專題02 等邊三角形的性質(zhì)與判定（十三大題型+跟蹤訓(xùn)練）（原卷版）

專題02等邊三角形的性質(zhì)與判定（十三大題型+跟蹤訓(xùn)練）題型1：等邊三角形1．三邊都相等的三角形叫做________．等邊三角形的內(nèi)角都等于________度，各條________所在的直線都是它的對(duì)稱軸．2．等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則它的周長(zhǎng)為______，等邊三角形共有________條對(duì)稱軸．3．等邊三角形是（

）.A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形題型2：等邊三角形的性質(zhì)4．如圖，在等邊中，，，則的長(zhǎng)為___．5．如圖，直線，是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖所示，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=（

）A． B． C． D．7．如圖，是等邊三角形，，連接，，則的度數(shù)為________．8．如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．9．如圖，在等邊三角形中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，，則（）A．6 B．5 C．8 D．711．如圖，是等邊三角形，延長(zhǎng)到D，使，在右側(cè)作等腰直角，與相交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為___________．

題型3：動(dòng)態(tài)問題12．如圖，將等邊三角形沿著折疊，點(diǎn)落到點(diǎn)處，連接．若，則___________．

13．如圖，四邊形中，是對(duì)角線，是等邊三角形．線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．求證：．

題型4：最值問題14．如圖，等邊中，于點(diǎn)H，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，如果，那么m的最小值為___________．15．如圖，在等邊中，D，E分別為邊的中點(diǎn)，，且P為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為______．16．如圖，等邊和等邊的邊長(zhǎng)都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為__________．題型5：等邊三角形解答題17．已知：如圖，E是四邊形的邊上一點(diǎn)，且和都是等邊三角形．請(qǐng)問嗎？說(shuō)明理由．

18．如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，以O(shè)C為邊作等邊三角形OCD，連接OD．

(1)求證：；(2)若，，當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形．19．在中，，以為邊向外作等邊和等邊．

(1)如圖1，連接，與相交于點(diǎn)O．①說(shuō)明的理由．②°．（直接填答案）(2)如圖2，過(guò)D做的垂線，垂足為H，連接，交于點(diǎn)F，與相等嗎？為什么？題型6：等邊三角形的判定20．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．有一個(gè)角為的三角形是等邊三角形； B．三邊相等的三角形是等邊三角形C．三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形 D．有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形21．在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型7：等邊三角形判定的應(yīng)用22．在中，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．18 C．12 D．623．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，則四邊形ABCD的面積為（

）A．1 B． C． D．424．a(chǎn)、b、c是的三邊，且，那么的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形25．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD交OA，OB分別于點(diǎn)E，F(xiàn)；若△PEF的周長(zhǎng)的為9，則線段OP＝_____題型8：等邊三角形判定有關(guān)的最值問題26．如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是______．題型9：符合條件的格點(diǎn)問題27．如圖，在中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型10：新定義問題28．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個(gè)箏形，其中，，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積；⑤是等邊三角形．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)題型11：等邊三角形的判定解答題29．已知點(diǎn)C和點(diǎn)F在線段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于點(diǎn)G．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）當(dāng)∠AGF＝120°，猜想△GFC的形狀，并說(shuō)明理由．30．如圖，已知在中，平分，，，．求證：是等邊三角形．31．在中，，，、兩點(diǎn)在直線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．若，，求證：是等邊三角形．32．如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，連接，，．(1)求證：．(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．題型12：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合33．如圖，在中，，，，將沿所在直線向右平移得到，連接．若，則線段的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．5 D．634．如圖，中，，是中線，，將沿折疊至，則點(diǎn)C到的距離是（

）A．4 B． C．3 D．35．已知是等邊三角形，點(diǎn)P在上，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使，連接PQ交AC于點(diǎn)E，如圖所示．如果等邊的邊長(zhǎng)為4，那么線段的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．36．如圖，在中，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C． D．當(dāng)時(shí)，題型13：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合解答題37．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使得，連接交于點(diǎn)E，則之長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．38．如圖，在等腰中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O在延長(zhǎng)線上，，下面的結(jié)論：①；②是正三角形；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)39．如圖，已知，，，，和交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的有（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④40．已知線段和點(diǎn)，，，，，相交于點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)在線段上，①求證：；②若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)是線段上方的一點(diǎn)，且保持，連接，求證：．41．已知和為等腰三角形，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在射線上，交于點(diǎn)．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(3)如圖③，若，求證：．一、單選題1．下列條件不能得到等邊三角形的是（

）A．有一個(gè)內(nèi)角是60°的銳角三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形C．頂角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底邊相等的等腰三角形2．如圖，是等邊三角形，則（

）A． B． C． D．3．如圖，等邊中，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．4．三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，它們滿足(a－b)2＋|b－c|＝0，則該三角形是(

)A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．如圖，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，則AC=（

）A．5 B．10 C．15 D．2.56．如圖所示，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E為AD上一點(diǎn)，∠CED＝50°，則∠ABE等于（

）A．10° B．15° C．20° D．25°7．如圖，D、E是等邊的BC邊和AC邊上的點(diǎn)，，AD與EE相交于P點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A．45° B．55° C．60° D．75°8．下列結(jié)論中：①有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，則等于（

）A．4 B．5 C．6 D．810．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為12，D是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接，F(xiàn)是上的一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C． D．11．如圖，在正方形網(wǎng)格中有，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向上，且點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向上，則點(diǎn)可能的位置是圖中的（

）A．點(diǎn)處 B．點(diǎn)處 C．點(diǎn)處 D．點(diǎn)處12．如圖，已知和都是等邊三角形，且A、C、E三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)，連接．有以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題13．等邊三角形是特殊的三角形，因此它也是圖形，有條對(duì)稱軸．14．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等邊三角形，則需要添加一條件是.15．如圖，在等邊△ABC中，于點(diǎn)D，若，則．16．如圖，中，平分交于D，，則．17．如圖，已知點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，是等邊三角形，且，則．18．如圖，中，，，于，是的平分線，且交于點(diǎn).如果，則的長(zhǎng)為.19．如圖，在的同側(cè)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，若，則的最大值是．20．如圖，是等邊三角形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，D在線段上，且，連接．以為邊作等邊，的延長(zhǎng)線交于H，連接，則以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是．

三、解答題21．如圖，等邊中，分別交BC，AC于點(diǎn)D、E．求證：是等邊三角形．22．已知：如圖，在中，是腰上的高．求證：．23．如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊上，且與交于點(diǎn)F．求證：．24．如圖，在中，交邊于點(diǎn)，，，.(1)求的度數(shù)；(2)求證：.25．如圖，、分別是等邊三角形的邊，上的點(diǎn)，且，、交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．26．如圖，在中，，點(diǎn)在內(nèi)，，，點(diǎn)在外，，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．27．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線，，且在下方，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，．(1)求的度數(shù)；(2)連接，求證：是等邊三角形．28．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)在邊上．

(1)如圖1，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，在上截取，連接．①求證：是等邊三角形；②求證：．(2)如圖2，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，直接寫出之間的等量關(guān)系．29．已知為等邊三角形，點(diǎn)為的垂直平分線上一點(diǎn)，連接、，點(diǎn)、分別在、所在的直線上，連接、．(1)如圖①，若，點(diǎn)、在邊、上，，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是_______；