第08講 直線和圓、圓錐曲線（2022-2024高考真題）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第08講直線和圓、圓錐曲線（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項選擇題1．（2024·北京·高考真題）圓x2+y2?A．2 B．2 C．3 D．3【解題思路】求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.【解答過程】由題意得x2+y則其圓心坐標(biāo)為1,?3，則圓心到直線x?y+2=0的距離為1??3故選：D.2．（2024·全國·高考真題）已知直線ax+by?a+2b=0與圓C：x2+y2+4y?1A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點P1,?2，從而可得當(dāng)PC⊥AB時，AB【解答過程】因為直線ax+by?a+2b=0，即ax?1+by+2則x=1,y=?2，所以直線過定點1,?2，設(shè)P1,?2將圓C：x2所以圓心C0,?2，半徑r=5當(dāng)PC⊥AB時，AB的最小，此時AB=2故選：C.3．（2024·全國·高考真題）已知b是a,c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y?1=0交于A,BA．1 B．2 C．4 D．2【解題思路】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【解答過程】因為a,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，c=2b?a，代入直線方程ax+by+c=0得ax+by+2b?a=0，即ax?1+by+2=0，令故直線恒過1,?2，設(shè)P1,?2，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:設(shè)圓心為C，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)PC⊥AB時，AB最小，PC=1,AC=

故選：C.4．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為(0,4),(0,?4)，點(?6,4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2【解題思路】由焦點坐標(biāo)可得焦距2c，結(jié)合雙曲線定義計算可得2a，即可得離心率.【解答過程】由題意，設(shè)F10,?4、F2則F1F2=2c=8，則2a=PF1故選：C.5．（2024·天津·高考真題）雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0A．x28?y22=1 B．【解題思路】可利用△PF1F2三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)PF2=m【解答過程】如下圖：由題可知，點P必落在第四象限，∠F1P∠PF2F1=因為∠F1PF2=90°，所以sinθ2=則由PF2=m由S△PF1則PF由雙曲線第一定義可得：PF1?所以雙曲線的方程為x2故選：C.6．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：x2+y2=16（y>0），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，PA．x216+y24=1（y>0C．y216+x24=1（y>0【解題思路】設(shè)點M(x,y)，由題意，根據(jù)中點的坐標(biāo)表示可得P(x,2y)，代入圓的方程即可求解.【解答過程】設(shè)點M(x,y)，則P(x,y因為M為PP′的中點，所以y0又P在圓x2所以x2+4y即點M的軌跡方程為x2故選：A.7．（2023·全國·高考真題）已知實數(shù)x,y滿足x2+y2?4x?2y?4=0A．1+322 B．4 C．【解題思路】法一：令x?y=k，利用判別式法即可；法二：通過整理得x?22+y?1【解答過程】法一：令x?y=k，則x=k+y，代入原式化簡得2y因為存在實數(shù)y，則Δ≥0，即2k?6化簡得k2?2k?17≤0，解得故x?y的最大值是32法二：x2+y令x=3cosθ+2，y=3sin則x?y=3cos∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π法三：由x2+y設(shè)x?y=k，則圓心到直線x?y=k的距離d=|2?1?k|解得1?3故選：C.8．（2023·全國·高考真題）過點0,?2與圓x2+y2?4x?1=0相切的兩條直線的夾角為αA．1 B．154 C．104 【解題思路】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得k2【解答過程】方法一：因為x2+y2?4x?1=0，即x?2過點P0,?2作圓C的切線，切點為A,B因為PC=22可得sin∠APC=則sin∠APB=cos∠APB=即∠APB為鈍角，所以sinα=法二：圓x2+y2?4x?1=0過點P0,?2作圓C的切線，切點為A,B，連接AB可得PC=22因為PA且∠ACB=π?∠APB，則即3?cos∠APB=5+5cos即∠APB為鈍角，則cosα=且α為銳角，所以sinα=方法三：圓x2+y2?4x?1=0若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離d=2>r，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx?2，即kx?y?2=0，則2k?2k2+1=設(shè)兩切線斜率分別為k1,k可得k1所以tanα=k1?k則sin2且α∈0,π，則sinα>0故選：B.

