2n

由于XN(",6)

1_”“產(chǎn)

f(x,",o)=Ie2，

yjlTTO-

GIn/(占G_/一、In2乃「In°

dado

1Jif

---1--------;----

d2In/(x,/^,cr)_13(x-//)2

da2a2a4

Z(cr)=-F(-------r=—j=一一+—E(x-^)=—

o(y~rb<yb

A111

'⑹二八〃、=(*2)，2不

D(cr)/?/(cr)---------

2n(J~

2.13設(shè)總體X服從幾何分布：

尸*=幻=0(1一〃產(chǎn)#=1,2,,0<”1

證明樣本均值又二,￡Xj是E(X)的相合，無偏和有效估計量。

〃/=1

證明：(1)相合性

E(X)=XM1-“)1=-p)i

k=lK=1

S(p)=Z%(l—p)i

bl

JS(PMP=￡卜(1-p)idp

(l-p)°=1

hol-(l-p)p

E(X)=p.(--S=-

PP

D(X)=E(X2)-(EX)2

E(X2)=p+22*(l-p)p+32*p(l-p)2+F*p(l-p/-,+.--

=p(\+2](1-p)+32(1—p)2+…+&2(]—?+???)

對上式括號中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，二。一〃)i=(乂1一〃)￡)，,并利用倍差法求和

1+2?(1—〃)+3?(1—pH+.?+公(1_+…

=((1一〃)+2(1-p)2+3(1-p)'++女(1一〃)"+?)'

因此,

E(X2)=p*t?=2?

pp

D(X)=E(X2)-E(X)2=0-(與=口

P~PP-

D((XXJ)

相合性：P||T(X?X,-x?)-^(^)|>}<RPY--

2￡￡

當(dāng)limD(T(X1,X2，,X”))=0

n-w

則7(X],X2,…，X“)是g(6)的相合估計。

11-n

本題中，limD(T(X,X2,…,X,))=lim仁*一卜二0

n-xon->aoj?n*

x=-Yx,.是E(X)的相合估計。

ni=\

(2)無偏性

E(X)=EdfX,)=L￡E(XJ=工=E(X)

〃i=ini=ip

(3)有效性

D(X)=D(-XX,)=￡o(XJ=?

〃~,=inp

x*l

InP(X1,p)=Inp(l-p)'~=lnp+(x1-1)ln(l-p)

5InP(xl,p)_1-1

dppp

d2InP(Xpp)_1_Xj-1

前2p2(1-p)2

--1

rzxEV1X_1、1,P

7(p)=-E(——-----!——r)=—+———7

p2(I"，p2(1-p)2

1

PF-P)

((-)Z)24

e=p_______p______=[

'-0(5)硒〃)一1-，.〃?]一

np2p2(l-p)

又是E(X)的有效估計。

2.14設(shè)總體X服從泊松分布P（/l）,Xi，'?,…,X”為其子樣，試求參數(shù)夕二*的無偏估計

量的克拉美勞不等式下界。

解:

p(X],4)=e-，9

InMX1,/O=-%+XJn%-lnX,

Sinp(X[,2)_dinp(X],/l)_1X,

~~dO-~~2A壽

321np(X1,4)_021np(xr4)_J____X|

d2d-一行一

/?)=/⑻…尸1

4A^

克拉美勞不等式的下界為：

nI（0）1nn

〃.麗

2.15設(shè)〃=。。+n。工0），0是。的有效估計量，試證明日=。。+力是〃的有效估計量。

解：

E@=0,E（〃）=E（a§+b）=aE（0）+b=a0+b=/j

81np（x）_8Inp（x）1

dfid0a

（叫到二a*）上慮）

\d/a）a2；d0Ja

從而〃的無偏估計量C-R下界

[〃/（&）『>a-D^=D（q0+b）=D^i）

:.fi=a?+b是R的有效估計量,

2.16設(shè)有二元總體（X,Y）,而（X”X）,（X2，0）…,（X”,匕）為其樣本,證明

一天口一可是C°y（X,y）的無偏估計。

證明:

-.-xi-x=—Xi」±Xj=3(Xj-EX)」Z(X「EX)

〃jwi〃〃jwi

同理

門"子化一時：斗一⑺

.?.E(xf.-xfc-r)

"=E(Xj—EX)(匕一Ey)_=lz(Xj-EX\Yk-EY)

_EnnI

一整Z(X廠EX)(匕-EY)+土(z(x「￡X))g化-EY)

