2.1 命題、定理、定義【導(dǎo)學(xué)案教師版】

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第2章 常用邏輯用語第01講命題、定理、定義目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)1、理解命題的概念和分類．2、能判斷命題的真假，了解數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)定理之間的關(guān)系．3、了解命題的構(gòu)成形式，能將命題改寫為“若p，則q”的形式．1.真假命題的判斷2.理解并掌握命題的結(jié)構(gòu)知識精講知識精講一、命題的概念及分類1.命題的概念：在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以____________的______________叫做命題．2.命題定義中的兩個要點(diǎn)：“可以____________”和“___________”．我們學(xué)習(xí)過的定理、推論都是命題．3.分類命題二、命題的結(jié)構(gòu)1.命題的一般形式為“若p，則q”．其中p叫做命題的，q叫做命題的．2.確定命題的條件和結(jié)論時，常把命題改寫成“若p，則q”的形式．參考答案：一、1．判斷真假 陳述句2.判斷真假陳述句3.真假二、1.條件結(jié)論能力拓展能力拓展考法01命題的概念例1例1(1)是有理數(shù)；(2)；(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)若，則；(5)一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)；(6)若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)．【解析】(1)“是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(2)因?yàn)闊o法判斷“”的真假，所以它不是命題．(3)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．(4)“若，則”是陳述句，并且它是真的，所以它是命題．(5)“一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(6)“若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．【名師指點(diǎn)】判斷一個語句是不是命題的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)一般來說，陳述句才是命題，祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題．(2)語句表述的結(jié)構(gòu)可以判斷真假，含義模糊不清，無法判斷真假的語句不是命題．(3)對于含有變量的語句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷真假，若能，就是命題；否則就不是命題．【跟蹤訓(xùn)練】下列語句是命題的是()①三角形內(nèi)角和等于180°；②；③一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④；⑤這里真熱鬧啊！A．①②③ B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤【答案】A【解析】依據(jù)命題定義，得①②③為命題．考法02命題真假的判斷例2（多選題）給定下列命題：例2A.若，則；B.命題“若a，b是無理數(shù)，則a＋b是無理數(shù)”是真命題；C.若，則；D.如果兩個角的兩邊互相平行，這兩個角一定相等．其中為真命題的是（）．【答案】AC【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，知A為真命題；而，故C為真命題．【名師指點(diǎn)】一個命題要么為真命題，要么為假命題，且必居其一．欲判斷一個命題為真命題，需進(jìn)行論證，而要判斷一個命題為假命題，只需舉出一個反例即可．【跟蹤訓(xùn)練】1.下列命題中假命題的個數(shù)為()①多邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)；②如果，那么或；③二次方程a2x2＋2x－1＝0有兩個不相等的實(shí)根；④若，則.A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因?yàn)棣ぃ?＋4a2>0，故③正確，而①②④都錯誤，均可舉出反例．2.（多選題）下列命題中為真命題的是()A．四邊形的內(nèi)角和是；B．若互為倒數(shù)，則；C．如果是有理數(shù)，則；D．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形.【答案】ABC【解析】對于A，由四邊形內(nèi)角和定理可知，命題為真；對于B，互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為1，所以命題為真；對于C，∵，∴，所以命題為真；對于D，菱形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)，菱形也是軸對稱圖形，對稱軸是對角線所在直線，所以命題為假.綜上所述，選ABC．考法03命題的結(jié)構(gòu)形式例3將下列命題寫成“若p，則q”例3(1)末位數(shù)是0或5的整數(shù)，能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有兩個實(shí)數(shù)根．【解析】(1)若一個整數(shù)的末位數(shù)字是0或5，則這個數(shù)能被5整除．(2)若一個方程是x2－x＋1＝0，則它有兩個實(shí)數(shù)根．【名師指點(diǎn)】將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則【跟蹤訓(xùn)練】將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷其真假．