專題07函數(shù)方程不等式及函數(shù)的應用（4個考點梳理11題型解讀提升訓練）

專題07函數(shù)、方程、不等式及函數(shù)的應用【清單01】函數(shù)的零點1.函數(shù)零點的定義：使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2.三個等價關系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點3.拓廣：（）1若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．（2）連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．【清單02】二次函數(shù)的零點與其對應方程、不等式解集之間的關系1．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點和相應方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的關系函數(shù)圖象判別式符號(設判別式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0與x軸交點個數(shù)210方程的根（函數(shù)零點）的個數(shù)210ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集（?，x1)∪(x2,+?)（?，x0)∪(x0,+?)R（注：a<0的情況，類似可以給出）2.拓廣：穿根法（根軸法）解不等式：（1）整理不等式，一端化為因式積，且各因式中x系數(shù)為正；（2）求相應方程的根；（3）將上述根標在數(shù)軸上；（4）從最右邊的根開始，自上而下穿過數(shù)軸，其它各根依次穿過（二重根穿而不過）；（5）位于數(shù)軸上方的曲線對應區(qū)間使不等式大于0，其它對應區(qū)間使不等式小于0成立.類似如圖所示：【清單03】零點存在性定理及其近似值的求法如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．2.二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．【清單4】常見函數(shù)模型1.常見函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；（2）二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（3）分式函數(shù)模型（4）分段函數(shù)模型（5）拓廣：函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性質及最值：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上單調遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調遞減．(2)當x>0時，x＝eq\r(a)時取最小值2eq\r(a)，當x<0時，x＝－eq\r(a)時取最大值－2eq\r(a).2.函數(shù)應用問題解法=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．【考點題型一】求函數(shù)的零點【例1】（2324高一上·湖南衡陽·期末）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上單調遞減，若方程在上有實根，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（

）A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【知識點】求零點的和、函數(shù)對稱性的應用、函數(shù)周期性的應用【分析】先根據(jù)題干求出函數(shù)的最小正周期，在畫出函數(shù)的大致圖像即可求解.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，且又因為，所以即且函數(shù)關于對稱，令得，所以，即函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)在上單調遞減，方程在有實根可知方程在有且僅有一個實根，函數(shù)的大致圖像如圖所示：

由圖可知函數(shù)與在區(qū)間有個交點，且兩兩對稱所以.故選：A【變式11】（2324高一上·湖南長沙·期末）函數(shù)的零點是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【知識點】求函數(shù)的零點【分析】解方程求出的解，即可求得函數(shù)的零點.【詳解】令，即函數(shù)的零點是，故選：C【變式12】（2425高一上·上?！ふn前預習）函數(shù)中，若，則的值為．【答案】【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關系【分析】已知函數(shù)值，代入求解即可.【詳解】即，即，則.故答案為：【變式13】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點是.【答案】【知識點】求函數(shù)的零點【分析】令解得，從而即為的零點.【詳解】由題意可知的定義域為，令，可得，解得（舍去）或，所以.故答案為：.【變式14】（2425高一上·全國·課堂例題）求下列函數(shù)的零點．(1)；(2)．【答案】(1)和2．(2)答案見解析．【知識點】求函數(shù)的零點【分析】（1）解一元二次方程求零點即可；（2）分類討論函數(shù)的零點即可.【詳解】（1）由得，∴或．所以函數(shù)的零點為和2．（2）①當時，，由得，所以函數(shù)的零點為．②當時，由得，當，即時，相應的方程無實數(shù)根，函數(shù)無零點；當，即時，，函數(shù)有唯一的零點．當，即且時，由得或，函數(shù)有兩個零點和．綜上，當時，函數(shù)的零點為；當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)的零點為；當且時，函數(shù)有兩個零點和．【考點題型二】函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點是和2，判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間．