第12章 全等三角形 檢測(cè)卷（含詳解）2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

第12章全等三角形檢測(cè)卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)人教版一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?澗西區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙2．（2024春?東明縣期末）花花不慎將一塊三角形的玻璃打碎成了如圖所示的四塊（圖中所標(biāo)①、②、③、④），若要配塊與原來(lái)大小一樣的三角形玻璃，應(yīng)該帶（）A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊3．（2023秋?昌吉州期末）如圖，B、E、C、F在同一直線上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪個(gè)條件可以推證△ABC≌△DEF（）A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF4．（2023秋?寧陽(yáng)縣期末）根據(jù)下列已知條件，能畫(huà)出唯一的△ABC的是（）A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝85．（2024秋?浦口區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2024秋?新沂市校級(jí)月考）如圖，已知∠1＝∠2，則下列條件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（）A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠47．（2024秋?汶上縣校級(jí)月考）如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AD和AD延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，連接BF，CE，下列結(jié)論：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周長(zhǎng)相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2024?珠海校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，連接OB、OC，若∠BOC＝120°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．45° D．70°二．填空題（共8小題）9．（2024秋?灌云縣月考）小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為C，則OC的長(zhǎng)度是．10．（2024秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD、BC交于點(diǎn)O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，還需要再添加的一個(gè)條件是.（寫(xiě)出一個(gè)即可）11．（2024秋?鹽都區(qū)月考）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，則圖中全等三角形有對(duì)．12．（2024秋?宜興市校級(jí)月考）一個(gè)三角形的三邊為4、7、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、4、6，若這兩個(gè)三角形全等，則x﹣y＝．13．（2023秋?江陵縣期末）如圖，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（2024秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）如圖，AC、DF相交于點(diǎn)G，且AC＝DF．D、C是BE上兩點(diǎn)，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，則CD的長(zhǎng)為．15．（2024秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，則∠ECD的度數(shù)為．16．（2024秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，B、C分別在∠PAQ的兩邊上，連接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O為AD上一點(diǎn)，過(guò)O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，連接OC，下列命題中是真命題的序號(hào)有．①OC平分∠ACB；②∠COD＝∠BOF；③2∠AEC＝∠BAC；④BM+CN＞BC；⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°．三．解答題（共6小題）17．（2024秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，點(diǎn)C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求證：AC＝DF．18．（2024?綏江縣二模）如圖，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求證：△ABC≌△ADE．19．（2023秋?四會(huì)市期末）如圖，△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且PM＝QN，連PQ交AC邊于D．求證：（1）△APM≌△CQN；（2）DM＝AC．20．（2023秋?濱城區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過(guò)O作OF⊥BC于F．（1）試判斷∠AOB與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）試判斷∠AOB與∠COF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若∠ACB＝60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．21．（2024秋?農(nóng)安縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．（1）若點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上從點(diǎn)C向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度相等，經(jīng)1s后，請(qǐng)說(shuō)明△BPD≌△CQP；②若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的速度為多少時(shí)，能夠使△BPD≌△CPQ；（2）若點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以5cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們都依次沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上追上點(diǎn)P？22．（2023秋?武隆區(qū)期末）在△DEF中，DE＝DF，點(diǎn)B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時(shí)，①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，并直接寫(xiě)出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為；②如圖2，若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，請(qǐng)證明AE＝BF+CD；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）．