9．（2023·北京·高考真題）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x=?3的距離為5，則|MF|=A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】利用拋物線的定義求解即可.【解答過程】因為拋物線C:y2=8x的焦點F2,0，準(zhǔn)線方程為x=?2，點所以M到準(zhǔn)線x=?2的距離為MF，又M到直線x=?3的距離為5，所以MF+1=5，故MF故選：D.10．（2023·全國·高考真題）設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1A．1 B．2 C．4 D．5【解題思路】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△PF方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【解答過程】方法一：因為PF1?從而S△FP1故選：B.方法二：因為PF1?PF所以PF12PF12故選：B.11．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1,F2為橢圓C:x29+y26A．135 B．302 C．145【解題思路】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△PF1F2的面積，即可得到點方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出PF方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出PF【解答過程】方法一：設(shè)∠F1P由cos∠F1由橢圓方程可知，a2所以，S△PF1即xp2=9×故選：B．方法二：因為PF1+即PF解得：PF而PO=12即PO=故選：B．方法三：因為PF1+即PF12由中線定理可知，2OP2+F1故選：B．12．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，C的一條漸近線與圓A．55 B．255 C．3【解題思路】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【解答過程】由e=5，則c解得ba所以雙曲線的漸近線為y=±2x，當(dāng)漸近線為y=?2x時，圓心(2,3)到該漸近線的距離d=|2×2+3|當(dāng)漸近線為y=2x時，則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2?3|所以弦長|AB|=2r故選：D.13．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線x2?y29A．1,1 B．?1,2 C．1,3 D．?1,?4【解題思路】根據(jù)點差法分析可得kAB【解答過程】設(shè)Ax1,y1可得kAB因為A,B在雙曲線上，則x12?所以kAB對于選項A：可得k=1,kAB=9聯(lián)立方程y=9x?8x2?y2此時Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得k=?2,kAB=?聯(lián)立方程y=?92x?52此時Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得k=3,kAB由雙曲線方程可得a=1,b=3，則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：k=4,kAB=聯(lián)立方程y=94x?74此時Δ=1262故選：D.14．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2A．x28?C．x24?【解題思路】先由點到直線的距離公式求出b，設(shè)∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，【解答過程】如圖，

因為F2c,0，不妨設(shè)漸近線方程為y=b所以PF所以b=2.設(shè)∠POF2=θ,則tanθ=P因為12ab=12c?yP所以Pa因為F1所以kP所以2a2+2所以雙曲線的方程為x故選：D.15．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 【解題思路】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【解答過程】由e2=3e1，得e22故選：A.16．（2023·全國·高考真題）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，BA．23 B．23 C．?2【解題思路】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用Δ>0，求出m范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m【解答過程】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立y=x+mx23+y因為直線與橢圓相交于A,B點，則Δ=36m2設(shè)F1到AB的距離d1,F2到AB則d1=|?S△F1ABS故選：C.17．（2022·北京·高考真題）若直線2x+y?1=0是圓(x?a)2+y2=1A．12 B．?12 C．1【解題思路】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【解答過程】由題可知圓心為a,0，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即2a+0?1=0，解得a=1故選：A．18．（2022·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，拋物線yA．x216?C．x24?【解題思路】由已知可得出c的值，求出點A的坐標(biāo)，分析可得AF1=F1F2【解答過程】拋物線y2=45x的準(zhǔn)線方程為x=?5，則c=不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立y=?baxx=?c，可得因為AF1⊥F1且AF1=F1所以，ba=2c=5c故選：D.19．（2022·全國·高考真題）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13，A1,A．x218+y216=1 B．【解題思路】根據(jù)離心率及BA1?【解答過程】解：因為離心率e=ca=1?bA1,A2分別為B為上頂點，所以B(0,b).所以BA1所以?a2+b2故橢圓的方程為x2故選：B.20．（2022·全國·高考真題）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于A．