【答案】【知識點】根據(jù)零點求函數(shù)解析式中的參數(shù)、零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)給定條件，求出，再探討函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理即可得解.【詳解】由和2是函數(shù)的零點，得和2是方程的兩個實根，則，解得，于是，函數(shù)在R上是單調遞減，而，因此函數(shù)在內有零點，所以函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為.【變式21】（2324高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理即可求解.【詳解】由題可知，為增函數(shù)，再由，所以，根據(jù)零點存在定理知，零點在范圍內．故選：B.【變式22】（2425高一上·上?！ふn堂例題）下列區(qū)間中存在方程的根的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)零點存在定理即可求解.【詳解】因為當時，當時，根據(jù)零點存在定理可得1,2存在方程的根.故選：B（2324高一上·陜西商洛·期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調性、判斷零點所在的區(qū)間、零點存在性定理的應用【分析】直接得到函數(shù)的單調性，計算出，并結合零點存在性定理得到答案.【詳解】因為函數(shù)與在上單調遞增，所以在上單調遞增．又因為，，所以，根據(jù)零點存在定理，得的零點所在區(qū)間為．故選：B【變式23】（多選）（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：在下列區(qū)間中，函數(shù)必有零點的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【知識點】零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)零點存在定理可判斷零點所在區(qū)間.【詳解】由所給的函數(shù)值表知，由零點存在定理可知：在區(qū)間內各至少有一個零點，故選：BCD.【變式24】（2425高一上·上海·課后作業(yè)）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的有．（填序號）①若，則不存在實數(shù)使得；②若，則有且只有一個實數(shù)使得；③若，則可能存在實數(shù)使得；④若，則可能不存在實數(shù)使得．【答案】③【知識點】零點存在性定理的應用【分析】由零點存在定理逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】對于①③，若，則在上，滿足：，故①錯③對；對于④，若，則由零點存在定理可知，一定存在實數(shù)使得，故④錯誤；對于②，若，且在上不單調，則可能有多個零點，事實上，我們可以舉出如下反例：若，則在上，滿足：，故②錯誤.故答案為：③.【考點題型三】函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例3】（2324高一下·全國·課后作業(yè)）若定義域為的奇函數(shù)滿足，則在上的零點個數(shù)至少有個.【答案】7【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)周期性的應用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】運用奇函數(shù)性質，結合周期函數(shù)性質，賦值即可求解.【詳解】由是定義域為R的奇函數(shù)可得，再由可得函數(shù)周期為1，所以，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以，故，所以，，，所以在上的零點個數(shù)至少為7．故答案為：7．【變式31】（2223高一上·北京·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】分解因式求解方程的根即可.【詳解】函數(shù)的零點，即方程的實數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：D【變式32】（2324高一上·安徽·階段練習）已知函數(shù)，，，，設，則關于的方程的實根個數(shù)最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、函數(shù)圖象的應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】根據(jù)題意寫出函數(shù)的解析式并畫出圖象，利用換元法設，解關于的方程；然后根據(jù)方程根的個數(shù)轉化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，結合圖象確定實根的個數(shù).【詳解】由題意可知，，圖象如圖所示：設，由得，解得或，即或，當時，由圖可知有兩個實根，當時，當時，沒有實根，當時，有一個實根，當時，有兩個實根，綜上，有兩個實根或三個實根或四個實根，所以實根個數(shù)的最小值為2.故選：.【變式33】（多選）（2324高一上·安徽安慶·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A．0 B． C．3 D．1【答案】BC【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)圖象的應用、分段函數(shù)的性質及應用【分析】把問題轉化為有四個根，即和有四個交點，再分討論兩個函數(shù)是否能有4個交點，進而得出的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)恰有4個零點，所以有四個根，即和有四個交點.當時，與圖像如下：兩圖像有2個交點，不符合題意；當時，與x軸交于兩點.圖像如下：當時，函數(shù)的函數(shù)值為，函數(shù)的函數(shù)值為.兩圖像有4個交點，符合題意；當時，與軸交于兩點，在內函數(shù)圖像有兩個交點.要使兩圖像有4個交點，只需與在內有兩個交點即可，即在還有兩個根，就是在內有兩個根，函數(shù)（當且僅當時等號成立）.所以且，解得：.綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.所以A，D不符合，B，C符合.