重難點(diǎn)29 圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)29圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形面積問題】 2【題型2四邊形面積問題】 2【題型3三角形面積之比問題】 4【題型4三角形面積之和、之差問題】 5【題型5已知面積求其他量】 7【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】 81、圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題考查熱度較高，考查形式多種多樣，主要考查三角形、四邊形的面積及其最值（范圍）問題、面積之比問題、已知面積求其他量等問題，各種題型都有考查，在解答題中，計(jì)算量大，難度較高；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的面積問題及其解題策略】1．三角形面積問題的解題策略(1)利用三角形面積公式求解：①(一般選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線的距離為高)；②.2．四邊形面積問題的解題策略面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積問題通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形.3．三角形面積之比問題的解題策略(1)三角形面積公式：利用三角形面積公式分別求出各個(gè)三角形的面積，再研究它們之間的比值問題.(2)面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：尋找這些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化.4．圓錐曲線中面積的最值（范圍）問題的解題策略一般都是利用三角形面積公式表示面積，然后將面積的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值(常用方法有：?jiǎn)握{(diào)性法、換元法、基本不等式、三角函數(shù)求最值、利用導(dǎo)數(shù)求最值等)，在計(jì)算面積的過程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活求解，簡(jiǎn)化計(jì)算.【題型1三角形面積問題】【例1】（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M,N，若△AFM和△BFN的面積分別為8和4，則△MFN的面積為（

）A．32 B．16 C．82 【變式1-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知點(diǎn)A為雙曲線x24?y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的左支上，若A．4 B．89 C．169 【變式1-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，離心率為35，左?右焦點(diǎn)為FA．6433 B．643 C．128【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A為橢圓M：x24+y23=1的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓M的左，右焦點(diǎn)，∠A．12 B．22 C．1 【題型2四邊形面積問題】【例2】（2024·貴州畢節(jié)·二模）在橢圓C:x24+y22=1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，(1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)若曲線E與x，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)N是E上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段AN與y軸交于點(diǎn)H，線段BN與x軸交于點(diǎn)G，求四邊形ABGH的面積.【變式2-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l1:x=my+n1與直線l2:x=my+n2，分別與拋物線T:y2=2px(p>0)交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段AC與BD交于點(diǎn)H，線段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N①求證：M，H，N三點(diǎn)共線；②若2HM=HN【變式2-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)已知A,B,C為橢圓上三個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OABC為矩形，求四邊形OABC的面積.【變式2-3】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)B4,3是雙曲線T:x2a2?y2(1)求雙曲線T的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過A且斜率非負(fù)的直線與T的左?右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P（當(dāng)N位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為N與P重合）.C為圓E:(x?1)2+(y+2)2【題型3三角形面積之比問題】【例3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知F1?c,0,F2c,0分別是橢圓C1:x2a(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)△PF1F2和△QF【變式3-1】（2024·四川南充·二模）如圖，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線x2=4y上，且A，B在第一象限，AC//x軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且

(1)設(shè)直線CB,CD的斜率分別為k和k′，求k+(2)P為AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)△BCD的面積為S1，△PAD的面積為S2，若tan∠BCA=2【變式3-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Gx,y到點(diǎn)F1,0的距離與它到直線l:x=4的距離之比為12，記點(diǎn)G(1)求C的方程；(2)A為C與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，B為直線x=1與C在第一象限的交點(diǎn)，直線l′過點(diǎn)?2,3，且與C相交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作垂直于x軸的直線分別與直線AB,AM相交于點(diǎn)P,Q，分別記△ANQ與△APQ的面積為S1與S2【變式3-3】（2024·新疆·三模）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過拋物線C2：y2=2ax焦點(diǎn)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，MN的最小值為4.連接MO，NO并延長(zhǎng)分別交C1于A，(1)求C1和C(2)記λ=S△OMNS【題型4三角形面積之和、之差問題】【例4】（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線C:y2=2px(0<p<3)，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Qm,23(1)求拋物線C的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，（i）求證直線AB過定點(diǎn)；（ii）求△AFO與△ABO面積之和的最小值．【變式4-1】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓Γ:x22+y2=1的左，右焦點(diǎn)外別為F1,F

