19.5.1 角的平分線 同步練習(xí)

19.5角的平分線（第1課時(shí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高線交點(diǎn) C．三邊垂直平分線交點(diǎn) D．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)2．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）三角形中，到三邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條高線所在直線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)3．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點(diǎn)B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn)D．三條高所在直線的交點(diǎn)4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，若PR＝PS，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC（4）∠C＝∠SPCA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)開學(xué)考試）下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．對(duì)頂角相等C．在一個(gè)三角形中，相等的角所對(duì)的邊也相等D．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF＝DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題8．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=84°，三條角平分線交于點(diǎn)O，D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，則∠BCA的度數(shù)為____________．9．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD=8，則BC的長為_____________．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的_____．11．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周長為__．12．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點(diǎn)E，，，則的面積等于___________．13．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則有___________；反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．14．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是的角平分線上的點(diǎn)，，如果，那么點(diǎn)到的距離是_______．三、解答題15．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，平分，且，求證：為等腰三角形.16．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，，、分別平分、，、交于點(diǎn)．求證：．17．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知：、相交于，、分別平分、．求證：．18．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP．（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）過點(diǎn)C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點(diǎn)D．求證：CE=ED．19．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）尺規(guī)作圖．如圖，已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【能力提升】一、單選題1．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BM是∠ABC的平分線，點(diǎn)D是BM上一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△ABD的面積為9，AB＝6，則線段DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5.52．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）下列命題中，是假命題的是（

）A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；B．每個(gè)命題都有逆命題；C．每個(gè)定理都有逆定理；D．在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．3．（2020·上海市金山區(qū)教育局八年級(jí)期末）已知△ABC內(nèi)一點(diǎn)M，如果點(diǎn)M到兩邊AB、BC的距離相等，那么點(diǎn)M(

)A．在AC邊的高上 B．在AC邊的中線上C．在∠ABC的平分線上 D．在AC邊的垂直平分線上4．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，為的外角平分線上一點(diǎn)，過作于，交的延長線于，且滿足，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題5．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是ABC的角平分線，若ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點(diǎn)D到AB的距離是______．6．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，在中，，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)E．則______．7．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝_____．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，且BC=8，BD=5，那么點(diǎn)D到AB的距離是_____三、解答題9．（2019·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求證：2AE=AB+AD．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=10．(1)用尺規(guī)在AB邊上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠ACB兩邊的距離相等；（不要求寫出作法和證明，但要求保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）(2)如果△ACP的面積為15，那么△BCP的面積是多少．11．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點(diǎn)，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點(diǎn)為F，求證：BF＝2AD．12．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，垂足為點(diǎn)D，AE=4cm，求TD的長．13．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.求證：AB=AC+CD．14．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知，如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).（1）求證：AB=AD＋BC（2）求證：AE⊥BE