故選:BC【變式34】（2324高一上·廣東東莞·期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且時，.(1)求的解析式；(2)在給定坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并討論方程（為常數(shù)）根的個數(shù)（寫出結果即可）.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)在上的解析式，結合奇函數(shù)的性質可得函數(shù)的解析式.（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象；數(shù)形結合即可寫出方程（為常數(shù)）根的個數(shù)的情況.【詳解】（1）函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，當時，有，則（2）函數(shù)的圖象如圖所示：方程（為常數(shù)）根的個數(shù)即為函數(shù)與的圖象交點的個數(shù).由圖象可得：當或時，方程（為常數(shù)）根的個數(shù)為1個；當或時，方程（為常數(shù)）根的個數(shù)為2個；當時，方程（為常數(shù)）根的個數(shù)為3個.【考點題型四】函數(shù)零點、方程的根與不等式的解【例4】（2324高一上·廣東清遠·期中）已知函數(shù)的兩個零點為，且，則下列說法正確的序號為.①；②不等式的解集為；③；④不等式的解集為.【答案】②③④【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)零點求函數(shù)解析式中的參數(shù)、二次函數(shù)的圖象分析與判斷【分析】根據(jù)題意得到和是的兩根，得到，再由，得到，結合二次函數(shù)的性質和不等式的解法，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意得，和是方程的兩根，可得，解得，對于①中，因為，結合二次函數(shù)的性質，可得，所以①錯誤；對于②中，由不等式，即為，解得，所以②正確；對于③中，由，所以③正確；對于④中，由不等式，可得化為，解得，所以④正確.故答案為：②③④.【變式41】（2324高一上·浙江溫州·期中）若不等式的解集為，則函數(shù)的零點為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【知識點】求函數(shù)的零點、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根之間的關系求解，然后根據(jù)零點的定義求解即可.【詳解】因為的解集為，所以方程的兩根分別為和2，且，則，解得，故函數(shù)，則與軸的交點坐標為和，所以零點為和.故選：D.【變式42】（2023·全國·高一課堂例題）不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得方程的兩個根為和，且，結合二次方程根與系數(shù)的關系得到、、的關系，再結合二次函數(shù)的性質判斷即可．【詳解】因為的解集為，所以方程的兩根分別為和1，且，則變形可得故函數(shù)的圖象開口向下，且與x軸的交點坐標為和，故A選項的圖象符合.故選：A【變式43】（2223高一上·湖北咸寧·自主招生）二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為直線，若關于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內有解，則的取值范圍是．

【答案】【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式、函數(shù)【分析】根據(jù)對稱軸求出的值，從而得到時的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內有解相當于與在內有交點，依此求解即可得出結論.【詳解】∵對稱軸為直線，∴，∴二次函數(shù)解析式為.當時，；當時，；當時，.因為方程的根為圖象與直線的交點的橫坐標，∴當時，在的范圍內有解.故答案為：.【變式44】（2324高一上·福建莆田·期中）設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．若對任意都有，則的取值范圍是．【答案】【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用【分析】先求解出、、、時的解析式，然后作出與的圖象，根據(jù)圖象的交點橫坐標確定出符合條件的的取值范圍.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，且，作出的大致圖象如下圖所示：由圖象可知：若，對于任意都有顯然不成立，所以，由圖象可知，當時，令，則有，解得或，結合圖象可知，若對于任意都有成立，則有，故答案為：.【考點題型五】已知函數(shù)零點或方程根的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍【例5】（2023高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，若關于x的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】分析函數(shù)的性質，作出圖象，數(shù)形結合即可求解作答.【詳解】當時，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)值集合是，當時，是減函數(shù)，函數(shù)值集合是，關于的方程有兩個不同的實根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，在坐標系內作出直線和函數(shù)的圖象，如圖，