32 B．22 C．12【解題思路】設(shè)Px1,y1，則Q?x1,【解答過程】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)Px1則由kAP?k由x12a所以b2a2所以橢圓C的離心率e=c[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：k故kAP由橢圓第三定義得：kPA故b所以橢圓C的離心率e=c故選A.21．（2022·全國·高考真題）設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若AF=BFA．2 B．22 C．3 D．【解題思路】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點A坐標(biāo)，即可得到答案.【解答過程】由題意得，F(xiàn)1,0，則AF即點A到準(zhǔn)線x=?1的距離為2，所以點A的橫坐標(biāo)為?1+2=1，不妨設(shè)點A在x軸上方，代入得，A1,2所以AB=故選：B.二、多項選擇題22．（2024·全國·高考真題）拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點，過P作⊙A:x2+(y?4)2=1的一條切線，Q為切點，過A．l與⊙A相切B．當(dāng)P，A，B三點共線時，|PQ|=C．當(dāng)|PB|=2時，PA⊥ABD．滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個【解題思路】A選項，拋物線準(zhǔn)線為x=?1，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，P,A,B三點共線時，先求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項，根據(jù)PB=2先算出P的坐標(biāo)，然后驗證kPAkAB=?1是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，于是問題轉(zhuǎn)化成PA【解答過程】A選項，拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為⊙A的圓心(0,4)到直線x=?1的距離顯然是1，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線l和⊙A相切，A選項正確；B選項，P,A,B三點共線時，即PA⊥l，則P的縱坐標(biāo)yP由yP2=4xP此時切線長PQ=C選項，當(dāng)PB=2時，xP=1，此時yP2當(dāng)P(1,2)時，A(0,4),B(?1,2)，kPA=4?2不滿足kPA當(dāng)P(1,?2)時，A(0,4),B(?1,2)，kPA=4?(?2)不滿足kPA于是PA⊥AB不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，這里于是PA=PB時P點的存在性問題轉(zhuǎn)化成PA=A(0,4),F(1,0)，AF中點12,2，AF中垂線的斜率為于是AF的中垂線方程為：y=2x+158，與拋物線y2Δ=162即存在兩個P點，使得PA=方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)Pt24,t，由PB⊥l可得B?1,t根據(jù)兩點間的距離公式，t416+Δ=162即存在兩個這樣的P點，D選項正確.故選：ABD.23．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點O.且C上的點滿足:橫坐標(biāo)大于?2，到點F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之積為4，則（

）A．a(chǎn)=?2 B．點(22,0)在C．C在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點x0,y0【解題思路】根據(jù)題設(shè)將原點代入曲線方程后可求a，故可判斷A的正誤，結(jié)合曲線方程可判斷B的正誤，利用特例法可判斷C的正誤，將曲線方程化簡后結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D的正誤.【解答過程】對于A：設(shè)曲線上的動點Px,y，則x>?2且x?2因為曲線過坐標(biāo)原點，故0?22+0對于B：又曲線方程為x?22+y故x?22當(dāng)x=22,y=0時，故22對于C：由曲線的方程可得y2=16則y2=6449?故C在第一象限內(nèi)點的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯誤.對于D：當(dāng)點x0,y故?4故選：ABD.24．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y=?3x?1過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，且與C交于M，N兩點，A．p=2 B．MNC．以MN為直徑的圓與l相切 D．△OMN為等腰三角形【解題思路】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得p，根據(jù)弦長公式求得MN，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【解答過程】A選項：直線y=?3x?1過點1,0，所以拋物線C:y所以p2=1,p=2,2p=4，則A選項正確，且拋物線C的方程為B選項：設(shè)Mx由y=?3x?1y2=4x解得x1=3,xC選項：設(shè)MN的中點為A，M,N,A到直線l的距離分別為d1因為d=1即A到直線l的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線l相切，C選項正確.D選項：直線y=?3x?1，即O到直線3x+y?3=0所以三角形OMN的面積為12由上述分析可知y1所以O(shè)M=所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

