2.1 命題、定理、定義【導(dǎo)學(xué)案教師版】

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第2章 常用邏輯用語第01講命題、定理、定義目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)1、理解命題的概念和分類．2、能判斷命題的真假，了解數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)定理之間的關(guān)系．3、了解命題的構(gòu)成形式，能將命題改寫為“若p，則q”的形式．1.真假命題的判斷2.理解并掌握命題的結(jié)構(gòu)知識(shí)精講知識(shí)精講一、命題的概念及分類1.命題的概念：在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以____________的______________叫做命題．2.命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以____________”和“___________”．我們學(xué)習(xí)過的定理、推論都是命題．3.分類命題二、命題的結(jié)構(gòu)1.命題的一般形式為“若p，則q”．其中p叫做命題的，q叫做命題的．2.確定命題的條件和結(jié)論時(shí)，常把命題改寫成“若p，則q”的形式．參考答案：一、1．判斷真假 陳述句2.判斷真假陳述句3.真假二、1.條件結(jié)論能力拓展能力拓展考法01命題的概念例1例1(1)是有理數(shù)；(2)；(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)若，則；(5)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)；(6)若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)．【解析】(1)“是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(2)因?yàn)闊o法判斷“”的真假，所以它不是命題．(3)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．(4)“若，則”是陳述句，并且它是真的，所以它是命題．(5)“一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(6)“若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．【名師指點(diǎn)】判斷一個(gè)語句是不是命題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)一般來說，陳述句才是命題，祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題．(2)語句表述的結(jié)構(gòu)可以判斷真假，含義模糊不清，無法判斷真假的語句不是命題．(3)對(duì)于含有變量的語句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷真假，若能，就是命題；否則就不是命題．【跟蹤訓(xùn)練】下列語句是命題的是()①三角形內(nèi)角和等于180°；②；③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④；⑤這里真熱鬧?。．①②③ B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤【答案】A【解析】依據(jù)命題定義，得①②③為命題．考法02命題真假的判斷例2（多選題）給定下列命題：例2A.若，則；B.命題“若a，b是無理數(shù)，則a＋b是無理數(shù)”是真命題；C.若，則；D.如果兩個(gè)角的兩邊互相平行，這兩個(gè)角一定相等．其中為真命題的是（）．【答案】AC【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，知A為真命題；而，故C為真命題．【名師指點(diǎn)】一個(gè)命題要么為真命題，要么為假命題，且必居其一．欲判斷一個(gè)命題為真命題，需進(jìn)行論證，而要判斷一個(gè)命題為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．【跟蹤訓(xùn)練】1.下列命題中假命題的個(gè)數(shù)為()①多邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)；②如果，那么或；③二次方程a2x2＋2x－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；④若，則.A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因?yàn)棣ぃ?＋4a2>0，故③正確，而①②④都錯(cuò)誤，均可舉出反例．2.（多選題）下列命題中為真命題的是()A．四邊形的內(nèi)角和是；B．若互為倒數(shù)，則；C．如果是有理數(shù)，則；D．菱形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形.【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由四邊形內(nèi)角和定理可知，命題為真；對(duì)于B，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積為1，所以命題為真；對(duì)于C，∵，∴，所以命題為真；對(duì)于D，菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)角線所在直線，所以命題為假.綜上所述，選ABC．考法03命題的結(jié)構(gòu)形式例3將下列命題寫成“若p，則q”例3(1)末位數(shù)是0或5的整數(shù)，能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．【解析】(1)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除．(2)若一個(gè)方程是x2－x＋1＝0，則它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．【名師指點(diǎn)】將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則【跟蹤訓(xùn)練】將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷其真假．(1)正n邊形(n≥3)的n個(gè)內(nèi)角全相等；(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；(3)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x－5時(shí)，y＝－3，x＝2.【解析】(1)若一個(gè)多邊形是正n邊形，則這個(gè)正n邊形的n個(gè)內(nèi)角全相等，是真命題．(2)若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)，是真命題．(3)已知x，y為正整數(shù)，若y＝x－5，則y＝－3，x＝2，是假命題．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若，則”是假命題的反例是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，若，滿足，且，符合題意；對(duì)于B，若，不滿足，不符合題意；對(duì)于C，若，不滿足，不符合題意；對(duì)于D，若，滿足，但，不是反例，不符合題意.故選：A.2．下列命題為真命題的是（）A．有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．面積之比為1：4的兩個(gè)相似三角形的周長之比是1：4D．在平面內(nèi)，順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，選項(xiàng)A中的一角不一定是對(duì)應(yīng)相等兩邊的夾角，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；面積之比為1：4的兩個(gè)相似三角形的周長之比是，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在平面內(nèi)，順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形，這個(gè)四邊形的對(duì)邊都等于原來四邊形與這組對(duì)邊相對(duì)的對(duì)角線的一半，并且和這條對(duì)角線平行，故得到的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.故選：D.3．下列命題中，是真命題的是（）A．任何實(shí)數(shù)都有平方根 B．存在有理數(shù)，使C． D．【答案】C【解析】A：負(fù)數(shù)沒有平方根，假命題；B：得，沒有有理數(shù)根，假命題；C：恒成立，真命題；D：不存在整數(shù)使，假命題；故選：C.4．下列語句為命題的是（）A． B．求證對(duì)頂角相等C．不是偶數(shù) D．今天心情真好啊【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，為不等式，不能判定真假，故不是命題；對(duì)于B選項(xiàng)，“求證對(duì)頂角相等”為操作命令；對(duì)于D選項(xiàng)，為感嘆句，不是命題.故選：C.5．