觀察圖象知，當時，直線和函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個不同的實根，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式51】（2021高一上·廣東佛山·期中）“”是“方程只有一個解”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識點】判斷命題的充分不必要條件、一元二次方程根的分布問題【分析】利用充分性，必要性的定義判定即可.【詳解】若，則方程為，即，則其只有一個解；若方程只有一個解，則或，所以或a=?1，所以“”是“方程只有一個解”的充分不必要條件.故選：B【變式52】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】法一：轉化成一元二次方程在0,+∞上有兩個不同的解的問題；法二：分離參數(shù)，轉化成兩個函數(shù)圖像在0,+【詳解】法一：因為，且有兩個零點，所以方程在0,+∞上有兩個不同的解，所以解得．法二：由得，因為有兩個零點，所以直線與函數(shù)的圖像有兩個交點．函數(shù)的圖像如圖，由圖可知．故選：D．【變式53】（2425高一上·全國·課堂例題）函數(shù)僅有一個零點且該零點為負零點，則的取值范圍是.【答案】【知識點】函數(shù)圖象的應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、判斷零點所在的區(qū)間【分析】利用數(shù)形結合思想來求函數(shù)的零點問題.【詳解】在平面直角坐標系中作出函數(shù)和的圖像如圖，結合圖像可以看出：當時，兩函數(shù)的圖像只有一個軸左側的交點，即函數(shù)僅有一個負零點.故答案為：.【變式54】（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）關于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意問題轉化為方程有4個不相等的實數(shù)根，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結合可得解.【詳解】原方程等價于，在同一坐標系內作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：可得當時，兩圖象有4個不同的公共點，即方程有4個不相等的實數(shù)根，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【考點題型六】根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間，求參數(shù)取值范圍【例6】（2324高一上·廣東汕頭·階段練習）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)的一個零點在內，另一個零點在內，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或；(2).【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】（1）由函數(shù)零點個數(shù)，結合二次函數(shù)性質列不等式組求參數(shù)范圍；（2）由題意易知，法一：討論函數(shù)開口方向列不等式組求參數(shù)范圍；法二：根據(jù)的零點和的零點的等價性，列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題意，可得，則或.（2）由的兩個零點一個在內，另一個在內，故，法一：當?shù)膱D象開口向上時，，所以，解得.當?shù)膱D象開口向下時，，所以，解得；綜上，的取值范圍為.法二：的零點和的零點相同，則，所以，解得.綜上，的取值范圍為.【變式61】（2324高一上·廣西玉林·期中）關于x的一元二次方程有一個根小于，另一個根大于1，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】一元二次方程根的分布問題【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)圖像特征，滿足，即得a的取值范圍.【詳解】設，開口向上，由題意知，即，解得，所以．故選：B．【變式62】（2324高一上·上海浦東新·階段練習）方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、一元二次方程根的分布問題【分析】令，利用零點存在性定理，建立參數(shù)所滿足的不等式，解不等式，即得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為一元二次方程在區(qū)間和各有一個根，令，則由題意可得，即，解得，則方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是.故選：B.【變式63】（2324高一上·山西晉中·期末）已知函數(shù)在區(qū)間內恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍、零點存在性定理的應用【分析】分類討論和兩種情況，再利用判別式和零點存在性定理列不等式求解即可.【詳解】當時，，令得，符合題意；當時，是二次函數(shù)，對于方程，只需，即，解得，且，當時，，此時，得或，符合題意，當時，，此時，得或，符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式64】（2324高一上·山東青島·期中）已知（）．(1)當時，求不等式的解集；(2)若時，有實數(shù)解，求a的范圍．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)零點求函數(shù)解析式中的參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）將代入得，再代入不等式移項通分，進而解分式不等式得到答案.（2）由題意得，令，進而利用單調性和不等式的性質求的值域，于是得到a的范圍.【詳解】（1）當時，.代入原不等式：，即，移項通分，解得.∴原不等式的解集為（2）由于在上有解，所以，即求在值域，由于在單調遞增，所以，于是，即.所以．【考點題型七】“二分法”與零點的近似解【例7】（2425高一上·上?！るS堂練習）求方程的零點（精確到0.1）．【答案】2.1【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程、判斷零點所在的區(qū)間【分析】令，設函數(shù)y=fx的零點為，因為f2<0，，所以，再由精確度為0.1時，利用二分法確定.【詳解】令，設函數(shù)y=fx的零點為，因為f2<0，，所以，由二分法得到下表，中點所在區(qū)間2.52.252.1252.18752.156252.1406252.1484375因為在精確度為0.1時，，，所以在精確度為0.1時，．【變式71】（2425高一上·全國·隨堂練習）用二分法求函數(shù)的零點可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)所取的初始區(qū)間的端點值對應的函數(shù)值異號進行逐項判斷即可.【詳解】因為，且在定義域上遞增，所以，函數(shù)在上有零點.故可以取區(qū)間作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算.故選：A.【變式72】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）在用二分法求函數(shù)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，，則函數(shù)的一個誤差不超過0.025的正實數(shù)零點的近似值可以為（

