寧夏銀川市興慶區(qū)長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

寧夏銀川市興慶區(qū)長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B.焦距為C.短軸長(zhǎng)為 D.離心率為2．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.3．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.4．在各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則=（）A. B.C. D.5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.20 B.18C.16 D.96．命題“若，則”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)7．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或38．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其外形上下對(duì)稱(chēng)．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.4510．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.12．已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.兩個(gè)圓C.橢圓 D.兩個(gè)橢圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，求的面積14．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為_(kāi)_.15．關(guān)于曲線C：1，有如下結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱(chēng)；③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝2無(wú)公共點(diǎn)；⑤曲線C與曲線D：|x|+|y|＝2有4個(gè)公共點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____16．過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，則直線的方程為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)在拋物線（）上，過(guò)點(diǎn)A且斜率為1直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B（1）求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求弦長(zhǎng)18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知圓的圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知點(diǎn)A（，0），點(diǎn)C為圓B：（B為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AC的垂直平分線與直線BC交于點(diǎn)G（1）設(shè)點(diǎn)G的軌跡為曲線T，求曲線T的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)P（m，0）（）作圓O：的一條切線l交（1）中的曲線T于M、N兩點(diǎn)，求△MNO面積的最大值21．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）求，并求為何值時(shí)的值最大.22．（10分）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，短軸長(zhǎng)為，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率為，D選項(xiàng)正確.故選：D2、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.3、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A4、A【解析】利用等差中項(xiàng)的定義以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵成等差數(shù)列，∴，即，解得或（舍去），∴，故選：.5、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B6、B【解析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進(jìn)而根據(jù)互為逆否的兩個(gè)命題同真或同假最終得到答案.【詳解】“若a=0，則ab=0”，命題為真，則其逆否命題也為真；逆命題為：“若ab=0，則a=0”，顯然a=1，b=0時(shí)滿(mǎn)足ab=0，但a≠0，即逆命題為假，則否命題也為假.故選：B.7、D【解析】根據(jù)，且構(gòu)成等比數(shù)列，利用“”求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋覙?gòu)成等比數(shù)列，所以，解得，故選：D8、D【解析】求出直線直線過(guò)的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn),由過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過(guò)原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，不成立，即直線l不過(guò)原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D9、C【解析】設(shè)雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長(zhǎng)【詳解】設(shè)點(diǎn)是雙曲線與截面的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為故選：10、A【解析】利用對(duì)立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.11、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D12、A【解析】設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出，由題意知是△的中位線，從而得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)為的外角平分線，，設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，或，?dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，，，，此時(shí)為等腰三角形，所以，所以，即的面積為14、【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角.【詳解】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，2，，，1，，，，設(shè)異面直線與所成角為，，異面直線與所成角為.故答案為：.15、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用可判斷①②；求出可判斷③；聯(lián)立方程，解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①，將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，方程不變，曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故①正確；對(duì)于②，將方程中的x換為﹣y，把y換成﹣x，方程不變，曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱(chēng)，故②正確；對(duì)于③，由方程得，故曲線C不是封閉圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，曲線C：，不是封閉圖形，聯(lián)立整理可得：，方程無(wú)解，故④正確；對(duì)于⑤，曲線C與曲線D：由于，解得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得公共點(diǎn)為，故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形，故⑤正確故答案為：416、##【解析】根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，利用拋物線的定義可得，有軸，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又，所以點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，由，由拋物線的定義得，解得，所以AB垂直與x軸，所以直線AB的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)（2）【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可求得的值，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】由已知得直線方程為，即由得，解得或所以，則18、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓的半徑長(zhǎng)，結(jié)合圓心坐標(biāo)可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.小問(wèn)1詳解】解：圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：圓心到直線的距離為，因此，.20、（1）（2）1【解析】（1）可由題意，點(diǎn)G在線段AC的垂直平分線上，，可利用橢圓的定義，得到點(diǎn)G的軌跡為橢圓，然后利用已知的長(zhǎng)度關(guān)系求解出橢圓方程；（2）可通過(guò)設(shè)l的方程，利用l是圓O的切線，通過(guò)點(diǎn)到直線的距離得到一組等量關(guān)系，然后將直線與橢圓聯(lián)立方程，計(jì)算弦長(zhǎng)，表示出△MNO面積的表達(dá)式，將上面得到的等量關(guān)系代入利用基本不等式即可求解出最值.【小問(wèn)1詳解】依題意有，，即G點(diǎn)軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為由題意可知，，則，，所以曲線T的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以，即，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，整理得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，又點(diǎn)O到直線l的距離為1，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的面積的最大值為121、（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，的值最大.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以有，即；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，所以該數(shù)列是遞減數(shù)列，而，當(dāng)時(shí)，解得：，因此當(dāng)或時(shí)，的值最大.22、（1）（2）【解析】（1）由