3.1勾股定理（解析版）

3.1勾股定理【推本溯源】1.如圖，若將每個(gè)小正方形的面積看作1，以B′C′為邊的正方形的面積是9，以A′C′為邊的正方形的面積是16，那以A′B′的面積為多少呢？252.如圖一，使用的方法是？如圖二，使用的方法是？圖一的方法是拼補(bǔ)法；圖二是分割法。圖二圖一 圖一圖二圖一3.上圖求完后，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積關(guān)系是？?jī)蓚€(gè)小正方形的面積相加=大正方形的面積而由于正方形的面積公式為邊長(zhǎng)2，所以可以得出B′C′2+A′C′2=A′B′2。因此，直角三角形的斜邊、直角邊有如下關(guān)系：直角三角形兩個(gè)直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，這個(gè)定理稱為勾股定理。也稱為畢達(dá)哥拉斯定理。在古代我們把較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。因此有了勾三股四弦五的結(jié)論。幾何語(yǔ)言：∵∠C=90°∴a2+b2=c2注：在使用勾股定理的時(shí)候，可以靈活運(yùn)用公式，，，4.勾股定理的證明圖一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．證明：，所以．證明名稱：鄒元治證明圖二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．證明：，所以．證明名稱：趙爽弦圖圖三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．證明：，所以．證明名稱：1876年美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德證明圖四：如圖（4）所示證明：證▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出，由，得出同理可得，，所以AB2+BC2=AC2證明名稱：歐幾里得證明（（4）【解惑】例1：在中，，，的對(duì)邊分別是，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：，，的對(duì)邊分別是，，，，為斜邊，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，是一張直角三角形的紙片，，，，將沿折疊，使點(diǎn)點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊可知，在中根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，即，解出，即為的長(zhǎng)．【詳解】解：由折疊可知，∵在中，，，∴，設(shè)：，則，∵在中，，∴，解得，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊圖形的性質(zhì)和勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．例3：若直角三角形中，斜邊的長(zhǎng)為13，一條直角邊長(zhǎng)為5，則這個(gè)三角形的面積是（

）A．30 B．60 C． D．40【答案】A【分析】設(shè)另一直角邊為x，根據(jù)勾股定理求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)另一直角邊為x，∵斜邊的長(zhǎng)為13，一條直角邊長(zhǎng)為5，∴，∴．故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．例4：“趙爽弦圖”巧妙地利用而積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為．較短直角邊長(zhǎng)為，若，，則小正方形的面積是______________．【答案】1【分析】求出大正方形的邊長(zhǎng)，再減去4個(gè)三角形的面積即可．【詳解】解：由勾股定理可知大正方形的邊長(zhǎng)，大正方形的面積為25，∴小正方形的面積是，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．例5：勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中，求證：

證明：連接，過點(diǎn)D作邊上的高，則，∵，，∴∴．請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中．求證：．【答案】見解析【分析】連接，過點(diǎn)B作邊上的高，則，仿照已知材料中的方法，利用五邊形面積的不同表示方法解答即可．【詳解】

證明：連接，過點(diǎn)B作邊上的高，則．∵，又∵，∴，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，正確理解題意、得出五邊形面積的不同表示方法是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·貴州貴陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，分別以點(diǎn)，為圓心，，為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由作圖知，由勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積，即可求解．【詳解】解：由作圖知，∵，，，∴由勾股定理，，∴，∴在中由勾股定理得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，勾股定理，三角形的面積．掌握尺規(guī)作圖-經(jīng)過一點(diǎn)作線段的垂線，利用面積法求解是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┲苯侨切蔚膬蓷l直角邊分別為和，則斜邊中線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理列式求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】解：直角三角形的兩條直角邊分別為和，由勾股定理，斜邊，斜邊中線，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是5，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是a、，則的值為（）

A．16 B．9 C．4 D．3【答案】B【分析】由勾股定理得，由小正方形面積是1，得出，即可得出結(jié)果．【詳解】由題意可知：大正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積之和=所以故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．4.（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線l交于點(diǎn)D，連接．若，則的周長(zhǎng)為（