）A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6【答案】C【知識點】零點存在性定理的應用、二分法求方程近似解的過程、二分法求函數(shù)零點的過程、判斷零點所在的區(qū)間【分析】利用二分法可得出結果.【詳解】已知，則函數(shù)的零點的初始區(qū)間為，又因為，且，所以零點在區(qū)間上，又，所以所求近似值可以為.故選：C.【變式73】（2324高一·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間0,1上有且僅有一個零點，用二分法求該零點的近似值.（結果精確到0.1）【答案】【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程【分析】結合零點存在性定理，用二分法逐次計算，直到滿足題意的區(qū)間即可求解零點近似值.【詳解】令函數(shù)，，又，，則在12,1內存在零點，又，，則在內存在零點，又，，則在內存在零點，又，，則在內存在零點，由于，故函數(shù)的零點區(qū)間為，因為，，又，且零點結果精確到0.1.所以在區(qū)間0,1內的零點近似為.【變式74】（2425高一上·全國·課前預習）用二分法求函數(shù)零點的近似值【答案】1.4375（答案不唯一，符合題意即可）【知識點】二分法求方程近似解的過程、二分法求函數(shù)零點的過程【分析】根據(jù)題意結合二分法即可求解.【詳解】由于函數(shù)為單調遞增函數(shù)，且，，因此可以確定區(qū)間[1,2]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列表如下：零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值1.50.3751.251.3751.4375當然，我們可以一直重復下去，這樣的話，也會使求得的函數(shù)零點更精確，顯然，這可能是一個無休止的過程，實際上，如果我們一開始給一個誤差范圍的話，只要滿足了給出的誤差范圍，我們就可以停止計算，比如，該問題中，我們給出誤差不超過0.1．由于，所以原函數(shù)的一個正實數(shù)零點可取為1.4375．【考點題型八】函數(shù)零點相關綜合問題【例8】（2324高一上·福建福州·期中）定義：對于定義域為D的函數(shù)，若，有，則稱為的不動點．己知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的不動點；(2)若，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；(3)設且的兩個不動點為，且，求實數(shù)b的最小值．【答案】(1)或(2)(3)【知識點】函數(shù)新定義、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）利用不動點的定義，得到關于的方程，解之即可得解；（2）利用一元二次方程有兩個不等實根列式，結合一元二次不等式恒成立即可得解；（3）利用定義結合韋達定理得到關于的表達式，再利用均值不等式即可得解.【詳解】（1）當時，，令，即，解得或，所以的不動點為或.（2）令，即，則，，于是得方程有兩個不等實根，即，則，由題意知，，不等式恒成立，所以，整理得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）由（2）知，當時，，，又，于是得，則，令，則，，所以，當且僅當，即，時取等號，所以實數(shù)的最小值為.【變式81】（2324高一上·福建南平·期中）已知的定義域為，且是奇函數(shù)，當時，，函數(shù)，則方程的所有的根之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)對稱性的應用、求零點的和【分析】根據(jù)的定義域為，且是奇函數(shù)，得到的圖象關于對稱，且，再根據(jù)的圖象也關于對稱，畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合法求解.【詳解】解：因為的定義域為，且是奇函數(shù)，所以，則的圖象關于對稱，且，當時，，又因為函數(shù)，所以的圖象關于對稱，所以方程的所有的根之和即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標和，和的圖象，如圖所示：

由圖象知：和的圖象有5個交點，其中一個交點的橫坐標為1，另外四個，兩兩分別關于對稱，所以5個交點的橫坐標之和為，故選：C【變式82】（2324高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知二次函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】根據(jù)題意，轉化為方程與直線的圖象有3個不同的交點，畫出函數(shù)的圖象，結合圖象和二次函數(shù)的性質，列出不等式（組），即可求解.【詳解】由方程有三個不同的實數(shù)根，等價于方程與直線的圖象有3個不同的交點，當時，顯然不符合題意，所以，令，直線過定點且斜率為（1）當時，如圖所示，要使得與有3個交點，則滿足，即，由，整理得，因為直線與拋物線相交，所以，解得，所以；（2）當時，如圖所示，要使得與有3個交點，則滿足，即，由，整理得，因為直線與拋物線相交，所以，解得，所以；綜上可得，實數(shù)的取值范圍為,故答案為：.【變式83】（2324高一上·江西宜春·期中）已知關于的一元二次方程.(1)若方程兩根之差的絕對值為，試求的值；(2)若方程兩不等實根都小于5，試求的取值范圍.【答案】(1)或(2)或【知識點】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)的圖象分析與判斷【分析】（1）利用根與系數(shù)關系，將方程兩根之差的絕對值用含m的代數(shù)式表示出來，再列方程解出m即可.（2）將方程轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖形與性質，根據(jù)限制條件列不等式組即可求解.