(1)正n邊形(n≥3)的n個內(nèi)角全相等；(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；(3)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x－5時，y＝－3，x＝2.【解析】(1)若一個多邊形是正n邊形，則這個正n邊形的n個內(nèi)角全相等，是真命題．(2)若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個數(shù)的立方是負(fù)數(shù)，是真命題．(3)已知x，y為正整數(shù)，若y＝x－5，則y＝－3，x＝2，是假命題．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若，則”是假命題的反例是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，若，滿足，且，符合題意；對于B，若，不滿足，不符合題意；對于C，若，不滿足，不符合題意；對于D，若，滿足，但，不是反例，不符合題意.故選：A.2．下列命題為真命題的是（）A．有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C．面積之比為1：4的兩個相似三角形的周長之比是1：4D．在平面內(nèi)，順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，選項(xiàng)A中的一角不一定是對應(yīng)相等兩邊的夾角，故選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)?，所以，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B錯誤；面積之比為1：4的兩個相似三角形的周長之比是，故選項(xiàng)C錯誤；在平面內(nèi)，順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形，這個四邊形的對邊都等于原來四邊形與這組對邊相對的對角線的一半，并且和這條對角線平行，故得到的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.故選：D.3．下列命題中，是真命題的是（）A．任何實(shí)數(shù)都有平方根 B．存在有理數(shù)，使C． D．【答案】C【解析】A：負(fù)數(shù)沒有平方根，假命題；B：得，沒有有理數(shù)根，假命題；C：恒成立，真命題；D：不存在整數(shù)使，假命題；故選：C.4．下列語句為命題的是（）A． B．求證對頂角相等C．不是偶數(shù) D．今天心情真好啊【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，為不等式，不能判定真假，故不是命題；對于B選項(xiàng)，“求證對頂角相等”為操作命令；對于D選項(xiàng)，為感嘆句，不是命題.故選：C.5．已知下列命題：①若，則；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。虎蹖蔷€互相平分且相等的四邊形是菱形，④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等；⑤若，則，其中正確命題的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【解析】①若，滿足，但，故①錯誤；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，正確；③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故錯誤，④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，正確；⑤若則，故錯誤．故選：C．6．下列命題中正確的是（）①“若x2+y2≠0，則x，y不全為零”的否命題②“正多邊形都相似”的逆命題③“若m>0，則x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題④“若是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【解析】①否命題為“若x2+y2=0，則x，y全為零”為真命題.②逆命題為“相似多邊形都是正多邊形”為假命題.③逆否命題為“x2+x-m=0沒有實(shí)根，則m≤0”為真命題.④逆否命題為“x是不是無理數(shù)，則是不是有理數(shù)”為真命題.故選：B7．下列全稱量詞命題中假命題是（）A．每一個末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等C．對任意負(fù)數(shù)x，x的平方是正數(shù)D．梯形的對角線相等【答案】D【解析】每一個末位是0的整數(shù)都是10的倍數(shù)，而10是5的倍數(shù)，所以A項(xiàng)為真命題；根據(jù)線段垂直平分線的定義可知B項(xiàng)為真命題；負(fù)數(shù)的平方為正數(shù)，故C項(xiàng)為真命題；等腰梯形的對角線相等，故D項(xiàng)為假命題.故選：D8．下列四個命題中，正確的命題是（）A．空集沒有子集B．空集是任何集合的一個真子集C．空集的元素個數(shù)為0D．任何一個集合至少有兩個不同子集【答案】C【解析】空集的子集是它本身，故A錯誤；空集是任何非空集合的一個真子集，故B錯誤；空集的元素個數(shù)為0，故C正確；空集只有一個子集，是它本身，故D錯誤.故選：C.題組B能力提升練1．下列語句能作為命題是（）A．3比5大 B．太陽和月亮 C．高二年級的學(xué)生 D．【答案】A【解析】根據(jù)命題定義：能判斷真假的陳述句，A正確，B、C不是陳述句，D不能判斷真假.故選：A.2．下列四個命題中，假命題的是（）A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；B．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；D．