2021年九年級數(shù)學中考一輪復習專題突破訓練：三角形的中位線（附答案）

2021年九年級數(shù)學中考一輪復習專題突破訓練：三角形的中位線（附答案）

1.如圖，AABC中，AB=4,AC=3,AD,AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG，

AC于F,交AB于G,連接EF,則線段EF的長為（）

17

A.—B.IC.—D.7

22

2.如圖，點A,B為定點，定直線/〃AB,P是/上一動點，點M,N分別為南，P8的中

點，對下列各值：

①線段MN的長；②△弘8的周長；③△PMN的面積;

④直線MN,AB之間的距離；⑤N4PB的大小.

其中會隨點P的移動而變化的是（）

A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤

3.如圖，四邊形ABC。中，ZA=90°,AB=3^,A￡>=3,點M,N分別為線段BC,

A8上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E,尸分別為DM,MN的中點，則

E尸長度的最大值為（）

A.3B.4C.4.5D.5

4.如圖，在矩形ABC。中，P、R分別是BC和。C上的點，E、F分別是AP和RP的中點,

當點P在8c上從點B向點C移動，而點R不動時，下列結(jié)論正確的是（）

A.線段E尸的長逐漸增長B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長始終不變D.線段EF的長與點P的位置有關

5.如圖，△ABC的周長為19,點￡>,E在邊8c上，/A8C的平分線垂直于AE,垂足為M

NACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為（）

A.3B.2C.—D.3

22

6.如圖，△A8C的面積是12,點。、E、F、G分別是BC、AD,BE、CE的中點，則△AFG

的面積是（）

A

BD

A.4.5B.5C.5.5D.6

7.如圖，△ABC中，已知A8=8,ZC=90°,NA=30°,OE是中位線，則。E的長為

()

A.4B.3C.273D.2

8.如圖，在△ABC中，BD、CE是角平分線，于點M,ANLCE于氤N./\ABC

的周長為30,8c=12.則MN的長是（）

A.15B.9C.6D.3

9.如圖，在四邊形ABCC中，已知A8=C。，M、N、P分別是A。、BC、8。的中點NA8O

=20°，ZBDC=70°，則NNMP的度數(shù)為（）

A.50°B.25°C.15°D.20°

10.如圖，在△ABC中，延長BC至￡>,使得8=工8。，過AC中點E作EF〃C￡>（點尸

2

位于點E右側(cè)），且EF=2CD,連接DF.若A8=8,則。尸的長為（）

B.4C.273D.3A/2

11.如圖，CE是△ABC的中位線，過點C作C/〃BO交3E的延長線于點F,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.EF=CFB.EF=DEC.CF<BDD.EF>DE

12.如圖，在RtZLABC中，ZB=90°,AB=6,8c=8,點。在BC上，以AC為對角線

的所有平行四邊形AOCE中，OE的最小值是（）

B.8C.6D.5

13.如圖，。是△A3C內(nèi)一點，BDLCD,AO=6,80=4,CD=3,E、F、G、”分別是

AB、AC、CD、8。的中點，則四邊形EEG〃的周長是（）

A.7B.9C.10D.11

14.如圖，M是△ABC的邊5C的中點，AN平分N84C,BN上AN于點N,且45=10,BC

=15,MN=3,則AC的長是（）

A.12B.14C.16D.18

15.如圖，D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的中點，如果△AQE的周長是6,則△ABC

的周長是（）

A.6B.12C.18D.24

16.如圖，NM4N=90°，點C在邊AM上，AC=4,點5為邊AN上一動點，連接5C,

△A'8c與△ABC關于8C所在直線對稱，點。，E分別為AC,BC的中點，連接。￡

并延長交A'B所在直線于點F,連接A'E.當AA'EF為直角三角形時，AB的長

17.如圖，正方形ABCO和正方形EFCG的邊長分別為3和1,點尸，G分別在邊BC,CD

上，P為AE的中點，連接PG,則PG的長為.

18.如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90°，點D,E,尸分別為A8,AC,BC的中點.若

CD=5,則EF的長為.