15．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．

（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______．

19.5角的平分線（第1課時(shí)）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高線交點(diǎn) C．三邊垂直平分線交點(diǎn) D．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可求解．【詳解】解：在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）三角形中，到三邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條高線所在直線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】利用角平分線的性質(zhì)可確定三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)滿足的條件．【詳解】解：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點(diǎn)B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn)D．三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)題意，想到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以要選角平分線的交點(diǎn)．【詳解】∵要使涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭應(yīng)在三條角平分線的交點(diǎn)處．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，需要注意區(qū)分三角形中線的交點(diǎn)、高的交點(diǎn)、垂直平分線的交點(diǎn)以及角平分線的交點(diǎn)之間的區(qū)別．4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，若PR＝PS，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC（4）∠C＝∠SPCA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，從而判斷出（2）正確；根據(jù)由一組邊相等和一組角相等無法判斷△BRP≌△PSC，從而判斷出（3）錯(cuò)誤；同（3）也無法判斷△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，從而判斷出（1）錯(cuò)誤；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C與∠SPC不一定相等，從而判斷出（4）錯(cuò)誤.【詳解】連接AP，∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴點(diǎn)P在∠A的平分線上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），∴AR＝AS，∴（2）正確；∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，∴無法判斷△BRP≌△PSC，故（3）錯(cuò)誤；∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，無法判斷△BRP≌△PSQ，∴PQ≠PB，故（1）錯(cuò)誤；∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，∴∠C與∠SPC不一定相等，故（4）錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì).5．（2022·上海·八年級(jí)開學(xué)考試）下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．對(duì)頂角相等C．在一個(gè)三角形中，相等的角所對(duì)的邊也相等D．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上【答案】B【分析】根據(jù)平行線、對(duì)頂角、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的逆命題是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，逆命題是真命題，不符合題意；B、對(duì)頂角相等的逆命題是相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，逆命題是假命題，符合題意；C、在一個(gè)三角形中，相等的角所對(duì)的邊也相等的逆命題是在一個(gè)三角形中，相等的邊所對(duì)的角也相等，逆命題是真命題，不符合題意；D、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上的逆命題是角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，逆命題是真命題，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線、對(duì)頂角、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理，真假命題，命題的逆定理，熟練掌握平行線、對(duì)頂角、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理，真假命題，命題的逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF＝DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°【答案】C【分析】如圖，證明∠DFB=∠DEB，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出∠DEB=130°，即可解決問題．【詳解】過點(diǎn)作，如圖，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，，，△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=40°，∴∠DEB=180°?40°=140°；∴∠DFB=140°；當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)F′處時(shí)，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=40°.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【詳解】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．二、填空題8．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=84°，三條角平分線交于點(diǎn)O，D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，則∠BCA的度數(shù)為____________．【答案】54°【分析】由角平分線的定義得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，邊角邊證明△BCO≌△DCO，其性質(zhì)求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理求得∠BCA的度數(shù)為54°．【詳解】解：∵AO、BO、CO是△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線，∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，在△BCO和△DCO中，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO＝∠D，又∵∠BAC＝84°，∴∠CAO＝∠BAC＝×84°＝42°，又∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，又∵∠CAO＝∠D＋∠AOD，∴∠D＝∠CAO＝×42°＝21°，∴∠CBO＝21°，∴∠CBA＝42°，又∵∠BAC＋∠ABC＋∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°?84°?42°＝54°，故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．9．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD=8，則BC的長為_____________．【答案】16【分析】延長AB交CD的延長線于點(diǎn)E，由題意易得CD=DE，進(jìn)而可證CE=CB，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：延長AB交CD的延長線于點(diǎn)E，如圖所示：∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴∠E=∠ACD，ED=DC，又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠E=∠ACD=∠EBC，∴BC=EC=2DC，∵DC=8，∴BC=EC=16；故答案為16．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的_____．【答案】角平分線【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的角平分線，故答案為：角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．11．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周長為__．【答案】9【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，進(jìn)而可知∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，由等角對(duì)等邊得EO＝BE，OF＝FC，然后計(jì)算三角形的周長即可．【詳解】解：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝BE，OF＝FC，∴的周長為，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊．解題的關(guān)鍵在于明確EO＝BE，OF＝FC．12．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點(diǎn)E，，，則的面積等于___________．【答案】5【分析】過作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可求得，則可求得的面積．【詳解】解：過作于點(diǎn)，是邊上的高，平分，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則有___________；反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．【答案】

PM=PN

PM⊥OA，PN⊥OB【分析】依據(jù)角平分線的定理和逆定理可知．【詳解】解：OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，反之PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，OP平分∠AOB故答案為：PM=PN；PM⊥OA，PN⊥OB【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)及其逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是的角平分線上的點(diǎn)，，如果，那么點(diǎn)到的距離是_______．【答案】5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】解析：依據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等這個(gè)定理就可知那么點(diǎn)到的距離是5；故答案是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平分，且，求證：為等腰三角形.【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，即可得證.【詳解】∵平分，∴，∵∴，．∴．∴為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.16．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，，、分別平分、，、交于點(diǎn)．求證：．【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，，即可得證.【詳解】∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵、分別是平分、，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.17．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知：、相交于，、分別平分、．求證：．【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，，然后根據(jù)平角的性質(zhì)列出等式，即可得證.【詳解】∵平分，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握，即可解題.18．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP．（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）過點(diǎn)C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點(diǎn)D．求證：CE=ED．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PQ=PS=PT，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)ASA求出△AED≌△AEC即可．【詳解】解：證明：（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如圖，∵在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中，，∴△AED≌△AEC（ASA），∴CE=ED．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線并進(jìn)一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．19．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）尺規(guī)作圖．如圖，已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【答案】作圖詳見解析.【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足PC=PD所以點(diǎn)P在線段CD的垂直平分線上，又P到∠AOB兩邊的距離相等，所以點(diǎn)P在∠AOB或∠AOB補(bǔ)角的角平分線上.【詳解】解：根據(jù)題意作圖，得其中，點(diǎn)P和點(diǎn)P’即為所求【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，BM是∠ABC的平分線，點(diǎn)D是BM上一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△ABD的面積為9，AB＝6，則線段DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5.5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的面積得出DE的長，進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面積為9，AB=6，∴DE=＝3，∵BM是∠ABC的平分線，∴DE=3，∴DP≥3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與三角形的面積計(jì)算公式．作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·上海·八年級(jí)期末）下列命題中，是假命題的是（