(1)求△PF(2)求△PF(3)求S△P【變式4-2】（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，Mm,?3(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)P4,0且斜率存在的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B，且點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，直線AD與x軸交于點(diǎn)Q（i）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（ii）求△OAQ與△OAB的面積之和的最小值.【變式4-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線l:x=4的距離之比是常數(shù)12，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)N(?1,0)的直線與曲線C相交于點(diǎn)A，B(不在x軸上)，記線段AF的中點(diǎn)為P，連接PO，并延長(zhǎng)PO交曲線C于點(diǎn)D，求△FPN與△BND的面積之和的取值范圍.【題型5已知面積求其他量】【例5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為2A．42 B．82 C．6【變式5-1】（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與EA．2332 B．2333 【變式5-2】（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)P2,?(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)Q0,2的直線l與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，△OEF的面積為22，求直線【變式5-3】（2024·廣東茂名·一模）已知拋物線C:y2=2pxp>0，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P,Q其為準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PF⊥QF.當(dāng)(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段PF,QF分別交拋物線C于點(diǎn)A,B，記△PQF的面積為S1，△ABF的面積為S2，當(dāng)S1【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】【例6】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y2=1a>1的離心率為255，橢圓C的動(dòng)弦AB過橢圓C的右焦點(diǎn)F，當(dāng)AB垂直(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若直線AB的斜率為1m，過點(diǎn)M作x軸的垂線l，點(diǎn)N為l上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為?m2，直線NF與橢圓C交于P，Q【變式6-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2+4y2=2上一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，斜率存在的直線l交橢圓C于A，(1)求OD；(2)若點(diǎn)D在第一象限，探究△ABO的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由.【變式6-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,P為雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，Q為直線x=95上一點(diǎn)，且AP//OQ，過點(diǎn)Q作QN⊥OM于點(diǎn)N，求【變式6-3】（2024·江蘇南通·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交C于A,B兩點(diǎn)，C在A,B兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)P,AB的中點(diǎn)為Q，且PQ交C于點(diǎn)E．當(dāng)l(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求QE；(3)設(shè)C在點(diǎn)E處的切線與PA,PB分別交于點(diǎn)M,N，求四邊形ABNM面積的最小值．一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C:x236+y225=1上一點(diǎn),F1,FA．167 B．537 C．122．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)F1?2,0,F22,0為等軸雙曲線C的焦點(diǎn)，過F2作x軸的垂線與CA．22 B．4 C．423．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=6x，過動(dòng)點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B，則△PABA．6 B．9 C．12 D．184．（2024·江西九江·三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且傾斜角為π6的直線交A．x23+C．x29+5．（2024·遼寧·一模）已知雙曲線C:y23?x2=1的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于AA．3 B．?3 C．103 D．6．（2024·廣東廣州·一模）雙曲線C:x2?y2=4的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2作垂直于xA．62?8 B．62?4 C．7．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線l1,l2分別與拋物線C交于點(diǎn)A,B和D,EA．64 B．32 C．16 D．88．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′、B′線段A′B′中點(diǎn)為E，四邊形AA′A．3?22 B．3?2 C．3+2二、多選題9．（2024·云南·二模）已知點(diǎn)P為雙曲線E:x24?y23=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M、A．∠MPN=2π3C．PM?PN=10．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知A?2,0，B2,0，C1,0，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為?34，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡記為Γ，過點(diǎn)C的直線交Γ于P，Q兩點(diǎn)，且P，QA．M的軌跡方程為xB．MC的最小值為1C．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OPQ面積的最大值為3D．若線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍11．（2024·廣東·二模）拋物線τ：x2=2pyp>0焦點(diǎn)為F，且過點(diǎn)A4,4，斜率互為相反數(shù)的直線AC，AD分別交τ于另一點(diǎn)C和A．直線CD過定點(diǎn)B．τ在C，D兩點(diǎn)處的切線斜率和為?4C．τ上存在無窮多個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)F和直線y=5的距離和為6D．當(dāng)C，D都在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，△ACD面積的最大值為256三、填空題12．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為2，則p=13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓M:x22+y2=1，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓M相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為k1、k214．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線C:x23?y2=1的右焦點(diǎn)F的直線與C的右支交于A,B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，線段OM的中點(diǎn)與線段AB四、解答題15．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x24+y2=1的左右頂點(diǎn)分別為A，B，過D65,0的直線與橢圓C交于E(1)求證：點(diǎn)P在定直線上；(2)線段EF的中點(diǎn)為M，求△OMP面積的最大值．16．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a(1)求C的方程；(2)若直線l:y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為26，求k17．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為(1)若C的離心率為2，求證：對(duì)于給定的a或b，以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上一定