19.如圖，已知A8=10,P是線段AB上的動點，分別以4P、P8為邊在線段48的同側(cè)作

等邊△ACP和△尸。8,連接C。，設C￡）的中點為G,當點P從點A運動到點B時，則

點G移動路徑的長是.

20.如圖，NACB=90°,。為AB中點，連接QC并延長到點E,使CE=』C￡>,過點8

4

作8斤〃。E交4E的延長線于點尸.若8尸=10,則AB的長為.

￡

21.如圖，QE為△ABC的中位線，點F在OE上，且NAFB=90°,若AB=6,BC=8,

則EF的長為.

22.如圖所示，QE為△ABC的中位線，點F在QE上，且NAFB=90°,若AB=5,BC=

8,則EF的長為.

23.如圖，AABC的周長為26,點。，E都在邊8c上，NA8C的平分線垂直于AE,垂足

為。，NACB的平分線垂直于AO,垂足為P,若8c=10,則尸。的長.

24.在四邊形A8CO中，對角線AC_LBC且AC=6、BD=8,E、尸分別是邊A8、CO的中

點，則EF=

D

25.如圖，在△ABC中，NACB=90°,M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點Q,

使CD=LBD,連接DM、DN、MN.若AB=6,則DN=.

3

26.如圖，在四邊形ABQC中，E、F、G、”分別為AB、BC、CD、D4的中點，并且E、

F、G、H四點不共線.當AC=6,20=8時，四邊形EFG/Z的周長是.

27.如圖，在RtaABC中，NACB=90°,BC=3,AC=4,點M為邊AC的中點，點N

為邊BC上任意一點，若點C關于直線MN的對稱點C'恰好落在AABC的中位線上，

則CN的長為.

28.如圖，在四邊形48C。中，P是對角線8。的中點，E、F分別是48、CO的中點，AD

=BC,/FPE=100°,則NPFE的度數(shù)是.

29.如圖，等邊AABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F,使CF

=LfiC,連接CD和

2

(1)求證：DE=CF；

(2)求EF的長.

30.如圖，在△ABC中，點。，E,尸分別是AB,BC,CA的中點，AH是邊BC上的高.

(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；

(2)求證：NDHF=NDEF.

31.如圖，在四邊形4BCD中，/A8C=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,

連接8M,MN,BN.

(1)求證：BM=MN；

(2)NBA3=60°,AC平分NBA。，AC=2,求BN的長.

32.如圖，△ABC中，A。是中線，AE是角平分線，CF_LAE于F,AB=10,AC=6,求

QF的長.

33.如圖，在四邊形A8CQ中，AC±BD,80=12,AC=16,E,F分別為AB,CZ)的中點,

求EF的長.

34.在△4BC中，E是4c邊上一點，線段BE垂直/54C的平分線于。點，點M為BC1邊

的中點，連接。例.

(1)求證：

2

(2)若A￡>=6,80=8,DM=2,求AC的長.

35.如圖，在四邊形ABC。中，AB=DC,E、尸分別是A。、8C的中點，G、，分別是對角

線BD、AC的中點.

(1)求證：四邊形EGFH是菱形;

(2)若AB=a,則當/ABC+/￡)CB=90°時，求四邊形EGFH的面積.

4

36.如圖，E、尸、G、”分別為四邊形ABCD四邊之中點.

(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形;

(2)當AC、8。滿足時，四邊形EFG”為菱形.當4C、8。滿足時,

四邊形EFG”為矩形.當AC、滿足時，四邊形EFGH為正方形.

37.如圖，在△ABC中，AE平分NBAC,BE_LAE于點E,點尸是BC的中點.

圖2

(1)如圖1,BE的延長線與AC邊相交于點O,求證：EF=Z(AC-AB)；

2

(2)如圖2,寫出線段A&AC、EF的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.

38.己知：△ABC中，AB=\O.