）A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；B．每個(gè)命題都有逆命題；C．每個(gè)定理都有逆定理；D．在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定，命題與定理及角平分線的判定等知識(shí)一一判斷即可．【詳解】解：A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，符合兩三角形的判定定理“SAS”；故本選項(xiàng)是正確；B、每個(gè)命題都有逆命題，所以B選項(xiàng)正確；C、每個(gè)定理不一定有逆定理，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上，正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，命題與定理以及角平分線的判定方法，熟練利用這些判定定理是解題關(guān)鍵．3．（2020·上海市金山區(qū)教育局八年級(jí)期末）已知△ABC內(nèi)一點(diǎn)M，如果點(diǎn)M到兩邊AB、BC的距離相等，那么點(diǎn)M(

)A．在AC邊的高上 B．在AC邊的中線上C．在∠ABC的平分線上 D．在AC邊的垂直平分線上【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)推出M在∠ABC的角平分線上，即可得到答案．【詳解】∵由角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等的性質(zhì)，∴點(diǎn)M應(yīng)在∠ABC的平分線上．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)角平分線的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，為的外角平分線上一點(diǎn)，過作于，交的延長線于，且滿足，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再證明，即可證明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=BF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；∠FDE與∠BAC都與∠FAE互補(bǔ)，可得∠FDE=∠BAC，于是可證；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可證明∠DAF=∠CBD．【詳解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，=∵，∴，在Rt△CDE和Rt△BDF中，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正確；∴CE=BF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正確；∵=，∴∠EDF+∠FAE=，∵∠BAC+∠FAE=，∴∠FDE=∠BAC，∵∠FDE=∠BDC，∴∠BDC=∠BAC，故③正確；∵∠FAE是△ABC的外角，∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC，∴∠DAF=∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于需要二次證明三角形全等．二、填空題5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，AD是ABC的角平分線，若ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點(diǎn)D到AB的距離是______．【答案】4【分析】過點(diǎn)作于，于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式得到，然后求出即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，于，如圖，是的角平分線，，，，即，，即點(diǎn)到的距離為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，也考查了三角形面積．6．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，在中，，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)E．則______．【答案】26°##26度【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作三邊的垂線段，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而判定是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作三邊的垂線段，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)E在的角平分線上，即是的角平分線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明是的角平分線是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝_____．【答案】【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝1，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，且BC=8，BD=5，那么點(diǎn)D到AB的距離是_____【答案】3【分析】作DE⊥AB于E點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得DE=CD，即可求解．【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于E點(diǎn)．∵∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3．即點(diǎn)D到AB的距離等于3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，正確證得DE=CD以及找到點(diǎn)D到AB的距離是關(guān)鍵．三、解答題9．（2019·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求證：2AE=AB+AD．【答案】見解析【分析】過C作CF⊥AD于F，由條件可證△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由條件∠ADC+∠CBE=180°，證△CDF≌△CEB，由全等的性質(zhì)可得DF=EB，再由線段和差可得.【詳解】證明：過C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=∠CEA=90°，∵AC=AC∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°∴∠FDC=∠CBE，∴△FDC≌△EBC，∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，∴2AE=AB+AD.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，利用全等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=10．(1)用尺規(guī)在AB邊上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠ACB兩邊的距離相等；（不要求寫出作法和證明，但要求保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）(2)如果△ACP的面積為15，那么△BCP的面積是多少．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）作∠ACB的角平分線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（2）如圖：過點(diǎn)P作PE⊥CA延長線于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，然后證得，最后代入計(jì)算即可．（1）解：如圖：點(diǎn)P即為所求；（2）解：如圖：過點(diǎn)P作PE⊥CA延長線于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F∵CP平分∠ACB，∴PE=PF，∴∵=15∴∴=25．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)．11．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點(diǎn)，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點(diǎn)為F，求證：BF＝2AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，可證；（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得．（1）解：證明：為中點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，，，；（2）解：延長，交于點(diǎn)，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．12．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，垂足為點(diǎn)D，AE=4cm，求TD的長．【答案】（1）見解析；（2）2cm【分析】（1）根據(jù)角平分線可得∠EAT=∠TAD，利用平行可得∠TAD=∠ETA，再利用等量代換即可得到∠EAT=∠ETA，進(jìn)而證得是等腰三角形．（2）AT平分BAC，依據(jù)角平分線定理可得DT=TF在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，則TF=2cm，則TD=2cm．【詳解】解：（1）∵AT平分BAC．∴∠EAT=∠TAD．∵TE∥AC．∴∠TAD=∠ETA．∴∠EAT=∠ETA．∴是等腰三角形．（2）過點(diǎn)T作TFAB，垂足點(diǎn)F，∵AT平分BAC，TFAB，．∴據(jù)角平分線定理可得DT=TF．∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，則TF=2cm，∴TD=2cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，如何利用角平分線性質(zhì)作出輔助線是解決此問題的關(guān)鍵．13．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.求證：AB=AC+CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，可證明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和等量代換即可證明AB=AC+CD．【詳解】證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90