）

A．18 B．17 C． D．11【答案】B【分析】先利用勾股定理求出，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由此即可利用三角形周長(zhǎng)公式求出答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵斜邊的垂直平分線l交于點(diǎn)D，∴，∴的周長(zhǎng)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使點(diǎn)落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，折痕為，則的長(zhǎng)為_________．

【答案】【分析】勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊得到，利用即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，∵翻折，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面積分別為10，18，則正方形的面積是________．

【答案】28【分析】根據(jù)正方形的面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系，可知，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知，∴故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某醫(yī)院入口的正上方A處裝有紅外線激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高米的市民正對(duì)門緩慢走到離門米的感應(yīng)器地方時(shí)（即米），則人頭頂離測(cè)溫儀的距離等于________米．

【答案】1【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作，如圖所示，

∵，，，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：米，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長(zhǎng)度．8．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一張直角三角形紙片ABC中，，將它沿折痕折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則___________．

【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則．在中運(yùn)用勾股定理列方程，解方程即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時(shí)，設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．9．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，于．求：

(1)的長(zhǎng)和的面積；(2)的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)；利用三角形的面積公式可求出的面積；（2）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得即可．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，，．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．(1)在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為10的正方形．(2)把所作正方形分割成趙爽弦圖．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）畫出邊長(zhǎng)為的正方形即可；（2）根據(jù)趙爽弦圖畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，正方形即為所求；其中，，∴面積為；（2）如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，無(wú)理數(shù)，趙爽弦圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確識(shí)圖，能夠構(gòu)造邊長(zhǎng)為的正方形．11．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，．

(1)用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)若（1）中所作的垂直平分線交于點(diǎn)D，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）直接利用線段垂直平分線的作法得出答案；（2）設(shè)，再利用勾股定理列方程得出答案．【詳解】（1）如圖直線MN即為所求．

（2）∵垂直平分線段，∴，設(shè)，在中，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，勾股定理，正確運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．12．（2023春·湖南郴州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，求BC邊上的高AD的長(zhǎng)．

【答案】12【分析】為高，那么題中有兩個(gè)直角三角形．在這兩個(gè)直角三角形中，設(shè)為未知數(shù)，可利用勾股定理都表示出長(zhǎng)．求得長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)，則，在中，，在中，，∴，，解得，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵在于利用兩個(gè)直角三角形的公共邊找到突破點(diǎn)．主要利用了勾股定理進(jìn)行解答．【知不足】1．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，與按如圖方式拼接在一起，，，，則的值為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，根據(jù)勾股定理可求的值即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為和，斜邊為，那么．也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．（2023春·廣東潮州·九年級(jí)潮州市金山實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13，一條直角邊長(zhǎng)為12，則小正方形的面積的大小為（

）

A．144 B．100 C．49 D．25【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長(zhǎng)，易得小正方形的面積．【詳解】解：如圖，

根據(jù)勾股定理，得．所以．所以正方形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角邊的長(zhǎng)度．3．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）如圖，為修通鐵路需鑿?fù)ㄋ淼?，測(cè)得，，，，若每天開鑿隧道，則需要______天才能把隧道鑿?fù)ǎ?/p>

【答案】12【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理判斷是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，從而可以求得結(jié)果.【詳解】解：∵，，∴，∴是直角三角形，∵，，∴，∵天，∴12天才能將隧道鑿?fù)ǎ蚀鸢笧椋?2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是對(duì)文字的理解，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要具備的基本能力，因而此類問題在中考中極為常見，在各種題型中均有出現(xiàn)，需多加關(guān)注．4．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，，則______．

【答案】4.8【分析】利用長(zhǎng)方形的性質(zhì)得到，利用勾股定理計(jì)算出，利用面積法計(jì)算出即可．【詳解】解：∵四邊形長(zhǎng)方形，∴，在中，，∵，∴．故答案為：4.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等積法求直角三角形的高，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理求出．5．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，若厘米，厘米，則點(diǎn)D到直線的距離是______厘米．