25．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|A．直線AB的斜率為26 B．C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°【解題思路】由AF=AM及拋物線方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線求得B(p3,?6【解答過程】對于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得點A在FM代入拋物線可得y2=2p?3p4=32對于B，由斜率為26可得直線AB的方程為x=12設(shè)B(x1,y1)，則62p+y則OB=對于C，由拋物線定義知：AB=對于D，OA?OB=(又MA?MB=(?又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，則故選：ACD.26．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為F1,F2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點，且cosA．52 B．32 C．132【解題思路】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點為G，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N【解答過程】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過F1作圓D所以O(shè)B⊥F1N，因為|OB|=a，|OF1|=c，|F1||52b選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為cos∠F1所以|OB|=a，|OF1|=c由cos∠F1NF||3所以2b=3a，即ba所以雙曲線的離心率e=選C[方法二]：答案回代法A選項e特值雙曲線x2過F1且與圓相切的一條直線為y∵兩交點都在左支,∴N∴|NF則cos∠C選項e特值雙曲線x2過F1且與圓相切的一條直線為y∵兩交點在左右兩支，N在右支，∴N∴|NF則cos∠[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點為G若M,N分別在左右支，因為OG⊥NF1，且cos∠又|OG|=a，|OF1|=c設(shè)∠F1N在△F1N故|NF1|?|N所以asin而cosα=35，sinβ=a代入整理得到2b=3a，即ba所以雙曲線的離心率e=若M,N均在左支上，同理有|NF2|sinβ故|NF2|?|N代入cosα=35，sinβ=a故a=2b，故e=1+故選：AC.三、填空題27．（2024·北京·高考真題）若直線y=kx?3與雙曲線x24?y2=1只有一個公共點，則k【解題思路】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點個數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【解答過程】聯(lián)立x24?由題意得1?4k2=0解得k=±12或無解，即故答案為：12（或?28．（2024·北京·高考真題）拋物線y2=16x的焦點坐標(biāo)為【解題思路】形如y2=2px,p≠0【解答過程】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x，所以其焦點坐標(biāo)為故答案為：4,0.29．（2024·上海·高考真題）已知拋物線y2=4x上有一點P到準(zhǔn)線的距離為9，那么點P到x軸的距離為4【解題思路】根據(jù)拋物線的定義知xP【解答過程】由y2=4x知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1，設(shè)點Px0,代入拋物線方程y2=4x，得y0則點P到x軸的距離為42故答案為：4230．（2024·天津·高考真題）圓(x?1)2+y2=25的圓心與拋物線y2=2px(p>0)的焦點F重合，A【解題思路】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及AF的方程，從而可求原點到直線AF的距離.【解答過程】圓(x?1)2+y2=25的圓心為F由x?12+y2=25y2故A4,±4，故直線AF:y=±43x?1即故原點到直線AF的距離為d=4故答案為：4531．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過F2作平行于y【解題思路】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出AF2，結(jié)合雙曲線第一定義求出AF【解答過程】由題可知A,B,F2三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將x=c得y=±b2a，即Ac,b又AF1?AF2=2a，得A故c2=a2+故答案為：3232．（2023·全國·高考真題）已知直線l:x?my+1=0與⊙C:x?12+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m【解題思路】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長AB，以及點C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【解答過程】設(shè)點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案為：2（2,?2,133．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為(?2,0)和(2,0)，離心率為2，則C的方程為x22【解題思路】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.【解答過程】令雙曲線C的實半軸、虛半軸長分別為a,b，顯然雙曲線C的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距c=2，由雙曲線C的離心率為2，得ca=2，解得a=所以雙曲線C的方程為x2故答案為：x234．（2023·全國·高考真題）已知點A1,5在拋物線C：y2=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為【解題思路】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?54，最后利用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點A到【解答過程】由題意可得：52=2p×1，則2p=5，拋物線的方程為準(zhǔn)線方程為x=?54，點A到C的準(zhǔn)線的距離為故答案為：9435．（2023·天津·高考真題）已知過原點O的一條直線l與圓C:(x+2)2+y2=3相切，且l與拋物線y2=2px(p>0)交于點O,P【解題思路】根據(jù)圓x+22+y2=3和曲線y2=2px【解答過程】易知圓x+22+y2=3和曲線y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以O(shè)P=2p3當(dāng)k=?3故答案為：6．36．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2．