從直線外一點(diǎn)作直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離．【答案】ACD【解析】對于A，在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是假命題；對于B，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題；對于C，兩條平行的直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原命題是假命題；對于D，從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段，垂線段的長度叫點(diǎn)到直線的距離，故原命題是假命題；故選：ACD.3．有下列命題，其中正確命題的是（）A．“若，則且”B．“矩形的對角線相等”C．“若，則的解集是R”D．“若是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”【答案】BD【解析】A中，有，假命題.B中，矩形的對角線相等，真命題.C中，有，顯然在時解集不為R，假命題.D中，若是無理數(shù)，則a是無理數(shù)，真命題.故選：BD4．將“兩個奇數(shù)的和是偶數(shù)”改寫成“若，則”的形式為________．【答案】若兩個數(shù)是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù)．【解析】命題“兩個奇數(shù)的和是偶數(shù)”的條件為“兩個奇數(shù)”，結(jié)論是“這兩個數(shù)的和是偶數(shù)”，因此，原命題改寫為“若，則”的形式為“若兩個數(shù)是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù)”.故答案為：若兩個數(shù)是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù).5．如果，，那么，該命題的結(jié)論是_______．【答案】【解析】命題“如果，，那么”中的結(jié)論是：，故答案為：．6．若和或都是假命題，則的范圍是__________【答案】【解析】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是，胡答案為：7．如圖，現(xiàn)有以下三個條件：①//，②，③，請你以其中兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)造命題．（1）你構(gòu)造的是哪幾個命題？（2）你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請給予證明;若是假命題，請舉出反例．【解析】（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①，所以可構(gòu)成三個命題.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以∥，所以，所以由①②得到③為真命題；因?yàn)椤?，所以，又因?yàn)椋浴?，所以，所以，所以由①③得到②為真命題；因?yàn)?，所以∥，所以，又因?yàn)椋?，所以∥，所以由②③得到①為真命題．8．判斷下列命題是真命題還是假命題，并說明理由．（1）一個鈍角與一個銳角的差是銳角；（2）若，則是的平分線；（3）若是奇數(shù)，則是奇數(shù)．【解析】（1）假命題，例如一個鈍角是，一個銳角是，它們的差為，是鈍角，而不是一個銳角；（2）假命題，當(dāng)不在的內(nèi)部時，結(jié)論不成立；（3）真命題．證明：記均為自然數(shù)．令，，則均為奇數(shù)．．為偶數(shù)，為奇數(shù)，即為奇數(shù)，即若為奇數(shù)，則是奇數(shù)．題組C培優(yōu)拔尖練1．關(guān)于的方程，有下列四個命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；丁：該方程兩根異號．如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關(guān)于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根同號，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.2．下列說法正確的是（）A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“最高氣溫30℃時我就開空調(diào)”不是命題C．命題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當(dāng)a>4時，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題【答案】D【解析】對于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若兩個角都是直角，則這兩個角相等”，則A錯誤；對于B，所給語句是命題，則B錯誤；對于C，邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形，對角線相互垂直，但不是菱形，則C錯誤；對于D，當(dāng)時，，方程x2－4x＋a＝0無實(shí)根，則D正確；故選：D3．設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)，給出以下四個命題：①；②；③；④.則假命題是______(填上所有假命題的序號).【答案】①②③【解析】對于①，由，可得，故①為假命題；對于②，由，可得，故②為假命題；對于③，由，可得，故③為假命題；對于④，當(dāng)時，，，此時滿足；當(dāng)時，，，此時滿足；故④為真命題；故答案為：①②③.4．下列說法正確的是______.（填序號）①空集是任何集合的真子集；②函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)多個；④若，則.【答案】③④【解析】對于①，根據(jù)“空集是任何非空集合的真子集”，可知①錯誤;對于②，函數(shù)平移可能改變函