2.6 二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖像與性質(zhì)（A卷基礎(chǔ)鞏固） -2021-2022學年九年級數(shù)學下冊同步分層練習（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.6二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________A卷（基礎(chǔ)鞏固）一、選擇題1．（2021·福建上杭縣第三中學九年級月考）二次函數(shù)y=-2x2+4x+3的圖象的頂點坐標是（）A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，5） D．（-1，5）【答案】C【分析】先化成頂點式，然后直接得到頂點坐標即可．【詳解】解：∵y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x）+3＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣2（x﹣1）2+5，∴頂點坐標為（1，5）．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標，可以使用配方法將一般式化為頂點式求解，也可以利用頂點坐標公式進行求解．2．（2021·天津市南開田家炳中學九年級月考）已知二次函數(shù)，用配方法化為的形式，結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式．【詳解】解：y=-x2+2x-3=-（x2-2x+1）+1-3=-（x-1）2-2，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y=a（x-h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．3．（2021·合肥市九年級月考）對于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A．當時，隨的增大而增大B．當時，有最大值C．圖象的頂點坐標為D．圖象與軸有兩個交點【答案】B【分析】將一般式化為頂點式，然后根據(jù)性質(zhì)逐一判斷即可得到正確答案．【詳解】解：∵∴函數(shù)的對稱軸為，頂點坐標為∵∴函數(shù)圖象開口向下，在頂點處取到最大值，時，y隨x的增大而減?。粫r，y隨x的增大而增大又∵

∴一元二次方程沒有實數(shù)根，對應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸沒有交點∴選項、選項、選項錯誤故選：【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，牢記相關(guān)的知識點并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣西福綿九年級期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②當時，；③；④，其中正確的結(jié)論有()A．①② B．①③ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】該函數(shù)開口方向向上，則a＞0，由對稱軸可知，b＝?2a＜0，與y軸交點在y軸負半軸，則c＜0，再根據(jù)一些特殊點，比如x＝1，x＝?1，頂點等進行判斷即可．【詳解】解：函數(shù)開口方向向上，，對稱軸為直線，即，，拋物線與軸交點在軸負半軸，，，故①正確，由圖象可知，當時，，由函數(shù)的對稱性可知，時，，且當時，隨的增大而增大，故②錯誤，當時，，即，故③正確，，故④錯誤，綜上，正確的是①③，故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．5．（2021·重慶市九年級月考）根據(jù)流程圖中的程序，當輸出數(shù)值為時，輸入的數(shù)值為（）

A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：（1）x≥1時，（2）x＜1時，判斷出當輸出數(shù)值y為4時，輸入的x為多少即可；【詳解】解：（1）當x≥1，y=4時，有，解得：或x=-2（舍去）；（2）當x＜1，y=4時，有，解得：；故選擇：C【點睛】本題考查了已知函數(shù)值求自變量值，比較簡單，注意分兩種情況代入求解．6．（2021·遼寧臺安九年級月考）已知拋物線過，，三點，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：把三個點的橫坐標代入拋物線的解析式，分別求出對應(yīng)的值進行比較即可．方法二：根據(jù)函數(shù)開口向下，距離對稱軸越遠函數(shù)值越小即可比較．【詳解】解：方法一：當時，；當時，；當時，，∵，．故選：A．方法二：∵該函數(shù)的對稱軸為：，開口向下，∴距離對稱軸越遠函數(shù)值越小．∵，，到對稱軸的距離依次為：1,2,3；．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能夠?qū)D象的點的坐標代入對應(yīng)的函數(shù)解析式進行計算或理解二次函數(shù)開口向下，距離對稱軸越遠函數(shù)值越小是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北武漢九年級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a<0）與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，且-3<x1<-2，x1+x2＝-2，則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）①b2-4ac>0；②若點(-，y1)，(，y2)是該拋物線上的點，則y1<y2，③at2-a≤bt-b（t為任意數(shù)）；④若c＝2，則a＜-A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸x=-1求出2a與b的關(guān)系．