(1)如圖①，若點￡＞、E分別是AC、BC邊的中點，求?！甑拈L；

(2)如圖②，若點Ai，上把AC邊三等分，過4,出作AB邊的平行線，分別交BC

邊于點當,&,求A1B1+A2&的值;

(3)如圖③，若點Ai，A2,…，Aio把AC邊十一等分，過各點作AB邊的平行線，分

別交BC邊于點8],Bz，-B10.根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,直接寫出A1B1+A2&+…+4()810

的結(jié)果.

圖①圖②圖③

參考答案

1.解：是△ABC角平分線，CG_LA￡＞于R

...△AGC是等腰三角形，

：.AG=AC=3,GF=CF,

；AB=4,AC=3,

：.BG=\,

是△ABC中線，

：.BE=CE,

為aCBG的中位線，

：.EF=^BG=—,

22

故選：A.

2.解：?.?點A,B為定點,點M,N分別為B4,PB的中點，

是△必B的中位線，

：.MN=^AB,

2

即線段MN的長度不變，故①錯誤；

PA.尸8的長度隨點尸的移動而變化，

所以，△辦8的周長會隨點尸的移動而變化，故②正確；

■:MN的長度不變，點P到MN的距離等于I與AB的距離的一半,

...△PMN的面積不變，故③錯誤；

直線MMA8之間的距離不隨點尸的移動而變化，故④錯誤;

ZAPB的大小點P的移動而變化，故⑤正確.

綜上所述，會隨點P的移動而變化的是②⑤.

故選：B.

3.解：如圖，連結(jié)。N,

；DE=EM,FN=FM,

:.EF=』DN,

2

當點N與點B重合時，QN的值最大即EF最大，

在Rt/LAB。中，VZA=90°,AD=3,AB=3?,

??加氣/+/氣32+（如產(chǎn)6,

：.EF的最大值=28。=3.

2

故選A.

4.解：連接AR,

.矩形ABCD固定不變，R在CD的位置不變,

和OR不變，

..,由勾股定理得：AR=J虹|2+DR2.

：.AR的長不變,

,:E、尸分別為AP、RP的中點,

：.EF=—AR,

2

即線段E尸的長始終不變，

故選：C.

5.解：:BN平分NA8C,BNVAE,

ANBA=NNBE,ABNA=NBNE,

在△BM4和△BNE中，

，ZABN=ZEBN

?BN=BN

ZANB=ZENB

：.BA^BE,

...△BAE是等腰三角形，

同理△CA。是等腰三角形，

...點N是AE中點，點M是4。中點（三線合一）,

MN是的中位線，

\'BE+CD=AB+AC^\9-BC=19-7=12,

：.DE=BE+CD-BC=5,

15

:.MN=±DE=3.

22

故選：c.

6.解：?.?點。，E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點，

：.AD是△ABC的中線,BE是AAB。的中線,CE是△ACO的中線,A尸是△ABE的中線,

AG是△4（；￡；的中線，

/.ZXAE尸的面積=LxaABE的面積=2XZ\AB/）的面積=2XaA8C的面積=3,

2482

同理可得AAEG的面積=3,

2

/XBCE的面積=LxZVIBC的面積=6,

2

又FG是△BCE的中位線，

...△EFG的面積=LxZ\BCE的面積=旦，

42

.?.△49G的面積是3x3=9,

22

故選：A.

7.解：VZC=90°,ZA=30°,

：.BC=—AB=4,

2

又是中位線，

.?.￡）E=2BC=2.

2

故選：D.

8.證明：:△ABC的周長為30,8c=12.

：.AB+AC=30-BC=\S.

延長AMAM分別交8C于點尺G.如圖所示：

為N4BC的角平分線,

：.ZCBM=ZABM,

,CBMYAG,

：.ZABM+ZBAM=90°,ZG+ZCBM=90°,

：.ZBAM=ZAGB,

：.AB=BG,

：.AN=GN,

同理4C=CF,AM=MF,

:.MN為AAFG的中位線，GF=BG+CF-BC,

:.MN=L(AB+AC-BC)=工(18-12)=3.