點A在【解題思路】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到AF2,BF2,方法二：依題意設(shè)出各點坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運算求得x0=53c,y0=?2【解答過程】方法一：依題意，設(shè)AF2=2m在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c方法二:依題意，得F1(?c,0),F因為F2A=?23又F1A⊥F1B，所以又點A在C上，則259c2a2所以25c2b整理得25c4?50a2c2又e>1，所以e=355或e=故答案為：3537．（2022·天津·高考真題）若直線x?y+m=0m>0被圓x?12+y?12=3截得的弦長為m，則【解題思路】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.【解答過程】圓x?12+y?12=3圓心到直線x?y+m=0m>0的距離為1?1+m由勾股定理可得m22+m2故答案為：2.38．（2022·全國·高考真題）設(shè)點A(?2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點，則a【解題思路】首先求出點A關(guān)于y=a對稱點A′的坐標(biāo)，即可得到直線l【解答過程】解：A?2,3關(guān)于y=a對稱的點的坐標(biāo)為A′?2,2a?3，B所以A′B所在直線即為直線l，所以直線l為y=a?3圓C:x+32+y+22依題意圓心到直線l的距離d=?3即5?5a2≤a?32+故答案為：1339．（2022·全國·高考真題）設(shè)點M在直線2x+y?1=0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為(x?1)2+【解題思路】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【解答過程】[方法一]：三點共圓∵點M在直線2x+y?1=0上，∴設(shè)點M為(a,1?2a)，又因為點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴(a?3)2a2?6a+9+4a∴M(1,?1)，R=5⊙M的方程為(x?1)2故答案為：(x?1)[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線2x+y?1=0的交點(1,-1).R=5,⊙M的方程為(x?1)故答案為：(x?1)240．（2022·全國·高考真題）過四點(0,0),(4,0),(?1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為x?22+y?32=13或x?22【解題思路】方法一：設(shè)圓的方程為x2【解答過程】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為x2（1）若過0,0，4,0，?1,1，則F=016+4D+F=01+1?D+E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y（2）若過0,0，4,0，4,2，則F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y（3）若過0,0，4,2，?1,1，則F=01+1?D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y（4）若過?1,1，4,0，4,2，則1+1?D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=?165D=?故答案為：x?22+y?32=13或x?2[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設(shè)點A（1）若圓過A、B、C三點，圓心在直線x=2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，則4+a2=9+（2）若圓過A、B、D三點，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，則4+a2=4+（3）若圓過A、C、D三點，則線段AC的中垂線方程為y=x+1，線段AD的中垂線方程為y=?2x+5，聯(lián)立得x=43,y=（4）若圓過B、C、D三點，則線段BD的中垂線方程為y=1，線段BC中垂線方程為y=5x?7，聯(lián)立得x=85,y=1?r=故答案為：x?22+y?32=13或x?241．（2022·全國·高考真題）寫出與圓x2+y2=1和(x?3)2+(y?4)2【解題思路】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【解答過程】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為x+by+c=0，于是|c|1+b故c2=1+b2①，|3+4b+c|=|4c|.于是再結(jié)合①解得b=0c=1或b=?247所以直線方程有三條，分別為x+1=0，7x?24y?25=0，3x+4y?5=0.(填一條即可)[方法二]：設(shè)圓x2+y2=1圓(x?3)2+(y?4)2=16則|OC|=5=r由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+1=0符合題意；又由方程(x?3)2+(y?4)2=16即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x?3y=0，直線OC與直線x+1=0的交點為(?1,?4設(shè)過該點的直線為y+43=k(x+1)，則k?從而該切線的方程為7x?24y?25=0.(填一條即可)[方法三]：圓x2+y2=1圓(x?3)2+(y?4)2=16的圓心O兩圓圓心距為32如圖，當(dāng)切線為l時，因為kOO1=O到l的距離d=|t|1+916=1，解得t=當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0，由題意p1+k2=1當(dāng)切線為n時，易知切線方程為x=?1，故答案為：y=?34x+5442．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F，過F且斜率為b4a的直線交雙曲線于點Ax【解題思路】聯(lián)立直線AB和漸近線l2:y=bax方程，可求出點B，再根據(jù)|FB|=3|FA|【解答過程】過F且斜率為b4a的直線AB:y=b4a聯(lián)立y=b4a(x+c)y=ba而點A在雙曲線上，于是25c281a2故答案為：3643．（2022·全國·高考真題）記雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y=2x與【解題思路】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線y=±bax中0<【解答過程】解：C:x2a2?