【詳解】（1）若方程兩根為，，則，且，，所以，即，所以或，經(jīng)檢驗滿足，故或.（2）令，若方程兩不等實根都小于5，則，可得或.【變式84】（2223高一上·四川成都·階段練習）已知函數(shù)．(1)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)求不等式的解集；(3)若存在使關于的方程有四個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、解含有參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）將，恒成立，轉化為，恒成立求解.（2）由，分，，，，討論求解.（3）由時，得到，令，將問題轉化為存在，有兩個不等正根求解.【詳解】（1）因為，恒成立，所以，恒成立；時，恒成立，滿足題意；時，只需，，即；綜上，實數(shù)的取值范圍是；（2）即，當時，即，解得：，所以不等式的解集為：；當時，即，，不等式的解集為：；當時，即，當時，，不等式解集為；當時，，不等式解集為；當時，，不等式解集為.綜上：當時，不等式的解集為：；當時，不等式的解集為：；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.（3）時，令，則存在，有四個不等實根，即有四個不等實根，令，時一個對應兩個；時一個對應一個；時無與之對應；則存在，有兩個不等正根，則，存在，，即存在，，即，且存在，，時，時最大值為，則，由可得，所以實數(shù)的取值范圍是.【考點題型九】用函數(shù)圖象刻畫變化過程【例9】（2324高一上·全國·課后作業(yè)）下圖是某校高一(1)班三名同學在高一學年度六次數(shù)學測試的成績及班級平均分表．

(1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關系；(2)根據(jù)表示出來的函數(shù)關系對這三位同學的學習情況進行分析．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）以測試序號為橫坐標，成績?yōu)榭v坐標描點即可的函數(shù)圖象；（2）根據(jù)各人成績與平均成績比較分析即可.【詳解】（1）不宜用解析法表示，用圖象法表示為宜．在同一個坐標系內畫出這四個函數(shù)的圖象如下：

（2）王偉同學的數(shù)學成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀．張城同學的數(shù)學成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大．趙磊同學的數(shù)學成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數(shù)學成績在穩(wěn)步提高．【變式91】(2022·廣東廣州檢測)如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是()【答案】B【解析】水位由高變低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故選B．【變式92】（2324高一上·貴州安順·期末）為了能在規(guī)定時間T內完成預期的運輸最，某運輸公司提出了四種運輸方案，每種方案的運輸量Q與時間t的關系如下圖（四個選項）所示，其中運輸效率（單位時間內的運輸量）逐步提高的選項是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意可得運輸效率逐步提高則函數(shù)增長逐漸加快判斷即可.【詳解】由題意，運輸效率逐步提高，即函數(shù)增長速率逐漸加快，選項B滿足.故選：B【變式93】（2023高一上·上?！ｎ}練習）如下圖所示，向高為的水瓶A，B，C，D同時以等速注水，注滿為止；若水深與注水時間的函數(shù)圖象如圖，則水瓶的形狀是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】依據(jù)水瓶的形狀來決定水面的高度上升的速率，由此得出結論．【詳解】A中的水瓶水面上升的速率越來越慢，不符合題意；B中的水瓶水面上升的速率越來越快，不符合題意；C中的水瓶的水面上升是均勻的，圖象是一條直線，不符合題意；D中的水瓶的水面上升的速率先變慢再變快，和給出的圖象相符，故選：D．【變式94】（2324高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）已知點A為某封閉圖形邊界上一定點，動點P從點A出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周．設點P運動的時間為x，線段的長度為y，表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖形的性質結合函數(shù)圖象的特點逐項分析判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知：函數(shù)圖象具有對稱性，故C錯誤；對于A：由等邊三角形可知：線段的長度先增大再減小，再增大，后減小，故A錯誤；對于D：由圓可知：線段的長度不會是線性變化，故D錯誤；對于C：由正方形可知：線段的長度先增大再減小，且一開始線性增大，符合題意，故B正確；故選：B.【考點題型十】已知函數(shù)模型解決實際問題【例10】（2324高一上·貴州·階段練習）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關系可近似的表示為已知此工廠的年產(chǎn)量最小為噸，最大為噸．(1)年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為萬元，且產(chǎn)品全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【答案】(1)年產(chǎn)量為噸時，最低平均成本為萬元(2)年產(chǎn)量為噸時，最大利潤為萬元【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)題意寫出生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得；（2）寫出利潤的解析式，由二次函數(shù)最值可求.【詳解】（1）由題意可得，，因為，當且僅當時，即時等號成立，符合題意.所以當年產(chǎn)量為噸時，平均成本最低為萬元．（2）設利潤為，則，又，當時，．所以當年產(chǎn)量為噸時，最大利潤為萬元．【變式101】（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知某出租車司機為升級服務水平，購入了一輛豪華轎車投入營運，據(jù)之前的市場分析得出每輛車的營運總利潤y（萬元）與營運年數(shù)x的關系為，則下列判斷正確的是（