22

故選：D.

9.解：I?在四邊形ABC。中，M、N、P分別是A。、BC、BO的中點,

：.PN,PM分別是△COB與△D4B的中位線，

：.PM=—AB,PN^—DC,PM//AB,PN//DC,

22

'：AB=CD,

:.PM=PN,

...△PMN是等腰三角形，

'：PM//AB,PN//DC,

：.ZMPD=ZABD=20°,NBPN=NBDC=1O°，

：.NMPN=NMPD+NNPD=20°+(180-70)=130°

AZPMN=^~—=25°.

2

故選：B.

10.解：取BC的中點G,連接EG,

是4c的中點,

...EG是的中位線,

：.EG=-AB=^-X2=4,

22

設CD=x,則EF=BC=2x,

***BG=CG=Xt

：.EF=2x=DG,

9JEF//CD,

四邊形EGDF是平行四邊形,

：.DF=EG=4,

故選：B.

II.解：是△ABC的中位線,

...E為AC中點,

：.AE=EC,

'.,CF//BD,

：.ZADE=NF,

在和△CFE中，

，ZADE=ZF

v<ZAED=ZCEF,

AE=CE

:.XADaXCFE(4AS),

：.DE=FE.

故選:B.

12.解：平行四邊形4DCE的對角線的交點是AC的中點O,當ODJ_BC時，0。最小，即

DE最小.

VODYBC,BCLAB,

：.OD//AB,

又：OC=OA,

：.CD=DB,

：.。。是△ABC的中位線，

0D=—AB^3,

2

:.DE=2OD=6.

故選：C.

E

及

13.解：'：BDVDC,BD=4,CD=3,由勾股定理得：死=加2+?2=5,

尸、G、H分別是AB、AC.CD、8。的中點，

：.HG=—BC=EF,EH=FG=LAD,

22

：A￡>=6,

:.EF=HG=2.5,EH=GF=3,

四邊形EFG”的周長是EF+FG+"G+E〃=2X(2.5+3)=11.

故選：D.

14.解：延長線段BN交AC于E.

平分/BAG

:.NBAN=NEAN,

在△ABN與△AEN中，

"ZBAN=ZEAN

???<AN=AN,

ZANB=ZANE=90°

.'.△ABN會/\AEN(ASA),

：.AE=AB=]O,BN=NE,

又：M是AABC的邊BC的中點，

；.CE=2MN=2X3=6,

???AC=AE+CE=10+6=16.

故選：C.

15.解：:。、E分別是AB、AC的中點，

.?.A￡)=」AB,AE=」AC,DE=^BC,

222

.?.△ABC的周長=48+AC+BC=2AO+2AE+2OE=2(AD+AE+DE)=2X6=12.

故選:B.

16.解：當EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當NA'E尸=90°時，如圖1,

「△A'BC與△ABC關于8c所在直線對稱，

：.A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

?.?點O,E分別為AC,BC的中點，

：.D.E是AABC的中位線，

J.DE//AB,

；.NCDE=/MAN=90°,

NCDE=ZA'EF,

：.AC//A,E,

：.NAC8=NA'EC,

ZA'CB=ZA'EC,

：.A'C=A'E=4

Rtz\4C3中，???E是斜邊3c的中點，

???BC=2A'E=8,

121

由勾股定理得：AB=BC-AC1

；?AB=q82_42=4退;

②當/4萬石=90°時，如圖2,

VZADF=ZA=ZDFB=90°,

，NAB尸=90°,

VAAZ8C與△ABC關于6c所在直線對稱,

AZABC=ZCBA,=45°,

???△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC=4；

綜上所述，A8的長為4立或4；

故答案為：4，§或4；

rL------7^4'

D

B

圖2

17.解：方法1、延長GE交AB于點。，作P/7L0E于點兒

貝ijPH//AB.

是4E的中點，

是△AOE的中位線，

；.PH=4A=2(3-1)=1.

22

:直角AAOE中，ZOAE=45°,

.?.△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2,

同理中，HE=PH=\.