【詳解】解：①∵拋物線開口向下，頂點在第二象限，∴拋物線與x軸有兩個交點，∴，故①正確；②∵x1+x2＝-2，∴拋物線的對稱軸為x=-1當時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等，當時，的值隨x的增大而減小，∵∴∴y1<y2，故②正確；③拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線∴若則則則∵，且∴，故③正確④∵則有∵∴則有整理得，∵∴a＜-，故④正確，綜上，①②③④正確，故選D【點睛】本題主要考查拋物線與x軸的交點坐標，二次函數(shù)圖象與函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．8．（2021·浙江溫州九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2經(jīng)過平移得到拋物線y=ax2+bx，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為，則a、b的值分別為（）A．， B．，﹣ C．，﹣ D．﹣，【答案】C【分析】設(shè)平移后所得新拋物線的對稱軸和兩拋物線相交于點A和點B，連接OA，OB，確定出拋物線y=ax2+bx的頂點坐標，然后求出點B的坐標，從而判斷出陰影部分的面積等于△AOB的面積，根據(jù)面積公式列式計算即可求解．【詳解】如下圖，設(shè)平移后所得新拋物線的對稱軸和兩拋物線相交于點A和點B，連接OA，OB，則由拋物線平移的性質(zhì)可知，a=，S陰影=S△OAB，∴，∴點A的坐標為，點B的坐標為，∴AB=，點O到AB的距離：，∴S△AOB=，解得：.綜上所述，.故答案為：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與平移變換，確定出陰影部分面積與三角形面積相等是關(guān)鍵．二、填空題9．（2020·吉林省第二實驗學校九年級月考）二次函數(shù)圖象的對稱軸是_________，頂點坐標是_________．【答案】直線x＝﹣1（﹣1，4）【分析】將拋物線解析式化為頂點式，即可得到拋物線的對稱軸和頂點坐標，本題得以解決．【詳解】解：∵，故二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1，頂點坐標是（﹣1，﹣4），故答案為：直線x＝﹣1，（﹣1，4）．【點睛】本題考查了配方法確定拋物線的對稱軸，頂點坐標，熟練進行配方是解題的關(guān)鍵．10．二次函數(shù)y＝x2—2x一2的圖象向右平移2個單位長度后，再向上平移5個單位長度，平移后的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為_______．【答案】y＝(x-4)2＋1【分析】先把拋物線化為頂點坐標式，再按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可求出平移后的函數(shù)表達式．【詳解】解：∵y＝x2－2x-2＝(x-2)2-4，把其圖象向右平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，得拋物線y＝(x-2-2)2-4＋5，即為y＝(x-4)2＋1．故答案為：y＝(x-4)2＋1．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，同時考查了學生將一般式轉(zhuǎn)化頂點式的能力，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．11．（2021·濟寧市第七中學九年級月考）將二次函數(shù)用配方法化成的形式為_______．【答案】【分析】利用配方法，加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可得答案．【詳解】==，故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y=a（x-h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．12．（2021·湖北新洲九年級月考）若拋物線的頂點在坐標軸上，則的值為_________．【答案】或【分析】當頂點在x軸上時，可知拋物線與x軸只有一個交點，由對應(yīng)一元二次方程的判別式為0可求得m的值，當頂點在y軸上時，可知一次項系數(shù)為0，可求得m的值．【詳解】解：解：當頂點在x軸上時，令y＝0可得方程，由則Δ＝0，即，解得：；當頂點在y軸上時，可知其對稱軸為y軸，則2m＝0，解得m＝0；綜上可知m的值為或，故答案為：或【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分頂點在x軸上和y軸上兩種情況，分別得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．13．（2021·杭州市九年級開學考試）設(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為_______________（用“”連接）【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，然后根據(jù)三個點離對稱軸的遠近判斷函數(shù)值的大?。驹斀狻拷猓?，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，而離直線的距離最遠，在直線上，．