=^^cov(x,y)+2E叵x「EX)平一珂

nnjwi

=嗎)cHx,y)+與cov(x,y)

nn

=—cov(X,r)

n

,E(C)=—!—yE(X.-xYy;.-r)=—!—Y—cov(x,r)=——cov(x,y)=cov(x,r)

n-\^〃一1普〃n-1n

6為cov（X,y）的無偏統(tǒng)計量。

2.17設(shè)。和囪是參數(shù)。的兩個獨(dú)立的無偏估計量，且4的方差為用的方差的2倍，試確

定常數(shù)c及。2,使得G?+c2a為參數(shù)夕的無偏估計量，并且在所有這樣的線性估計中方

差最小。

解：。和。是參數(shù)8的兩個獨(dú)立的無偏估計量

則￡（G。+c202）=C］雨）+GE（a）=e即G+。2=1

又?.?D版）=D唬）

22

,O(G@+C2/92)=-C2D(^)=(2C,+02%(a)

要使其最小，則要求2G2+。22最小。

2222

2CI-t-C2=2C1+(l-C,)=2^CI-^+|

當(dāng)G=j1時，取得最小值，此時02=(2

2.18設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

,x>0

/(%,2)=?2>0

0,x<0

X”X2,…,X〃為其樣本，n>2。

(1)求4的MLE/i；

(2)計算E0),求k,使得3=成為4的無偏估計;

⑶證明才是4的漸進(jìn)有效估計。

解：⑴

n

PIfg2)=,2)=Xxe看'

/=i

InL(x.9A)=nlnA—幾工天

/=1

SinL(xA)n?

---------—i——9-=------2%=0

彳n1

A.=-------=—

九X

Z=1

(2)2==F(2)=E=

X、'X

獷，之叮>。

X「/(x,4)=,

0,x<0

--------x"76一心ngXj的密度函數(shù)

5—1)!1=1

(、nx

4(承)X~=e~^xX>-0U,2>0,n>2

90,x<0

o

,/)=E-〃己4x""二"x—e-Mdx

X日(”叫

i=l

二戶襄?(〃-2"

(〃-1)'7n-\

9122

—A,n=3->

E(2)2=n-^-^-^x^'e-^dx=\xn-3dx='2n~

《心"("血-2)”2

㈠|x2(n-1)(H-1H

口-)

V12

???M)-削2(44=(加限24(〃_*-(?

-京(〃-2)

.n-l

若牙為幾的無偏估計，則E0)'=在削)=%六；1=4.k=------

n

(3)

In/(XI,2)=ln2-AX1

3InL(X,,2)1v

dA21

a2lnL(X,,^)_1_

d2A-22

傘)=邛嗯/7

_J_______1_n~二fl

'一M尤而⑶」下i-,

?

riT

n-Z>22

由此可知，才是％的漸近有效估計。

2.19設(shè)總體X服從泊松分布P（X）M>0,X1,，J，…,X”為來自X的一個樣本。假設(shè)；1有

先驗分布，其密度為

破）=尸…

（0,2<0

求在平方損失下4的貝葉斯估計。

解：給定2,樣木的分布列為：

4nx___1〃

樣本的邊緣分布列g(shù)(M,工2,X”)=])e-nA―—M,其中又=±￡Xj

然！小

1=1

2>0時的聯(lián)合密度函數(shù):

源

4|,々,…,X〃")=g(x，X2,…

立玉!

/-I

4的后驗密度為:

1nX

0-("+|)力4

2巧！

g($，X2,…=

-——i=o,l,2??

g(%，X2,…，乙)

〃(4|玉,％2,…,I”)一

^nX

e-加——dkdX

rr儲」

J=1

0,其它

“X+1

九的貝葉斯估計:2二『助(％|陽,

71+1

2.22隨機(jī)的從一批零件中抽取16個，測得長度(單位：cm)為:

2.142.102.132.152.132.122.132.10

2.152.122.142.102.132.112.142.11

以零件長度的分布為正態(tài)的，試求總體均值〃的90%置信區(qū)間,

(i)若b=0.01(cvw)；

(ii)若b未知。

解：求得:

x=2.125

5=0.0166

S*=0.0171

OL—0.1ytZa—JUQ95=1.645

1-

2

（i）若<T=0.01（M）

則，〃的90%置信區(qū)間為：

X-JLI//。工+〃//冊

1----I----

L22J

帶入數(shù)據(jù)

[2.125-1.645*0.01/>/16,2.125+1.645*0.01/7161

得:[2.121,2.129]

（ii）若。未知

J（15）=4.95（15）=L7531

I-

2

〃的90%的置信區(qū)間為：

或

計算得

[2.1175,2.1325]

2.23對方差已知的正態(tài)分布總體來說，問需抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值

〃的置信度為100(1-a)%置信區(qū)間的長度不大于25。

證明:

CT2=或且T(M)=?N（0,l）

（y14n

估計區(qū)間：X-ua(y^l4n,X+uaa0l4n

1----1----

區(qū)間長度:l4n<26

2.24隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根測得其電阻（。）為

A批導(dǎo)線0.1430.1420.1430.137

B批導(dǎo)線0.1400.1420.1360.1380.1