：.HG=HE+EG=\+l=2.

==

.,.在RtAPHG中，PGp2=12+225/5,

故答案是：Vs-

方法2、如圖1,

延長D4,GP相交于H,

???四邊形ABCD和四邊形EFCG是正方形，

.,.EG//BC//AD,

：.ZH=ZPGE,ZHAP=ZGEP,

?點P是AE的中點，

：.AP=EP,

：.四△EGP,

：.AH=EG=\,PG=PH=—HG,

2

：.DH=AD+AH=4,DG=CD-CG=2,

根據(jù)勾股定理得，WG=^DH2+DG2=275,

:.PG=?

故答案為加.

18.解：?.'△ABC是直角三角形，CD是斜邊的中線,

.?.CO=2AB,

2

又,:EF是的中位線，

.?.AB=2C￡)=2X5=10C7〃，

.?.EF=上義10=5。".

2

故答案為：5.

19.解：如圖，分別延長AC、8。交于點H,過G作MN〃A8,分別交A”于M,BH于N,

「△APC和△BP。是等邊三角形，

.?.NA=NB=60°,

/\AHB是等邊三角形，

；NA=/OPB=60°,

J.AH//PD,

'：ZB=ZCPA=60°,

J.BH//PC,

：.四邊形CPDH為平行四邊形，

.?.CD與HP互相平分.

為C￡＞的中點，

...G正好為尸”中點，

是等邊三角形，

二在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為的中位線MN.

：.MN=—AB=5,即G的移動路徑長為5.

2

故答案為：5.

H

20.解：：點。是4?的中點，BF//DE,

...OE是AAB尸的中位線.

VBF=10,

：.DE=—BF=5.

2

VCE=—CD,

4

.?.且cn=5,解得C￡)=4.

4

'.?△ABC是直角三角形，

：.AB=2CD=S.

故答案為：8.

21.解：：￡)￡■為aABC的中位線，NAFB=90°,

：.DE=—BC,DF=—AB,

22

VAB=6,BC=8,

.,.￡>￡=AX8=4,OF=』X6=3,

22

：.EF=DE-DF=4-3=

故答案為：1.

22.解：'為△ABC的中位線，：.AD=BD,

,：ZAFB=90Q,

：.DF=^AB=2.5,

2

■為△ABC的中位線，

：.DE=—BC=4,

2

:.EF=DE-DF=1.5,

故答案為：1.5.

23.解：2△ABC的周長是26,2c=10,

：.AB+AC=26-10=16,

VZABC的平分線垂直于AE,

.?.在△AB。和△EB。中，

<ZABQ=ZEBQ

<BQ=BQ,

ZAQB=ZE0B

???△ABQ"AEBQ,

：.AQ=EQfAB=BE,

同理，AP=DP,AC=CD,

：.DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=\6-10=6,

\'AQ=DP,AP=DP,

???P。是△4￡>七的中位線，

.?.P0=_1_OE=3.

故答案是：3.

24.解：如圖，取8c的中點G,連接EG、FG,

,:E、尸分別是邊48、CD的中點，

EG//ACS.EG=」AC=」X6=3,

22

FG〃8。且尸6=工8。=工X8=4,

22

'：ACVBD,

：.EG-LFG,

A￡F=VEG2+FG2=V32+42=5-

故答案為：5.

25.解：連接CM,

N分別是AB、AC的中點，

.\NM=—CB,MN//BC,又CD=、BD,

23

：.MN=CD,又MN〃BC,

...四邊形DCMN是平行四邊形，

：.DN=CM,

；NACB=90°,例是4B的中點,

.?.CM=2AB=3,

2

：.DN=3,

故答案為：3.

26.解：；尸，G分別為BC,C￡＞的中點，

:.FG=LBD=4,FG//BD,

2

,:E,H分別為AB,D4的中點，

：.EH=LBD=4,EH//BD,

2

：.FG//EH,FG=EH,

：.四邊形EFGH為平行四邊形，

：.EF=GH=—AC=3,

2

：.四邊形EFGH的周長=3+3+4+4=14,

故答案為：14

27.解：取8C、AB的中點H、G,連接MH、HG、MG.

