甘肅省臨夏市2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

甘肅省臨夏市2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點，則直線BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.5．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．設集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.8．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.9．下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.10．經(jīng)過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.11．已知直線l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－112．給出下列結論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)r的值越接近于1．③對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進行分層抽樣調查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為30．則正確的個數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將連續(xù)的正整數(shù)填入n行n列的方陣中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對角線上的數(shù)之和為，如圖：，那么的值為___________.14．設，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是______.15．已知正數(shù)，滿足.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.16．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求b的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點在棱上，且，證明：平面19．（12分）已知：對任意，都有；：存在，使得（1）若“且”為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“或”為真，“且”為假，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且點的縱坐標為4，（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于兩點，試問拋物線上是否存在定點使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點的坐標，若不存在說明理由21．（12分）已知函數(shù)在處取得極值7（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值22．（10分）設：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則令，得.因為，所以，故直線BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.2、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A3、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計算作答.【詳解】對函數(shù)求導得：，，，則，，而，當且僅當，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關鍵.4、A【解析】構造，應用導數(shù)及已知條件判斷的單調性，而題設不等式等價于即可得解.【詳解】設，則，∴在R上單調遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A5、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C6、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個集合的關系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A7、C【解析】利用等比中項的性質可求得的值，再由可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，解得，又，，故選：C.8、A【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結合的值即可求得答案.【詳解】設直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.9、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C10、C【解析】當是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關鍵11、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因為直線l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A12、B【解析】對結論逐一判斷【詳解】對于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對于②，若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，故②錯誤對于③，對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進行分層抽樣調查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為，故③正確故正確結論為2個故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、34【解析】根據(jù)每行數(shù)字之和相等，四行數(shù)字之和剛好等于1到16之和可得.【詳解】4階幻方中，4行數(shù)字之和，得.故答案為：3414、【解析】構造，利用導數(shù)求其最大值，結合已知不等式恒成立，即可確定的范圍.【詳解】令，則且，若得：；若得：；所以在上遞增，在上遞減，故，要使在上恒成立，即.故答案為：.15、【解析】利用基本不等式性質可得的最小值，由恒成立可得即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當時，即時取等號因為恒成立，所以，解得.故實數(shù)的取值范圍是.故答案填：.【點睛】熟練掌握基本不等式的性質和正確轉化恒成立問題是解題的關鍵.16、【解析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，將邊化角轉化，即可求得；（2）利用余弦定理，結合（1）中所求，即可求得.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得，所以18、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）根據(jù)相似得到證明平面.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形正三角形.∵為的中點，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點，連接.∵為的中點，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.19、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均為真命題，分別求得為真命題，為真命題時，實數(shù)的取值范圍，再由集合的交集運算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】解：因為“且”為真命題，所以，均為真命題若為真命題，則，解得；若為真命題，則，當且僅當，即時，等號成立，此時故實數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】解：若“或”為真，“且”為假，則，一真一假當真，假時，則得；當假，真時，則得故實數(shù)的取值范圍為20、（1）（2）存在，【解析】（1）利用拋物線的焦半徑公式求得點的橫坐標，進而求得p,可得答案;（2）根據(jù)題意可設直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系式，利用直線與的斜率互為倒數(shù)列出等式，化簡可得結論.【小問1詳解】（1）則，，，，故C的方程為：；【小問2詳解】假設存在定點，使得直線與的斜率互為倒數(shù)，由題意可知，直線AB的斜率存在，且不為零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，則，，使得直線與的斜率互為倒數(shù).21、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結果；（2）先由（1）得到，導數(shù)的方法研究其單調性，進而可求出最值.【詳解】（1）因為，所以，又函數(shù)在處取得極值7，，解得；，所以，由得或；由得；滿足題意；（2）又，由（1）得在上單調遞增，在上單調遞減，因此【點睛】方法點睛：該題考查的是有關利用導數(shù)研究函數(shù)的問題，解題方法如下：（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)題意，結合函數(shù)在某個點處取得極值，導數(shù)為0，函數(shù)值為極值，列出方程組，求得結果；