第12章全等三角形檢測(cè)卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)人教版參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?澗西區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【解答】解：圖甲不符合三角形全等的判定定理，即圖甲和△ABC不全等；圖乙符合SAS定理，即圖乙和△ABC全等；圖丙符合AAS定理，即圖丙和△ABC全等；故選：B．2．（2024春?東明縣期末）花花不慎將一塊三角形的玻璃打碎成了如圖所示的四塊（圖中所標(biāo)①、②、③、④），若要配塊與原來(lái)大小一樣的三角形玻璃，應(yīng)該帶（）A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊【解答】解：帶②去可以利用“角邊角”能配一塊與原來(lái)大小一樣的三角形玻璃．故選：B．3．（2023秋?昌吉州期末）如圖，B、E、C、F在同一直線上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪個(gè)條件可以推證△ABC≌△DEF（）A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC，即BC＝EF，A、添加BC＝EF不能推證△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；B、添加∠A＝∠D不能推證△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；C、添加AC＝DF可利用SSS推證△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)符合題意；D、添加AC∥DF不能推證△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．4．（2023秋?寧陽(yáng)縣期末）根據(jù)下列已知條件，能畫(huà)出唯一的△ABC的是（）A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8【解答】解：A．如圖Rt△ACB和Rt△ADB的斜邊都是AB，但是兩三角形不一定全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能畫(huà)出唯一的三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能畫(huà)出唯一的三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．3+4＜8，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫(huà)出三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5．（2024秋?浦口區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9，∴，∵AB＝5，∴，∴AC＝4，故選：B．6．（2024秋?新沂市校級(jí)月考）如圖，已知∠1＝∠2，則下列條件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（）A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若AC＝AD，則△ABC≌△ABD（SAS），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若BC＝BD，則不一定能使△ABC≌△ABD，故本選項(xiàng)正確；C、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若∠C＝∠D，則△ABC≌△ABD（AAS），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若∠3＝∠4，則△ABC≌△ABD（ASA），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．7．（2024秋?汶上縣校級(jí)月考）如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AD和AD延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，連接BF，CE，下列結(jié)論：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周長(zhǎng)相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDF與△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故①正確；∵AB不一定等于AC，∴AB+AD+BD不一定等于AC+AD+CD，∴△ABD和△ACD周長(zhǎng)不一定相等，故②錯(cuò)誤；現(xiàn)有條件不能得出∠BAD＝∠CAD，故③錯(cuò)誤；∵△BDF≌△CDE，∴∠DBF＝∠DCE，∴BF∥CE，故④正確；綜上可知，正確的有2個(gè)，故選：B．8．（2024?珠海校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，連接OB、OC，若∠BOC＝120°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．45° D．70°【解答】解：∵點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．故選：B．二．填空題（共8小題）9．（2024秋?灌云縣月考）小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為C，則OC的長(zhǎng)度是3．【解答】解：作PE⊥OC，PF⊥OB，如圖所示，∵PE＝PF，PE⊥OC，PF⊥OB，∴∠POE＝∠POF，∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POF，∴∠CPO＝∠POE，∴OC＝PC，∵點(diǎn)C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，∴OC＝PC＝5﹣2＝3，故答案為：3．10．（2024秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD、BC交于點(diǎn)O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，還需要再添加的一個(gè)條件是∠CAB＝∠DBC.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【解答】解：添加條件是∠CAB＝∠DBC，在△ABC與△BADC中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案為：∠CAB＝∠DBC（答案不唯一）．11．（2024秋?鹽都區(qū)月考）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，則圖中全等三角形有3對(duì)．【解答】解：如圖，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDO＝∠CEO＝90°，在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（AAS）；∴AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）；在△BDC和△CEB中，，∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）；由上可得，圖中全等三角形共有3對(duì)，故答案為：3．12．（2024秋?宜興市校級(jí)月考）一個(gè)三角形的三邊為4、7、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、4、6，若這兩個(gè)三角形全等，則x﹣y＝﹣1．【解答】解：∵一個(gè)三角形的三邊為4、7、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、4、6，又∵這兩個(gè)三角形全等，∴7和y是對(duì)應(yīng)邊，x和6是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得：x＝6，y＝7，∴x﹣y＝6﹣7＝﹣1，故答案為：﹣1．13．（2023秋?江陵縣期末）如圖，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，10）．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，，∴△AO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，10），故答案為：（6，10）．14．（2024秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）如圖，AC、DF相交于點(diǎn)G，且AC＝DF．D、C是BE上兩點(diǎn)，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，則CD的長(zhǎng)為m+n﹣1．【解答】解：∵∠DGC＝∠1，∴∠ACB＝180°﹣∠FDE﹣∠1，∵∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠E，∠E＝∠1，∴∠ACB＝∠DFE，在△ACB和△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（AAS），∴DE＝AB＝m，BC＝EF＝n，∴CD＝BC+DE﹣BE＝m+n﹣1，故答案為：m+n﹣1．15．