結(jié)合漸近線的特點，只需0<ba≤2可滿足條件“直線y=2x與C無公共點”所以e=c又因為e>1，所以1<e≤5故答案為：2（滿足1<e≤5皆可）44．（2022·全國·高考真題）若雙曲線y2?x233【解題思路】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【解答過程】解：雙曲線y2?x2m不妨取x+my=0，圓x2+y2?4y+3=0，即x依題意圓心0,2到漸近線x+my=0的距離d=2m解得m=33或故答案為：3345．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±【解題思路】首先可得m<0，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到a、b，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【解答過程】解：對于雙曲線y2+x2m則a=1，b=?m，又雙曲線y2+所以ab=33，即故答案為：?3.46．（2022·全國·高考真題）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為12．過F1且垂直于【解題思路】利用離心率得到橢圓的方程為x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2?12c2=0，根據(jù)離心率得到直線【解答過程】∵橢圓的離心率為e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2?c2=3c2，∴橢圓的方程為x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2?12c2=0，不妨設(shè)左焦點為F判別式Δ=∴DE=∴c=138，得∵DE為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴故答案為：13.四、解答題47．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線Γ:x2?y2b2=1,(b>0),左右頂點分別為A(1)若離心率e=2時，求b的值．(2)若b=263,△MA(3)連接OQ并延長，交雙曲線Γ于點R，若A1R?【解題思路】（1）根據(jù)離心率公式計算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設(shè)直線l:x=my?2，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計算向量數(shù)量積的等式計算即可.【解答過程】（1）由題意得e=ca=c1（2）當(dāng)b=263時，雙曲線Γ:x因為△MA①當(dāng)以MA2為底時，顯然點P在直線x=?1②當(dāng)以A2P為底時，設(shè)Px,y，則x2?3y28因為點P在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知MP>③當(dāng)以MP為底時，A2P=MA則有x0?12+y綜上所述：P2,2（3）由題知A1當(dāng)直線l的斜率為0時，此時A1R?則設(shè)直線l:x=my?2，設(shè)點Px1,y1,Qx根據(jù)雙曲線對稱性知R?聯(lián)立有x=my?2x2?顯然二次項系數(shù)b2其中Δ=y1+y

A1則A1R?A2則x1=my即?my2將①②代入有m2即3化簡得b2所以m2=10b2?3,代入到且m2=10b2?3≥0，解得綜上知，b2∈0,348．（2024·北京·高考真題）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0，以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點0,tt>2且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點(1)求橢圓E的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．【解題思路】（1）由題意得b=c=2，進(jìn)一步得a（2）設(shè)AB:y=kx+t,k≠0,t>2，Ax1,y1【解答過程】（1）由題意b=c=22=所以橢圓方程為x24+（2）直線AB斜率不為0，否則直線AB與橢圓無交點，矛盾，從而設(shè)AB:y=kx+t,k≠0,t>2，聯(lián)立x24+由題意Δ=16k2t2所以x1若直線BD斜率為0，由橢圓的對稱性可設(shè)D?所以AD:y=y1?y2得yC所以t=2，此時k應(yīng)滿足4k2+2?t2=4k綜上所述，t=2滿足題意，此時k<?22或49．（2024·全國·高考真題）已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求C的方程；(2)過點P4,0的直線交C于A,B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，證明：AQ⊥y【解題思路】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)M的坐標(biāo)及MF⊥x（2）設(shè)AB:y=k(x?4)，Ax1,y1，Bx2,y【解答過程】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有c=1且b2a=32，故故橢圓方程為x2（2）直線AB的斜率必定存在，設(shè)AB:y=k(x?4)，Ax1,由3x2+4故Δ=1024k4又x1而N52,0，故直線BN:y=所以y==k=k128故y1=y50．（2024·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)橢圓的離心率e=(1)求橢圓方程．(2)過點0,?32的動直線與橢圓有兩個交點P，Q．在y軸上是否存在點T使得【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：y=kx?32，Px1,y1,Qx【解答過程】（1）因為橢圓的離心率為e=12，故a=2c，b=3所以A?2c,0,B0,?故c=3，所以a=23，b=3，故橢圓方程為：（2）若過點0,?32的動直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：設(shè)Px由3x2+4故Δ=144k而TP=故TP====3+2t因為TP?TQ≤0恒成立，故3+2t若過點0,?32的動直線的斜率不存在，則P0,3此時需?3≤t≤3，兩者結(jié)合可得?3≤t≤3綜上，存在T0,t?3≤t≤351．