【答案】9【分析】先根據(jù)已知條件得出的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線定理得點(diǎn)到直線的距離等于的長(zhǎng)度，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作于F，如圖，厘米，厘米，，厘米，由角平分線定理得：厘米，故點(diǎn)到直線的距離是9厘米；故答案為：9．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，在解題時(shí)要能靈活應(yīng)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵，難度適中．6．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線交于點(diǎn)D，則線段的長(zhǎng)為________．

【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉(zhuǎn)化成以為未知數(shù)的方程求出．【詳解】如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，由題意得：平分，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形面積，重點(diǎn)掌握勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·安徽六安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，與都是等腰直角三角形，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，，，根據(jù)等式的性質(zhì)得出，然后利用判斷出；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出，在中，由勾股定理得的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）證明：與都是等腰直角三角形，，，在和中，，；（2）解：，，，在中，由勾股定理得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出和的長(zhǎng)．9．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市檳榔中學(xué)?？计谥校┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵大正方形的面積，大正方形的面積，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由題意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）問題呈現(xiàn)：通過整式乘法的學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來(lái)說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以給予解釋的一個(gè)公式為___．問題解決：圖乙中的是一個(gè)直角三角形，，人們很早就發(fā)現(xiàn)將圖乙的直角三角形拼成圖丙的正方形，會(huì)發(fā)現(xiàn)并找到a、b、c一個(gè)確定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你找到這個(gè)關(guān)系，并說明理由．

拓展應(yīng)用：根據(jù)問題解決，下列幾何圖形中，可以正確的解釋“問題解決”中直角三角形三邊a、b、c這一關(guān)系的圖有___（先將圖序號(hào)填在橫線上，然后選一種序號(hào)圖說明理由）

【答案】問題呈現(xiàn)：；問題解決：；理由見解析；拓展應(yīng)用：①④⑤；理由見解析【分析】問題呈現(xiàn)：根據(jù)圖形中面積關(guān)系可以得出答案；問題解決：根據(jù)圖丙大正方形面積的兩種表示方法，可以得出答案；拓展應(yīng)用：根據(jù)圖中的面積關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)：根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式，圖甲中長(zhǎng)方形的面積可以表示為：，圖甲中長(zhǎng)方形的面積可以用大正方形的面積減去小正方形的面積，即，∴，∴利用圖甲可以解釋的一個(gè)公式為．故答案為：．

問題解決：a、b、c一個(gè)確定的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：圖丙中大正方形的邊長(zhǎng)為c，則面積可以表示為：，另外大正方形的面積可以用中間小正方形的面積加四周四個(gè)直角三角形的面積，即，∴；拓展應(yīng)用：①過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，如圖所示：

∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，同理可得：，∴，，∴，∴，即，故①符合題意；②大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，則面積為，另外，圖中兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為，，小正方形的邊長(zhǎng)為c，面積為，即大長(zhǎng)方形的面積可以表示為，∴，故②不符合題意；

③梯形的面積為，另外，圖中兩個(gè)直角三角形的面積分別為，，小正方形的邊長(zhǎng)為c，面積為，即圖中梯形的面積可以表示為，∴，故③不符合題意；

④中間小正方形的邊長(zhǎng)為c，面積為，另外，圖中大正方形的邊長(zhǎng)為，面積為，四個(gè)直角三角形的面積為，即中間小正方形的面積可以表示為：，∴，故④符合題意；

⑤圖中直角三角形的面積為，另外，圖中梯形的面積為，兩個(gè)直角三角形面積每個(gè)為，即圖中直角三角形面積可以表示為：，∴，即，故⑤符合題意；

綜上分析可知，可以正確的解釋“問題解決”中直角三角形三邊a、b、c這一關(guān)系的圖有①④⑤．故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的圖形證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，平方差公式的圖形證明，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形、梯形、正方形、長(zhǎng)方形的面積公式．【一覽眾山小】1.（2023春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為斜邊上的一點(diǎn)，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合．若，則的長(zhǎng)為（