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．14．（2021·安慶市第四中學九年級月考）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a＋c＞0；④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3；⑤當x＜0時，y隨x增大而增大；其中結(jié)論正確有______．【答案】①②⑤【分析】利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），則可對②進行判斷；由對稱軸方程得到b＝﹣2a，然后根據(jù)x＝﹣1時函數(shù)值為0可得到3a+c＝0，則可對③進行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍可對④進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進行判斷．【詳解】解：∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，而點（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標為（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正確；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③錯誤；∵拋物線與x軸的兩點坐標為（﹣1，0），（3，0），∴當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，故④錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴當x＜1時，y隨x增大而增大，∴當x＜0時，y隨x增大而增大，故⑤正確；所以其中結(jié)論正確有①②⑤，故答案為：①②⑤．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左邊；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右邊；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．15．（2021·廣東東莞九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交y軸于點A，直線AB交x軸正半軸于點B，交拋物線的對稱軸于點C，若，則點C的坐標為________.【答案】【分析】由拋物線的解析式求出點A坐標和對稱軸，進而求得點B坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，把x=1代入求解即可解答．【詳解】解：由拋物線，可知，對稱軸為，，，，設(shè)直線AB的解析式為，，解得，直線AB為，當時，，所以點C的坐標為（1，）.故答案為：（1，）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，利用拋物線求出點A坐標和對稱軸是解答的關(guān)鍵．16．（2020·吉林省第二實驗學校九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，2），若拋物線y＝（x﹣h）2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CD＝AB，則k的值為______．【答案】1.5【分析】根據(jù)題意，可以得到點C的坐標和h的值，然后將點C的坐標代入拋物線的解析式，即可得到k的值，本題得以解決．【詳解】解：∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，2），∴AB＝4，∵拋物線y＝（x﹣h）2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CD＝AB，∴CD＝2，∴設(shè)點C的坐標為（c，2），則點D的坐標為（c+2，2），∴h＝＝c+1，∴拋物線y＝[x﹣（c+1）]2+k，把點C（c，2）代入得，2＝[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝1.5，故答案為1.5．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點C的坐標根據(jù)題意列出方程求解．三、解答題17．已知二次函數(shù)．（1）將其化成的形式；（2）寫出開口方向，對稱軸方程，頂點坐標；（3）求圖象與兩坐標軸的交點坐標；（4）畫出函數(shù)圖象；（5）說明其圖象與拋物線的關(guān)系；（6）當x取何值時，y隨x增大而減??；（7）x取何值時，；（8）當x取何值時，函數(shù)y有最值？并求出最值？（9）時，y的取值范圍；（10）求函數(shù)圖象與兩坐標軸交點所圍成的三角形面積．【答案】（1）；（2）開口向上，直線，頂點；（3）與x軸交點，與y軸交點；（4）見解析；（5）將拋物線向左平移1個單位，向下平移8個單位；得到的圖象；（6）；（7）當或時，；當或時，；當時，；（8）時，；（9）；（10）．【分析】（1）將函數(shù)表達式配方成頂點式形式即可；（2）由a值的正負可判斷開口方向，頂點式可得出對稱軸和頂點坐標；（3）分別讓x=0，y=0可分別求出圖像與y軸的交點坐標，和x軸的交點坐標；（4）可根據(jù)頂點坐標，圖像與x、y軸交點坐標，對稱軸方程畫出函數(shù)圖像的簡圖；（5）將拋物線y＝2x2先向左平移1個單位長度，再向下平移8個單位長度即可得到y(tǒng)＝2(x＋1)2－8；（6）根據(jù)函數(shù)圖像可判斷函數(shù)的增減性；（7）根據(jù)函數(shù)圖像可判x取何值時，；（8）根據(jù)函數(shù)圖像可得當x取何值時，函數(shù)y有最值，以及最值的結(jié)果；（9）根據(jù)圖像的開口方向及x的值離對稱軸的遠近即可求解；（10）根據(jù)圖像可求線段長度，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵===∴化成的形式為；（2）由可得：開口向上，對稱軸為直線x＝－1，頂點坐標為(－1，－8)；（3）由y=0得，，解得或，由x=0得：∴與x軸交點坐標為(－3，0)，(1，0)，與y軸交點坐標為(0，－6)；（4）由（1）（2）（3）可得函數(shù)簡圖如下：（5）將拋物線先向左平移1個單位，可得的圖象，然后再向下平移8個單位得到的圖像；（6）由圖像可得：當時，y隨x增大而減??