2020-2021學年天津市紅橋區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年天津市紅橋區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．i是虛數(shù)單位，計算的結果為（）A． B．i C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則計算即可【詳解】,故選:A.2．已知向量，，若，則實數(shù)m的值為（）A．4 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，解得：.故選：B.3．i是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則z的共軛復數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共軛復數(shù)的定義：與(互為共軛即得【詳解】因為，所以，故選：C.4．為了了解全校240名高一學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量，下列說法正確的是（）A．總體是240名學生 B．個體是每一個學生C．樣本是40名學生 D．樣本量是40【答案】D【分析】在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量這四個概念時，首先找出考查的對象是學生的身高，從而找出總體、個體，接著根據(jù)被收錄數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后根據(jù)樣本確定樣本容量．【詳解】解：本題考查的對象是240名學生的身高情況，故總體是240名學生的身高情況；個體是每個學生的身高情況；樣本是40名學生的身高情況；故樣本容量是40.故選：D．5．已知向量,且，則（）A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】利用空間向量平行的條件:坐標對應成比例，列式求得的值，進而得解.【詳解】∵向量,且，∴,解得.∴,故選：.6．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關系是A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù) B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù) C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù) D．眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)【答案】D【分析】分別求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)，比較大小即可得結果.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為50，所以它們的大小關系是平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故選D．【點睛】本題主要考查樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)，意在考查對基本概念的掌握情況，屬于基礎題.7．已知向量，，若與垂直，則A． B． C．2 D．4【答案】C【詳解】試題分析：因為兩向量垂直，所以，即，代入坐標運算：，解得：，所以．【解析】向量數(shù)量積的坐標運算8．設是直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】由線面平行的性質和面面平行的判定可判斷選項A；由面面垂直的性質定理和線面平行的性質可判斷選項B；由面面垂直的性質定理和線面位置關系可判斷選項C；由線面平行的性質和面面垂直的判定定理可判斷選項D；【詳解】對于選項A：若，，則或與相交，故選項A不正確；對于選項B：若，，則或，故選項B不正確；對于選項C：若，，則或或與相交，故選項C不正確；對于選項D：若，由線面平行的性質定理可得過的平面，設，則，所以，再由面面垂直的判定定理可得，故選項D正確；故選：D9．長方體的體積是120，若E為的中點，則三棱錐的體積為（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】A【分析】利用棱錐、棱柱的體積關系即可求得.【詳解】，故選：A.二、填空題10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．為掌握各類超市的營業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，應抽取中型超市__________家．【答案】20【詳解】試題分析：根據(jù)所給的三種超市的數(shù)目，相加得到共有的超市數(shù)目，根據(jù)要抽取的超市數(shù)目，得到每個個體被抽到的概率，用中等超市的數(shù)目乘以被抽到的概率，得到結果．解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，∴每個個體被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家，故答案為20．點評：本題考查分層抽樣，這是一個每年必考的題目，解題的關鍵是抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等．11．是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為____________.