如圖1中，當點C'落在上時，設NC=NC'=x,

B

由題意可知：MC=MC'=2,知，=旦，HC=」HN=^--x,

222

在RtAHNC'中，"：HN2=HC2+NC2

：.(2-X)2=/+(1)2,

22

解得x=2.

3

如圖2中，當點C'落在GH上時，設NC=NC'=x,

,:△HNC's叢GCM,

.NCZ_HCZ

GM

???A一-8----2--市----

3

如圖3中，當點C落在直線GM上時:易證四邊形MCNC'是正方形，可得CN=CM=2.

此時點C'在中位線GM的延長線上，不符合題意舍棄.

綜上所述，滿足條件的線段CN的長為2或*-2

33

故答案為為2或殳2巨.

33

28.解：是對角線8。的中點，E是42的中點,

：.EP=^AD,

2

同理，F(xiàn)P=LBC,

2

'：AD=BC,

：.PE=PF,

VZFP￡=100°,

：.ZPFE=4O0,

故答案為：40°.

29.(1)證明：；￡)、E分別為AB、AC的中點,

；.￡)￡■為△ABC的中位線,

：.DE=^BC,

2

;延長8c至點F,使CF=」BC,

2

:.DE=FC；

(2)解：,：DE=FC,

二四邊形DEFC是平行四邊形，

：.DC=EF,

'：。為A8的中點，等邊AABC的邊長是2,

：.AD=BD=1,CDLAB,BC=2,

:.DC=EF=43-

30.證明：(1),:點、D,E,尸分別是AB,BC,CA的中點,

：.DE.EF都是△ABC的中位線，

：.EF//AB,DE//AC,

：.四邊形ADEF是平行四邊形；

(2):四邊形AOE尸是平行四邊形，

：.ZDEF=ZBAC,

VD,F分別是AB,C4的中點，A”是邊BC上的高，

：.DH=AD,FH=AF,

；.NDAH=NDHA,NFAH=NFHA,

NDAH+ZFAH=ABAC,

ZDHA+ZFHA=ZDHF,

：.ZDHF=ZBAC,

：.4DHF=ZDEF.

31.(1)證明：在△CAO中，N分別是AC、CO的中點,

:.MN〃AD,MN=LD,

2

在R77\ABC中，是AC中點，

：.BM=^AC,

2

\'AC=AD,

：.MN=BM.

(2)解：,：ZBAD=60a,4c平分NBA。，

.?.NBAC=/a4C=30°,

由(1)可知，BM=—AC=AM=MC,

2

AZBMC=ZBAM+ZABM=2ZBAM=^f>0°,

'.,MN//AD,

.../NMC=ND4C=30°,

，ZBMN=ZBMC+ZNMC=90°,

由(1)可知MN=8M=」AC=1,

2

：.BN=y]2

32.解：延長C尸交AB于點G,

平分NBAC,

：.ZGAF=ZCAF,

；.AF垂直平分CG,

：.AC=AG,

GF=CF,

又：點。是BC中點，

產(chǎn)是aCBG的中位線，

：.DF=—BG^—(AB-AG)(AB-AC)=2.

222

33.解：如圖，取BC邊的中點G,連接EG、FG.

■:E,尸分別為AB,CO的中點，

：.EG是△ABC的中位線，F(xiàn)G是ABCD的中位線，

：.EG=^AC,FG=^BD.

22

又BD=12,AC=16,AC1BD,

；.EG=8,FG=6,EGLFG,

???在直角AEGF中，由用勾股定理，得

EF—gQ2+pQ2—yjg2+g2=10,即EF的長度是10.

A

D

E,

B匕G(7

34.(1)證明：在△ADB和△?!￡)￡：中，

fZBAD=ZEAD

<AD=AD,

ZADB=ZADE=90°

A/\ADB^/\ADE(ASA)

：.AE=AB,BD