；（7）由圖像可得：當或時，，當或時，，當時，；（8）由圖像可得：當時，函數(shù)有最小值，且最小值為；（9）∵，∴當時取得最小值為，當時離對稱軸最遠，此時，∴y的取值范圍為；（10）由圖可得，三角形底的長度為，高的長度為6，∴三角形的面積為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想．18．（2021·上杭縣第三中學九年級月考）如圖，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，點是該拋物線的頂點，連接，．（1）求的面積；（2）點是拋物線上的一動點，若的面積是面積的，求點的坐標．【答案】（1）8；（2），、，、，、，【分析】（1）先將二次函數(shù)解析式化為頂點式，由此可得頂點D的坐標，再根據(jù)A、B兩點坐標求得AB的長，由此即可求得的面積；（2）利用的面積得出的面積，進而求出點縱坐標，由此即可求得點P的坐標．【詳解】解：（1）∵，∴頂點，點，點，，；（2）的面積是面積的，，，，解得：，點縱坐標為2或，當點縱坐標為2時，則，解得：，，此時點坐標為：，或，，當點縱坐標為時，則，解得：，，此時點坐標為：，或，，綜上所述：點的坐標為，、，、，、，．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形面積求法等知識，注意運用分類討論思想是解題關(guān)鍵．19．（2021·安徽淮北九年級月考）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點、，二次函數(shù)的圖象過、兩點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）已知點在對稱軸上，且點位于軸上方，連接，若，求點的坐標．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點、的坐標，然后運用待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式得出對稱軸，根據(jù)題意運用勾股定理求出的長度，過點作軸于，運用勾股定理求出的長度，即可得出點的坐標．【詳解】解：（1）在中，令得，令得，，二次函數(shù)的圖象過、兩點，，解得二次函數(shù)的表達式為；（2）由（1）得，拋物線的對稱軸是直線由勾股定理得，過點作軸于，如圖，則，點的坐標是．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，勾股定理等知識點，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想解題時關(guān)鍵．20．（2021·浙江溫州九年級月考）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）當0＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍；（3）點P為拋物線上一點，若S△PAB＝10，求出此時點P的坐標．【答案】（1），頂點坐標為；（2）；（3）或【分析】（1）將A與B的坐標代入拋物線的解析式即可求出b與c的值，（2）根據(jù)圖象即可求出y的取值范圍，（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，AB=4,由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，從而可求出P的坐標．【詳解】（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入y＝﹣x2+bx+c解得，拋物線的解析式為：，，頂點坐標為，（2）的拋物線的對稱軸為，開口向下，如圖，0＜x＜3時，，（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，A（﹣1，0），B（3，0），，，解得，當時，，此時方程無解，當時，，解得，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解方程，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2021·上海市復旦初級中學九年級月考）在平面直角坐標系中，已知拋物線（）的圖像經(jīng)過點、，設(shè)它與軸的另一個交點為（點在點的左側(cè)），且的面積是．（1）求該拋物線的表達式和頂點坐標；（2）求的度數(shù)；（3）若拋物線與軸相交于點，直線交軸于點，點在線段上，當與相似時，求的長．【答案】（1），頂點坐標為；（2）；（3）【分析】（1）先根據(jù)的面積求出點A的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點D作軸于點F，根據(jù)的坐標求出，進而可求得；（3）先根據(jù)的坐標求得直線的解析式，進而求得的坐標，進而求得的長，根據(jù)題意分，兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，進而即可求解．【詳解】（1）設(shè)，AB邊上的高為3則由的面積是3可得：解得設(shè)拋物線解析式為將代入得：，解得頂點坐標為故該拋物線的表達式為，頂點坐標為；（2）如圖，過點D