）A．車輛營運年數(shù)越多，收入越高B．車輛在第6年時，總收入最高C．車輛在前5年的平均收入最高D．車輛每年都能盈利【答案】BC【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】由題可知二次函數(shù)開口向下，對稱軸為6，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質可以判斷；平均收入為，利用基本不等式即可求最大值，由此判斷C.【詳解】由題意，，是開口向下的二次函數(shù)，故A錯誤；對稱軸x=6，故B正確；平均收入，當且僅當時，等號成立，故C正確；當x＝1時，y＝－14，故D錯誤．故選：BC【變式102】（2324高一上·陜西·期中）某廠每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品萬件，其成本包含固定成本和浮動成本兩部分.已知每年固定成本為10萬元，浮動成本若每萬件該產(chǎn)品銷售價格為40萬元，且每年該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡.(1)設年利潤為（萬元），試求與的關系式;(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大?并求出最大利潤.【答案】(1)(2)年產(chǎn)量為10萬件時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為90萬元.【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、分段函數(shù)模型的應用【分析】（1）依題意得，即可得到分段函數(shù)；（2）分別求分段函數(shù)每一段的最大值即可求解．【詳解】（1）（2）當時，，當時，，故當時，取得最大值90.當年產(chǎn)量為10萬件時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為90萬元.【變式103】（2324高一上·浙江臺州·開學考試）某公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為22元，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內的日銷售量（件）與（天）的關系如表：時間（天）1361036日銷售量（件）9490847624未來40天內，前20天每天的價格（且為整數(shù)），后20天每天的價格（且為整數(shù)）．(1)請利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識，直接寫出日銷售量與時間（天）之間的關系式；(2)請預測示來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少?(3)在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈元利潤（）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天）的增大而增大，求的取值范圍．【答案】(1)(2)第18天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；(3)【知識點】待定系數(shù)法、利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分和兩種情況，根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，結合二次函數(shù)的性質可得；（3）根據(jù)前20天的售價由“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點式結合二次函數(shù)的性質和即可.【詳解】（1）通過表格可知m與x之間的關系為一次函數(shù)，設一次函數(shù)為，把和代入，解得，∴；把代入檢驗，，符合題意，∴日銷售量m與時間x（天）之間的關系式為；（2）設銷售利潤為W元，①當時，，∴當時，W有最大值450，②當時，，∴當時，W隨x增大而減小，∴時，，∵，∴未來40天中第18天日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；（3）由題意知二次函數(shù)開口向下，對稱軸是，要使日銷售利潤隨時間x的增大而增大，則，∴，又，∴．【變式104】（2223高一下·江西宜春·開學考試）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源耗損，建筑物的外墻需要建造隔熱層，現(xiàn)某建筑物要建造可使用20年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為萬元，該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關系，若不建隔熱層，則該建筑物每年的能源消費費用為萬元，設為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和.(1)請寫出的表達式；(2)隔熱層多厚時，達到最小，并求出其最小值.【答案】(1)(2)當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值為70萬元．【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）將建造費用和能源消耗費用相加得出的解析式；（2）利用基本不等式得出的最小值及對應的x的值.【詳解】（1）設隔熱層厚度為，由題設，每年能源消耗費用為.再由，得，因此.而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（2），當，即時取等號，所以當隔熱層厚度為時總費用最小萬元.【考點題型十一】構建函數(shù)模型解決實際問題【例11】（2324高一上·廣東佛山·階段練習）如圖所示，某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內建一個長方形公園ABCD，公園由長方形的休閑區(qū)（陰影部分）和環(huán)公園人行道組成.已知長方形休閑區(qū)的面積為，人行道的寬分別為4m和10m.(1)設長方