【答案】【詳解】試題分析：由復數(shù)的運算可知，是純虛數(shù)，則其實部必為零，即，所以.【解析】復數(shù)的運算.12．已知，，若，則與夾角的大小為_________．【答案】120°【分析】直接使用平面向量夾角公式計算即可.【詳解】設與夾角為所以由，所以，即故答案為：13．在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，則角B的大小為___________【答案】【分析】利用余弦定理結合已知條件求的余弦值即得結果.【詳解】因為，所以，又△中，，故，故答案為：.14．棱長為1的正方體的頂點都在同一個球面上，則該球面的表面積為__________【答案】【分析】棱長為1的正方體的八個頂點都在同一個球面上，球的直徑是正方體的對角線，從而得到結果．【詳解】∵棱長為1的正方體的八個頂點都在同一個球面上，∴球的直徑是正方體的對角線，∴球的半徑是r，∴球的表面積是43π故答案為3π【點睛】本題考查球內接多面體，注意在立體幾何中，球與正方體的關系有三種，這是其中一種，還有球和正方體的面相切，球和正方體的棱相切，注意把三個題目進行比較．15．已知菱形的邊長為，，點分別在邊上，，.若，則的值為__________【答案】.【分析】根據(jù)向量的基本定理，結合數(shù)量積的運算公式，建立方程即可得到結論．【詳解】∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴，，，，∵菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，?2×2×cos120°＝﹣2，∵?1，∴（）?（）（1）?1，即44﹣2（1）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案為2．【點睛】本題主要考查向量的基本定理的應用，以及數(shù)量積的計算，要求熟練掌握相應的計算公式．三、解答題16．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若.（1）求a，c的值；（2）求△ABC的面積【答案】（1）;（2）.【分析】（1）由已知條件，利用余弦定理即可求出c的值,進而求得；（2）利用三角形面積公式計算．【詳解】（1），,,;（2）△ABC的面積.17．在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大?。海?）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長.【答案】（1）;（2）△ABC的周長為8.【分析】（1）由正弦定理邊化角，可得的值，可得角A的大??；（2）由△ABC的面積及角A的值，可得的值，由余弦定理可得的值，可得△ABC的周長.【詳解】解：（1）由及正弦定理，得，因為，所以，又為銳角所以.（2）由△ABC的面積為，得，又，所以.在△ABC中，由余弦定理，得，因為a=3，所以，所以，所以，即△ABC的周長為8.18．四棱錐中，底面為矩形底面，點M是側棱的中點，.（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）60°；（2）.【分析】（1）解法一：如圖，作SP∥DC,且SP=DC,則CDSP為正方形，連接PC,取PC中點N,連接MN,BN,易得∠BMN即為所求角，利用線面垂直的判定與性質證得MN⊥BN,進而得解；解法二：以D為原點，所在的射線為軸，建立如圖所示的直角坐標系.利用空間向量運算求解；（2）先利用空間向量的垂直的條件列方程組求得二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后利用向量的夾角坐標運算公式求得法向量的夾角余弦值，進而利用平方關系求得正弦值.【詳解】（1）解法一：如圖，作SP∥DC,且SP=DC,則CDSP為正方形，連接PC,取PC中點N,連接MN,BN,則MN∥CD,MN=1,BN=,DC⊥BC,DC值PC,∴DC⊥平面BCN,∴MN⊥BN,∴∠BMN=60°，即異面直線與所成角的大小為60°；解法二：以D為原點，所在的射線為軸，建立如圖所示的直角坐標系.則,,,∴異面直線與所成角的大小為60°；（2）設平面SAM的法向量為,由,得,化簡得，令,得;設平面AMB的法向量為,由,得,化簡得，令,得;,∴二面角的正弦值為.【點睛】本題考查異面直線所成的角，二面角問題，求異面直線所成的角，既可以用幾何方法求解，也可以用坐標方法求解，求二面角的平面角問題，簡單的情況可以直接利用幾何方法求解，類似此題中的二面角，則利用幾何方法求解就比較麻煩了，建議使用空間坐標系求解，只需進行簡單的單運算，大大降低了難度，而空間向量的運算與平面向量幾乎沒有區(qū)別，易于掌握.19．如圖，四邊形是正方形，平面，，，，，分別為，，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；（3）在線段上是否存在一點，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【詳解】試題分析：建立平面直角坐標系，由，，證得平面建立空間直角坐標系，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角與二面角相等或互補，由兩個平面法向量所成的角求解二面角的大??；⑶假設存在點，由共線向量基本定理得到點的坐標，其中含有一個未知量，然后利用直線與直線所成角為轉化為兩向量所成的角為，由兩向量的夾角公式求出點的坐標，得到的點的坐標符合題意，說明假設成立，最后得到結論．解析：（1）∵平面，，∴平面，∴，，又四邊形是正方形，∴，故，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角