已知下列命題：①若，則；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；③對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形，④如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等；⑤若，則，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【解析】①若，滿足，但，故①錯(cuò)誤；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，正確；③對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，④如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，正確；⑤若則，故錯(cuò)誤．故選：C．6．下列命題中正確的是（）①“若x2+y2≠0，則x，y不全為零”的否命題②“正多邊形都相似”的逆命題③“若m>0，則x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題④“若是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【解析】①否命題為“若x2+y2=0，則x，y全為零”為真命題.②逆命題為“相似多邊形都是正多邊形”為假命題.③逆否命題為“x2+x-m=0沒有實(shí)根，則m≤0”為真命題.④逆否命題為“x是不是無理數(shù)，則是不是有理數(shù)”為真命題.故選：B7．下列全稱量詞命題中假命題是（）A．每一個(gè)末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等C．對(duì)任意負(fù)數(shù)x，x的平方是正數(shù)D．梯形的對(duì)角線相等【答案】D【解析】每一個(gè)末位是0的整數(shù)都是10的倍數(shù)，而10是5的倍數(shù)，所以A項(xiàng)為真命題；根據(jù)線段垂直平分線的定義可知B項(xiàng)為真命題；負(fù)數(shù)的平方為正數(shù)，故C項(xiàng)為真命題；等腰梯形的對(duì)角線相等，故D項(xiàng)為假命題.故選：D8．下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A．空集沒有子集B．空集是任何集合的一個(gè)真子集C．空集的元素個(gè)數(shù)為0D．任何一個(gè)集合至少有兩個(gè)不同子集【答案】C【解析】空集的子集是它本身，故A錯(cuò)誤；空集是任何非空集合的一個(gè)真子集，故B錯(cuò)誤；空集的元素個(gè)數(shù)為0，故C正確；空集只有一個(gè)子集，是它本身，故D錯(cuò)誤.故選：C.題組B能力提升練1．下列語句能作為命題是（）A．3比5大 B．太陽和月亮 C．高二年級(jí)的學(xué)生 D．【答案】A【解析】根據(jù)命題定義：能判斷真假的陳述句，A正確，B、C不是陳述句，D不能判斷真假.故選：A.2．下列四個(gè)命題中，假命題的是（）A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；B．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；D．從直線外一點(diǎn)作直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是假命題；對(duì)于B，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題；對(duì)于C，兩條平行的直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原命題是假命題；對(duì)于D，從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段，垂線段的長度叫點(diǎn)到直線的距離，故原命題是假命題；故選：ACD.3．有下列命題，其中正確命題的是（）A．“若，則且”B．“矩形的對(duì)角線相等”C．“若，則的解集是R”D．“若是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”【答案】BD【解析】A中，有，假命題.B中，矩形的對(duì)角線相等，真命題.C中，有，顯然在時(shí)解集不為R，假命題.D中，若是無理數(shù)，則a是無理數(shù)，真命題.故選：BD4．將“兩個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)”改寫成“若，則”的形式為________．【答案】若兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù)．【解析】命題“兩個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)”的條件為“兩個(gè)奇數(shù)”，結(jié)論是“這兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)”，因此，原命題改寫為“若，則”的形式為“若兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù)”.故答案為：若兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù).5．如果，，那么，該命題的結(jié)論是_______．【答案】【解析】命題“如果，，那么”中的結(jié)論是：，故答案為：．6．若和或都是假命題，則的范圍是__________【答案】【解析】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是，胡答案為：7．如圖，現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①//，②，③，請(qǐng)你以其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)造命題．（1）你構(gòu)造的是哪幾個(gè)命題？（2）你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請(qǐng)給予證明;若是假命題，請(qǐng)舉出反例．【解析】（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①，所以可構(gòu)成三個(gè)命題.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以∥，所以，所以由①②得到③為真命題；因?yàn)椤?，所以，又因?yàn)?，所以∥，所以，所以，所以由①③得到②為真命題；因?yàn)?，所以∥，所以，又因?yàn)?，所以，所以∥，所以由②③得到①為真命題．8．判斷下列命題是真命題還是假命題，并說明理由．（1）一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角的差是銳角；（2）若，則是的平分線；（3）若是奇數(shù)，則是奇數(shù)．【解析】（1）假命題，例如一個(gè)鈍角是，一個(gè)銳角是，它們的差為，是鈍角，而不是一個(gè)銳角；（2）假命題，當(dāng)不在的內(nèi)部時(shí)，結(jié)論不成立；（3）真命題．證明：記均為自然數(shù)．令，，則均為奇數(shù)．．為偶數(shù)，為奇數(shù)，即為奇數(shù)，即若為奇數(shù)，則是奇數(shù)．題組C培優(yōu)拔尖練1．關(guān)于的方程，有下列四個(gè)命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；?。涸摲匠虄筛愄?hào)．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關(guān)于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號(hào)，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號(hào)，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根同號(hào)，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.2．下列說法正確的是（）A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“最高氣溫30℃時(shí)我就開空調(diào)”不是命題C．命題“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題【答案】D【解析】對(duì)于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若兩個(gè)角都是直角，則這兩個(gè)角相等”，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，所給語句是命題，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形，對(duì)角線相互垂直，但不是菱形，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，方程x2－4x＋a＝0無實(shí)根，則D正確；故選：D3．設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①；②；③；④.則假命題是______(填上所有假命題的序號(hào)).【答案】①②③【解析】對(duì)于①，由，可得，故①為假命題；對(duì)于②，由，可得，故②為假命題；對(duì)于③，由，可得，故③為假命題；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足；故④為真命題；故答案為：①②③.4．下列說法正確的是______.（填序號(hào)）①空集是任何集合的真子集；②函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)多個(gè)；④若，則.【答案】③④【解析】對(duì)于①，根據(jù)“空集是任何非空集合的真子集”，可知①錯(cuò)誤;對(duì)于②，函數(shù)平移可能改變函