第三章　函數(shù)的概念與性質(zhì) B素養(yǎng)拓展區(qū)（ 一遍過·數(shù)學必修第一冊RJA）（已核）

數(shù)學·必修第一冊·RJA第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

本章主要介紹了函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并通過對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的研究,進一步理解數(shù)形結合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.過素養(yǎng)部分通過函數(shù)圖象的對稱性的判斷和新定義問題,考查同學們分析問題、解決問題的能力,有利于培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

答案

答案

答案

3.[“數(shù)學抽象、邏輯推理”素養(yǎng)]設f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù),若存在x0∈(0,1),使得f(x)在[0,x0]上單調(diào)遞增,在[x0,1]上單調(diào)遞減,則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數(shù),x0為峰點,包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.求證:給定一個[0,1]上的單峰函數(shù)f(x),對任意的x1,x2∈(0,1),且x1<x2,若f(x1)≥f(x2),則(0,x2)為含峰區(qū)間;若f(x1)≤f(x2),則(x1,1)為含峰區(qū)間.答案3.【證明】

設x0為f(x)的峰點,則由單峰函數(shù)的定義,可知f(x)在[0,x0]上單調(diào)遞增,在[x0,1]上單調(diào)遞減.當f(x1)≥f(x2)時,假設x0?(0,x2),則0<x1<x2≤x0,從而f(x0)≥f(x2)>f(x1),這與f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x0∈(0,x2),即(0,x2)是含峰區(qū)間.當f(x1)≤f(x2)時,假設x0?(x1,1),則x0≤x1<x2<1,從而f(x0)≥f(x1)>f(x2),這與f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x0∈(x1,1),即(x1,1)是含峰區(qū)間.

答案

2.已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域為[-2,0],若k∈(0,1),則函數(shù)F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定義域為(

)A.[k-1,1-k] B.[-k-1,1+k]C.[k-1,1+k] D.[-k-1,1-k]答案

3.[2019浙江杭州高三(上)第一次教學質(zhì)量檢測]已知f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),它們的部分圖象如圖所示,則f(x)g(x)的圖象大致是(

)答案3.C

【解析】

由題意,得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).令F(x)=f(x)g(x),則F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以函數(shù)F(x)=f(x)g(x)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,排除A,B.又由函數(shù)f(x),g(x)的圖象可知,當x>0時,f(x)>0,g(x)>0,所以F(x)>0,可排除D,故選C.4.[2019山西忻州一中期中考試]已知函數(shù)f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,3)C.(1,+∞) D.(3,+∞)答案4.A

【解析】

設g(x)=f(x)-3,則g(x)為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞減,又f(a)+f(a-2)>6可化為f(a)-3>-f(a-2)+3=-[f(a-2)-3]=f(2-a)-3,即g(a)>g(2-a),∴a<2-a,∴a<1.

答案

6.若f(x)和g(x)都是奇函數(shù),且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,則在(-∞,0)上F(x)有(

)A.最小值-8 B.最大值-8C.最小值-6 D.最小值-4答案6.D

【解析】

設x∈(-∞,0),則-x∈(0,+∞),∴F(-x)=f(-x)+g(-x)+2≤8,且存在x0∈(0,+∞)使得F(x0)=8.∵f(x),g(x)都是奇函數(shù),∴f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]≤6,∴f(x)+g(x)≥-6,∴F(x)=f(x)+g(x)+2≥-4,且存在x∈(-∞,0)使得F(x)=-4.∴F(x)在(-∞,0)上有最小值-4.

答案

答案

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.[2020山東濱州期中考試]函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則下列選項中正確的是(

)

A.函數(shù)f(x)的定義域為[-4,4)B.函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞)C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)D.對于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自變量x與之對應答案9.BD

【解析】

由題圖可知,函數(shù)f(x)的定義域為[-4,0]∪[1,4),故A錯誤;函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),故B正確;函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不單調(diào),故C錯誤;對于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自變量x與之對應,故D正確.故選BD.10.[2020浙江杭州二中?？糫若函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+1)與f(x+2)都為奇函數(shù),則(

)A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x+3)為奇函數(shù)D.f(x+4)為偶函數(shù)答案10.AC

【解析】

∵f(x+1)與f(x+2)都為奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1)

①,f(-x+2)=-f(x+2)

②,由①可得f(-(x+1)+1)=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2)

③,由②③可得f(-x)=f(-x+2),即f(x)=f(x+2),∴f(x)為奇函數(shù),∴f(x+1)=f(x+3),則f(x+3)為奇函數(shù),∴f(x+4)=f(x+2),f(x+4)為奇函數(shù).故選AC.

答案

答案

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知函數(shù)f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式f(x)>|x|恒成立,則在α∈{-2,-1,0,1,2}的條件下,α可以取值的個數(shù)是

.

答案13.2

【解析】

因為x∈(-1,0)∪(0,1),所以0<|x|<1.當α=-1,1時,f(x)=xα>|x|顯然是不恒成立的;當α=0時,f(x)=1>|x|;當α=2時,f(x)=x2=|x|2<|x|;當α=-2時,f(x)=x-2=|x|-2>1>|x|.綜上,α可以取值為0或-2,共2個.14.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R)對任意的實數(shù)x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若當x∈[-1,1]時,f(x)>0恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是

.

答案14.(-∞,-1)∪(2,+∞)

【解析】

由題意,知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以a=2,所以f(x)=-x2+2x+b2-b+1=-(x-1)2+b2-b+2,則f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,所以當x∈[-1,1]時,f(x)>0恒成立,只需f(-1)>0,即b2-b-2>0,即(b+1)(b-2)>0,所以b<-1或b>2.

答案

16.[2019江西臨川一中高一(上)期末考試]已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=

.

答案16.-16

【解析】

f(x)=[x-(a+2)]2-4-4a,g(x)=-[x-(a-2)]2+12-4a.由f(x)=g(x),解得x=a+2或x=a-2.又H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},∴H1(x)的最小值A=-4-4a,H2(x)的最大值B=12-4a,∴A-B=(-4-4a)-(12-4a)=-16.

答案17.【解析】

答案一

(1)選擇條件①④為已知條件.(1分)因為m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所以m=-1,0,1.(2分)因為對任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).(3分)當m=-1時,f(x)=x2,只滿足條件①,不滿足條件④;當m=1時,f(x)=x0=1(x≠0),既不滿足條件④,也不滿足條件①;當m=0時,f(x)=x3,條件①④都滿足.因此m=0,f(x)=x3.(6分)(2)由(1)知f(x)=x3在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增,所以0≤f(x)≤27,故當x∈[0,3]時,f(x)的值域為[0,27].(10分)答案答案二

(1)選擇條件①③為已知條件.(1分)因為m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所以m=-1,0,1.(2分)因為對任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).(3分)當m=-1時,f(x)=x2,條件①③都滿足;當m=1時,f(x)=x0=1(x≠0),只滿足條件③,不滿足條件①;當m=0時,f(x)=x3,只滿足條件①,不滿足條件③.因此m=-1,f(x)=x2.(6分)(2)由(1)知f(x)=x2在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增,所以0≤f(x)≤9,故當x∈[0,3]時,f(x)的值域為[0,9].(10分)(其余答案均不得分)18.(12分)[2019浙江嘉興一中高一月考]已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c.(1)若f(x)為偶函數(shù),且f(1)=0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值;(2)要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào),求實數(shù)b的取值范圍.答案

答案19.【解析】

(1)令x=-1,y=1,則f(0)-f(1)=-2,∴f(0)=-2.(3分)(2)令y=0,則f(x)-f(0)=x(x+1).(