江蘇南京玄武區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末考試模擬試題含解析

江蘇南京玄武區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝02．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.23．若圓與圓相外切，則的值為（）A. B.C.1 D.4．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.5．已知為定義在R上的偶函數(shù)函數(shù)，且在單調(diào)遞減.若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）7．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.98．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直9．平面的法向量，平面的法向量，已知，則等于（）A B.C. D.10．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標為，則的最小值是A. B.C. D.11．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.12．甲、乙同時參加某次數(shù)學檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則___________.14．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為___________15．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，點P的坐標為，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________16．設O為坐標原點，F(xiàn)為雙曲線的焦點，過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，且的內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標原點）的面積的最大值19．（12分）已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點，動圓，且點在圓外，過點作圓的兩條切線分別交曲線于點，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點，且時，求直線的方程.20．（12分）已知點和圓.（1）求圓的圓心坐標和半徑；（2）設為圓上的點，求的取值范圍.21．（12分）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是AB，，，，，DA各棱的中點.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H，K，L共面：（2）求證：平面EFGHKL；（3）求與平面EFGHKL所成角的余弦值.22．（10分）已知：（常數(shù)）；：代數(shù)式有意義（1）若，求使“”為真命題的實數(shù)的取值范圍；（2）若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C2、A【解析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線，結合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.3、D【解析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關系建立方程求解即可.【詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因為兩圓相外切，所以，解得，故選：D4、B【解析】計算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進而可得出輸出結果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.5、C【解析】由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得對恒成立，轉化為且對恒成立．求得相應的最大值和最小值，從而求得的范圍【詳解】定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，且在上遞減，在上單調(diào)遞增，若不等式在上恒成立，即在上恒成立在上恒成立，即在上恒成立，即且在上恒成立令，則，，，，在上遞增，上遞減，令，當時，，在上遞減，故可知，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是故選：C6、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關關系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關關系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關關系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關關系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關關系.故選：D.7、B【解析】先求得直線過定點，再根據(jù)當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內(nèi)部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B8、B【解析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【詳解】因為，所以，所以，垂直.故選：B.9、A【解析】根據(jù)兩個平面平行得出其法向量平行，根據(jù)向量共線定理進行計算即可.【詳解】由題意得，因為，所以（），即，解得，所以.故選:A10、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當最小時，最小，則當和拋物線相切時，最小設切點，由的導數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質，與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關系可求得距離弦長以及相關的最值等問題.11、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉化為，令，，則，，令得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D12、D【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數(shù)學檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點在切線上可得.【詳解】因為切線的斜率為，所以，又切點在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.14、【解析】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函數(shù)與方程，轉化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質解題.由橢圓的性質可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關的方程，然后化為有關的齊次式方程，進而轉化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質.來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標準方程的求解等.15、【解析】分別設線段的中點，線段的中點，再利用點差法可表示出，由平行關系易知三點共線，從而利用斜率相等的關系構造方程，代入整理可得到關系，利用雙曲線得到關于的齊次方程，進而求得離心率.【詳解】設，，線段的中點，兩式相減得：…①設，，線段的中點同理可得：…②，易知三點共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：16、##【解析】，作出漸近線圖像，由題可知的內(nèi)切圓圓心在x軸上，過內(nèi)心作OA和AB的垂線，可得幾何關系，據(jù)此即可求解.【詳解】雙曲線漸近線OA與OB如圖所示，OA與OB關于x軸對稱，設△OAB的內(nèi)切圓圓心為，則M在的平分線上，過點分別作于點于，由，則四邊形為正方形，由焦點到漸近線的距離為得，又，∴，且，∴，∴，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.18、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結合列式計算得解.(2)設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達定理結合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設，，，，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題19、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關系可知，且,由此可知點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設點，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，即，，，則點的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設點，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點，∴，由已知條件得直線和直線關于對稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當，直線方程為，此直線過定點，應舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當時，，，即，，，解得或，但是當時，，故應舍去，當時，直線方程為，當時，，即，，，解得（舍去）或，當時，直線方程為,故直線的方程為或.20、（1）圓心的坐標為，半徑；（2）【解析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標準方程，可得圓心坐標與半徑；（2）由兩點間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是21、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】建立空間直角坐標系，求出各點的坐標；（1）用向量的坐標運算證明向量共面，進而證明點共面；（2）利用向量的數(shù)量積的坐標運算證明，即可；（3）確定平面EFGHKL的一個法向量，利用空間角度的向量計算公式求得答案.【小問1詳解】證明：以D為原點，分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2.則，，，，，，，.可得，，，，，.可得，，，，，所以，，，，共面，又它們過同一點E,所以E，F(xiàn)，G，H，K，L共面.【小問2詳解】證明：由（1）得，，又故，，又，所以平