第03講 平方差和完全平方公式知識解讀+真題演練+課后鞏固（原卷版）

第03講平方差和完全平方公式1.掌握平方差和完全平方公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會運用平方差和完全平方公式進行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.4.能用平方差和完全平方公式的逆運算解決問題知識點1：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.知識點2：平方差公式的特征抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2知識點3：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識點4：拓展、補充公式；；；.【題型1平方差公式運算】【典例1】（2023春?渭南期中）計算（3a+2）（3a﹣2）＝．【變式1-1】（2023春?蕉城區(qū)校級月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，則a2﹣b2＝．【變式1-2】（2023春?雙峰縣期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝．【變式1-3】（2023春?埇橋區(qū)期末）計算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝．【典例2】（2023春?佛岡縣期中）19992﹣1998×2002．【變式2-1】（2023?皇姑區(qū)校級開學(xué)）簡便運算：20222﹣2020×2024．【變式2-2】（2023春?安鄉(xiāng)縣期中）計算：20222﹣2021×2023．【變式2-3】（2023春?渭濱區(qū)期末）用整式乘法公式計算：899×901+1．【題型2平方差公式的逆運算】【典例3】（2023春?海陽市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項式x﹣2y的值是．【變式3-1】（2023春?遼陽期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，則n﹣m等于．【變式3-2】（2023春?廣饒縣期中）已知實數(shù)a，b滿足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，則a+b的值為．【變式3-3】（2023春?甘州區(qū)校級期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，則＝．【題型3平方差公式的幾何背景】【典例4】（2023春?東昌府區(qū)校級期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成壟一個矩形．（1）通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是：．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）D．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②計算：；【變式4-1】（2023春?高明區(qū)月考）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1到圖2的操作能驗證的等式是．（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）當(dāng)4m2＝12+n2，2m+n＝6時，則2m﹣n＝；（3）運用你所得到的公式，計算下列各題：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【變式4-2】（2023春?清遠期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：（選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）；C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：（1）計算：2022×2024﹣20232；（2）計算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【變式4-3】（2023春?屏南縣期中）乘法公式的探究及應(yīng)用：如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成兩個直角梯形后，再拼成一個等腰梯形．?（1）通過計算左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式計算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【題型4完全平方公式】【典例5】（2023春?碭山縣校級期末）計算：（x+4）2﹣x2＝．【變式5-1】（2023春?威寧縣期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，則（x﹣y）2＝．【變式5-2】（2023春?東港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，則n的值為．【變式5-3】（2023春?未央?yún)^(qū)校級月考）計算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【題型5完全平方公式下得幾何背景】【典例6】（2023秋?綠園區(qū)校級月考）為創(chuàng)建文明校園環(huán)境，高校長制作了“節(jié)約用水”“講文明，講衛(wèi)生”等宣傳標(biāo)語，標(biāo)語由如圖①所示的板材裁剪而成，其為一個長為2m，寬為2n的長方形板材，將長方形板材沿圖中虛線剪成四個形狀和大小完全相同的小長方形標(biāo)語，在粘貼過程中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)標(biāo)語可以拼成圖②所示的一個大正方形．（1）用兩種不同方法表示圖②中小正方形（陰影部分）面積：方法一：S小正方形＝；方法二：S小正方形＝；（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系為；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【變式6-1】（2023春?甘州區(qū)校級期中）圖1是一個長為2x、寬為2y的長方形，沿圖中虛線用剪刀剪成四個完全相同的小長方形，然后按圖2所示拼成一個正方形．（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于．（2）試用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．方法1：；方法2：．（3）根據(jù)圖2你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若x+y＝4，xy＝3，則（x﹣y）2＝．【變式6-2】（2023?永修縣校級開學(xué)）如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積（直接用含m，n的代數(shù)式表示）．方法一：；方法二：．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，請你寫出代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知實數(shù)a，b滿足：a+b＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【變式6-3】（2023春?湖州期中）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設(shè)30﹣x＝a，x﹣10＝b．則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解決問題：（1）若x滿足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，點E、F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x．分別以FC、CE為邊在矩形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若矩形CEPF的面積為160平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【題型6完全平方公式的逆運算】【典例7】（2023春?永豐縣期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【變式7-1】（2023春?都昌縣期末）已知實數(shù)m，n滿足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【變式7-2】（2023春?周村區(qū)期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【變式7-3】（2022秋?大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．1．（2023?深圳）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a62．（2022?赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，則2x2﹣4x+3的值為（）A．13 B．8 C．﹣3 D．53．（2022?百色）如圖，是利用割補法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應(yīng)的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b24．（2022?蘭州）計算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y25．（2023?涼山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，則m的值是．6．（2023?雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，則a2﹣b2的值為．7．（2023?江西）化簡：（a+1）2﹣a2＝．8．（2022?遵義）已知a+b＝4，a﹣b＝2，則a2﹣b2的值為．9．（2022?樂山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，則m﹣n＝．10．（2022?大慶）已知代數(shù)式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為．11．（2022?濱州）若m+n＝10，mn＝5，則m2+n2的值為．12．（2022?德陽）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，則xy＝．13．（2023?蘭州）計算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．14．（2022?六盤水）如圖，學(xué)校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面積為M．（1）用含a，M的代數(shù)式表示A中能使用的面積；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面積．1．（2023春?市南區(qū)校級期中）下列算式能用平方差公式計算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a） B．（x+1）（﹣x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）2.（2022秋?睢陽區(qū)期末）如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一個梯形（如圖2），利用這兩個圖形的面積，可以驗證的等式是（）A．a(chǎn)2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）3．（2022秋?嵩縣期末）已知x+y＝8，xy＝12，則x2﹣xy+y2的值為（）A．42 B．28 C．54 D．664．（2022秋??？谄谀┑仁剑ī乤﹣1）（）＝a2﹣1中，括號內(nèi)應(yīng)填入．A．a(chǎn)+1 B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a(chǎn)﹣15．（2022秋?離石區(qū)期末）若二次三項式x2+kx+4是一個完全平方式，則k的值是（）A．4 B．﹣4 C．±2 D．±46．（2023春?攸縣期末）若x2﹣y2＝3，則（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3 B．6 C．9 D．187．（2022秋?鄒城市校級期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一個完全平方式，則m的值為（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2（2022秋?渝北區(qū)校級期末）化簡：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．9．（2023春?渭濱區(qū)期中）請你參考黑板中老師的講解，用乘法公式進行簡便計算：利用乘法公式有時可以進行簡便計算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．10．（2022秋?龍湖區(qū)期末）請認真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示兩個陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡）（2）由（1），你能得到怎樣的等量關(guān)系？請用等式表示；（3）如果圖中的a，b（a＞b）滿足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．11．（2022秋?高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．12．（2022?荊門）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．13．（2022秋?陽城縣期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（