）．A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理定理即可解答．【詳解】解：∵將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、、，過作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)圖形得出，再代入求出即可．【詳解】解：連接、、，過作于，于，∵點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，，，∴，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，能根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt中，的垂直平分線分別交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)等于（）

A．12 B．14 C．16 D．17【答案】D【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，即可將求的周長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為求與的和，再根據(jù)已知條件進(jìn)一步計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵垂直平分∴∵∴∴故答案是：D【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的周長(zhǎng)公式，其中利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．4.（2023春·廣東河源·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為____．

【答案】【分析】根據(jù)，可得，從而得到，找到的中點(diǎn)O，即可得到，即可得到當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)距離最小，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∴，如圖找到的中點(diǎn)O，

∴，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)距離最小，∵，，，∴，∴，∴，∴線段長(zhǎng)的最小值為：，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是得到，結(jié)合三點(diǎn)共線找到最小距離點(diǎn)．5．（2023春·新疆阿勒泰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10，腰的長(zhǎng)為13，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為______．

【答案】【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線，可知點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，連接，

∵是等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，∴，,∵∴∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，，∴，∴周長(zhǎng)的最小值故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱—最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題6．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市第九中學(xué)校考期中）如圖，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過點(diǎn)，則光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過路線長(zhǎng)是________．

【答案】15【分析】延長(zhǎng)交軸于．根據(jù)光的反射原理，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，．路徑長(zhǎng)就是的長(zhǎng)度．結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交軸于，

則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過路線長(zhǎng)為：，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）問題情境：把四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形拼成如圖的兩個(gè)正方形和，設(shè)每個(gè)直角三角形的面積為，小正方形的面積為，大正方形的面積為S．(1)嘗試解決：請(qǐng)你寫出、，S之間存在的關(guān)系；(2)根據(jù)三角形和正方形的面積公式，試用含a，b，c的關(guān)系式表示、和S；(3)合作探究：綜合（1），（2）可得一個(gè)等式，對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可以證明勾股定理，請(qǐng)你寫出這個(gè)等式，并寫出化簡(jiǎn)過程；(4)若，，你能求出的值嗎？試試看．【答案】(1)(2)，，(3)，化簡(jiǎn)過程見解析(4)的值為6【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和，可得得S、、的關(guān)系；（2）根據(jù)，，求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）得，化簡(jiǎn)即得答案；（4）把，代入求解即可．【詳解】（1）∵大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和，∴；（2），，；（3）由（1）（2）的關(guān)系式可得：，∴；（4）把，代入得，∴，∵，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，運(yùn)用整體思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，中，，，，以斜邊為底邊作等腰三角形，腰剛好滿足，并作腰上的高．

(1)求證：；(2)求等腰三角形的腰長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，可證，再根據(jù)證明可得結(jié)論；（2）由（1）得：，，設(shè)，在中由勾股定理得出方程求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）由（1）得：，，設(shè)，則，在中,由勾股定理得,，即，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)用含t的代數(shù)式表示①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，________．②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，________．(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)圖形求解即可；（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為直角時(shí)，②當(dāng)為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可．【詳解】（1）∵，，，∴．∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，∴．①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，．②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，．故答案為：①；②；（2）①當(dāng)為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，，即；②當(dāng)為直角時(shí)，，，在中，，在中，，即：，解得，故當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，以及分情況討論．10．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在四邊形中，是對(duì)角線，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若是等邊三角形，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)的度數(shù)為(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得到的度數(shù)為；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及勾股定理得到．【詳解】（1）解：∵將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，∴，即的度數(shù)為；（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．

(1)畫出線段關(guān)于直線對(duì)稱的線段；(2)將線段向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段，畫出線段；(3)描出線段上的點(diǎn)及直線上的點(diǎn)，使得直線垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找到關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，則線段即為所求；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；

（2）解：如圖所示，線段即為所求；

（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平