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知A(0,3)和P3,32(1)求C的離心率;(2)若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程．【解題思路】（1）代入兩點得到關(guān)于a,b的方程，解出即可；（2）方法一：以AP為底，求出三角形的高，即點B到直線AP的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到B點坐標(biāo)，則得到直線l的方程；方法二：同法一得到點B到直線AP的距離，再設(shè)Bx0,y0，根據(jù)點到直線距離和點在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點B到直線AP的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗證直線AB斜率不存在的情況，再設(shè)直線y=kx+3，聯(lián)立橢圓方程，得到點B坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線PB【解答過程】（1）由題意得b=39a2所以e=1?（2）法一：kAP=3?320?3=?AP=0?32設(shè)點B到直線AP的距離為d，則d=2×9則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移125此時該平行線與橢圓的交點即為點B，設(shè)該平行線的方程為：x+2y+C=0，則C+65=1255當(dāng)C=6時，聯(lián)立x212+y2即B0,?3或?3,?當(dāng)B0,?3時，此時kl=32，直線l當(dāng)B?3,?32時，此時kl=12當(dāng)C=?18時，聯(lián)立x212+Δ=綜上直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.法二：同法一得到直線AP的方程為x+2y?6=0，點B到直線AP的距離d=12設(shè)Bx0,y0，則x即B0,?3或?3,?法三：同法一得到直線AP的方程為x+2y?6=0，點B到直線AP的距離d=12設(shè)B23cosθ,3sin聯(lián)立cos2θ+sin2θ=1即B0,?3或?3,?法四：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，此時B0,?3S△PAB=12×6×3=9，符合題意，此時kl=當(dāng)線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，聯(lián)立橢圓方程有y=kx+3x212+y29解得x=0或x=?24k4k2+3令x=?24k4k2同法一得到直線AP的方程為x+2y?6=0，點B到直線AP的距離d=12則?24k4k2此時B?3,?32，則得到此時kl=12綜上直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.法五：當(dāng)l的斜率不存在時，l:x=3,B3,?32此時S△ABP當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)PB:y?32=k(x?3)y=k(x?3)+32x212Δ=24k2?12kx1A到直線PB距離d=3k+∴k=12或32，均滿足題意，∴l(xiāng):y=12x或法六：當(dāng)l的斜率不存在時，l:x=3,B3,?32此時S△ABP當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l:y=k(x?3)+3設(shè)l與y軸的交點為Q，令x=0，則Q0,?3k+聯(lián)立y=kx?3k+3233+4k其中Δ=8k2則3x則S=12|AQ|xP則直線l為y=12x或y=3252．（2023·北京·高考真題）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為53，A、C(1)求E的方程；(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動點，直線PD與直線BC交于點M，直線PA與直線y=?2交于點N．求證：MN//CD【解題思路】（1）結(jié)合題意得到ca=53，（2）依題意求得直線BC、PD與PA的方程，從而求得點M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得kMN，再根據(jù)題意求得kCD，得到【解答過程】（1）依題意，得e=ca=又A,C分別為橢圓上下頂點，AC=4，所以2b=4，即b=2所以a2?c2=所以橢圓E的方程為x2（2）因為橢圓E的方程為x29+因為P為第一象限E上的動點，設(shè)Pm,n0<m<3,0<n<2，則

易得kBC=0+2?3?0=?kPD=n?0m?3=聯(lián)立y=?23x?2y=n而kPA=n?2m?0=令y=?2，則?2=n?2m又m29+n2所以k==?6又kCD=0+2顯然，MN與CD不重合，所以MN//CD.53．（2023·全國·高考真題）已知直線x?2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B(1)求p；(2)設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，F(xiàn)M?FN=0【解題思路】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出p；（2）設(shè)直線MN：x=my+n，Mx1,y1,Nx【解答過程】（1）設(shè)Ax由x?2y+1=0y2=2px可得，y所以AB=即2p2?p?6=0，因為p>0（2）因為F1,0，顯然直線MN設(shè)直線MN：x=my+n，Mx由y2=4xx=my+n可得，yΔ=16因為FM?FN=0即my亦即m2將y14m2=所以n≠1，且n2?6n+1≥0，解得n≥3+22設(shè)點F到直線MN的距離為d，所以d=n?1MN=1+所以△MFN的面積S=1而n≥3+22或n≤3?2當(dāng)n=3?22時，△MFN的面積S54．（2023·全國·高考真題）已知橢圓C:y2a2+x2(1)求C的方程；(2)過點?2,3的直線交C于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N，證明：線段MN的中點為定點．【解題思路】（1）根據(jù)題意列式求解a,b,c，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗證yM【解答過程】（1）由題意可得b=2a2=所以橢圓方程為y2（2）由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=kx+2聯(lián)立方程y=kx+2+3y29則Δ=64k2可得x1因為A?2,0，則直線AP:y=令x=0，解得y=2y1同理可得N0,則2=kx=32k所以線段MN的中點是定點0,3.