（2024秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，則∠ECD的度數(shù)為10°．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，EM⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于M，EN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于N，如圖所示：則∠M＝∠EHA＝∠EHD＝∠N＝90°，∵∠EAC+∠EAD＝180°，∴∠EAD+∠DAC+∠EAD＝180°，即2∠EAD+∠DAC＝180°，∵∠DAC＝40°，∴∠EAD＝70°，∴∠EAC＝180°﹣∠EAD＝110°，∵∠EAME＝180°﹣∠EAC＝70°，∴∠EAM＝∠EAD＝70°，在△EAM和△EHM中，，∵△EAM≌△EHM（AAS）∴EM＝EH，∵∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，∴∠NDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝30°，∴∠NDE＝∠ADE＝30°，在△EDN和△EEDH中，，∴△EDN≌△EEDH（AAS）∴EM＝EH，∴EM＝EN，在Rt△ECM和Rt△ECN中，，∴Rt△ECM≌Rt△ECN（HL），∴∠ECD＝∠ECA＝∠ACD，在△ADC中，∠DAC＝40°，∠ADC＝120°，∴∠ACD＝180°﹣（∠DAC+∠ADC）＝20°，∴∠ECD＝∠ACD＝10°．故答案為：10°．16．（2024秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，B、C分別在∠PAQ的兩邊上，連接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O為AD上一點(diǎn)，過(guò)O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，連接OC，下列命題中是真命題的序號(hào)有①②⑤．①OC平分∠ACB；②∠COD＝∠BOF；③2∠AEC＝∠BAC；④BM+CN＞BC；⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°．【解答】解：①過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AQ于H，如圖1所示：∵AE平分∠BAC，OG⊥AB，OH⊥AQ，∴OG＝OH，∵OG＝OF，∴OH＝OF，∴點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，∴OC平分∠ACB，故命題①是真命題；②∵AE平分∠BAC，OC平分∠ACB，∴設(shè)∠BAO＝∠CAO＝α，∠ACO＝∠BCO＝β，則∠BAC＝2α，∠ACB＝2β，∴∠COD＝∠BAO+∠ACO＝α+β，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2α﹣2β，∵OG⊥AB，OF⊥BC，OG＝OF，∴點(diǎn)O在∠ABC的平分線上，∴OB平分∠ABC，∴∠OBF＝1/2∠ABC＝90°﹣α﹣β，在Rt△OBF中，∠BOF＝90°﹣∠OBF＝90°﹣（90°﹣α﹣β）＝α+β，∴∠COD＝∠BOF，故命題②是真命題；③∵OC平分∠ACB，CE平分∠BCQ，∴∠OCD＝∠ACD，∠ECD＝∠DCQ，∴∠OCD+∠ECD＝（∠ACD+∠DCQ），∵∠ACD+∠DCQ＝180°，∴∠OCD+∠ECD＝90°，即∠OCE＝90°，在Rt△OCE中，∠COD＝α+β，∴∠AEC＝90°﹣∠COD＝90°﹣α﹣β，∴2∠AEC＝180°﹣2α﹣2β，又∵∠BAC＝2α，∴2∠AEC≠∠BAC，故命題③是假命題；④過(guò)點(diǎn)E作EK⊥BC于點(diǎn)K，連接BE，如圖2所示：∵AE平分∠BAC，EM⊥AQ，EK⊥BC，∴EM＝EK，在Rt△BEM和Rt△BEK中，，Rt△BEM≌Rt△BEK（HL），∴BM＝BK，∵CE平分∠BCQ，EN⊥AQ，EK⊥BC，∴EN＝EK，在Rt△ENC和Rt△EKC中，，∴Rt△ENC≌Rt△EKC（HL），∴CN＝CM，∴BM+CN＝BK+CM＝BC，故命題④是假命題；⑤在Rt△OFC中，∠BCO＝β，∠FOC＝90﹣∠BCO＝90°﹣β，由（2）可知：∠COD＝∠BOF＝α+β，∴∠DOF＝∠FOC﹣∠COD＝90°﹣β﹣（α+β）＝90°﹣α﹣2β，∴∠BOC＝∠BOF+∠FOC＝α+β+90°﹣β＝90°+α又∵∠ACB＝2β，∴∠DOF+∠ACB+∠BOC＝90°﹣α﹣2β+2β+90°+α＝180°．故命題⑤是真命題，綜上所述：是真命題的序號(hào)是①②⑤．故答案為：①②⑤．三．解答題（共6小題）17．（2024秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，點(diǎn)C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求證：AC＝DF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF．18．（2024?綏江縣二模）如圖，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求證：△ABC≌△ADE．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．19．（2023秋?四會(huì)市期末）如圖，△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且PM＝QN，連PQ交AC邊于D．求證：（1）△APM≌△CQN；（2）DM＝AC．【解答】（1）證明：∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL），（2）由（1）已證：△APM≌△CQN，∴AM＝CN，在△PDM和△QDN中，，∴△PDM≌△QDN（AAS），∴DM＝DN，∴DM＝CD+CN＝CD+AM，又∵DM+CD+AM＝AC，∴DM+DM＝AC，即．20．（2023秋?濱城區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過(guò)O作OF⊥BC于F．（1）試判斷∠AOB與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）試判斷∠AOB與∠COF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若∠ACB＝60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）∠AOB＝90°+∠ACB，證明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣（180°﹣∠ACB）＝90°+∠ACB；（2）∠AOB+∠COF＝180°，證明：如圖，過(guò)O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，∴OM＝ON，ON＝OF，∴OM＝OF，∴O在∠ACB的角平分線上，∴∠OCF＝∠ACB，∵OF⊥BC，∴∠CFO＝90°，∴∠COF+∠OCF＝90°，∴∠COF＝90°﹣∠OCF，①由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+∠OCF，②由①②得：∠AOB+∠COF＝90°+∠OCF+90°﹣∠OCF＝180°；（3）OE＝OD，證明：∵∠ACB＝60°，∴由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠EOD＝∠AOB＝120°，∵OM⊥AC．OF⊥BC，∴∠OME＝∠OFD＝90°，∠CMO＝∠CFO＝90°，∴∠MOF＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠MOE＝∠DOF＝120°﹣∠MOD，在△EOM和△DOF中，，∴△EOM≌△DOF（AAS），∴OE＝OD．21．（2024秋?農(nóng)安縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．（1）若點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上從點(diǎn)C向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度相等，經(jīng)1s后，請(qǐng)說(shuō)明△BPD≌△CQP；②若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的速度為多少時(shí)，能夠使△BPD≌△CPQ；（2）若點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以5cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們都依次沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上追上點(diǎn)P？【解答】解：（1）①∵點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度相等，都是3cm/s，∴經(jīng)1s后，