55．（2023·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點P在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線A2P交y軸于點Q，若三角形A1PQ的面積是三角形【解題思路】（1）由a+c=3a?c=1解得a=2,c=1，從而求出b=（2）先設(shè)直線A2P的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再由韋達(dá)定理可得xA2?xP，從而得到P點和Q點坐標(biāo).由S△A【解答過程】（1）如圖，

由題意得a+c=3a?c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以橢圓的方程為x24+（2）由題意得，直線A2P斜率存在，由橢圓的方程為x2設(shè)直線A2P的方程為聯(lián)立方程組x24+y2由韋達(dá)定理得xA2?所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直線A256．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為?25,0，離心率為(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點?4,0的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA【解題思路】（1）由題意求得a,b的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線MA1與NA2的方程，聯(lián)立直線方程，消去y，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得x+2x?2【解答過程】（1）設(shè)雙曲線方程為x2a2則由e=ca=5可得雙曲線方程為x2（2）由(1)可得A1?2,0,顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my?4，且?1與x24?y2則y1

直線MA1的方程為y=y1x聯(lián)立直線MA1與直線x+2=m?由x+2x?2=?13可得據(jù)此可得點P在定直線x=57．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點Dp,0，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α?β取得最大值時，求直線AB的方程．【解題思路】（1）由拋物線的定義可得MF=（2）法一：設(shè)點的坐標(biāo)及直線MN:x=my+1，由韋達(dá)定理及斜率公式可得kMN=2kAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得【解答過程】（1）拋物線的準(zhǔn)線為x=?p2，當(dāng)MD與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為此時MF=p+p所以拋物線C的方程為y2（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)My12由x=my+1y2=4x可得y由斜率公式可得kMN=y直線MD:x=x1?2Δ>0,y1y3所以k又因為直線MN、AB的傾斜角分別為α,β，所以kAB若要使α?β最大，則β∈0,π2，設(shè)k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時，kAB=2代入拋物線方程可得y2Δ>0,y3所以直線AB:x=2[方法二]：直線方程點斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè)Mx1由y=k(x?1)y2=4x得：k2x直線MD:y=y1x1?2代入拋物線方程可得:y1y3=?8,所以由斜率公式可得：k（下同方法一）若要使α?β最大，則β∈0,設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時，kAB=2代入拋物線方程可得y2?42y?4n=0，Δ>0,[方法三]：三點共線設(shè)My設(shè)Pt,0,若P、M、N三點共線，由所以y124反之，若y1y2=?4t,因此，由M、N、F三點共線，得y1

由M、D、A三點共線，得y1

由N、D、B三點共線，得y2則y3y4（下同方法一）若要使α?β最大，則β∈0,設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時，kAB=258．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線C:x2a2?(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【解題思路】（1）利用焦點坐標(biāo)求得c的值，利用漸近線方程求得a,b的關(guān)系，進(jìn)而利用a,b,c的平方關(guān)系求得a,b的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到x0+ky0=8k2k2?3；由直線PM和QM的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率m=【解答過程】（1）右焦點為F(2,0)，∴c=2,∵漸近線方程為y=±3x，∴ba=3，∴b=3a∴C的方程為：x2（2）由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；若選①③推②，則M為線段AB的中點，假若直線AB的斜率不