2025屆湖南省長沙市鐵路第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆湖南省長沙市鐵路第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)2．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，3．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.4．拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.45．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動點P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.226．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件7．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.8．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.9．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對是（）A. B.C. D.10．已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.11．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A B.C. D.12．過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標(biāo)為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，都為正實數(shù)，，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______14．兩條平行直線與的距離是__________15．類比教材中推導(dǎo)球體積公式的方法，試計算橢圓T：繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所形成的旋轉(zhuǎn)體(我們稱為橄欖球)的體積為________.16．直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點的軌跡方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心C的坐標(biāo)為，且是圓C上一點（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線l被圓C所截得的弦長為，求直線l的方程18．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.19．（12分）已知等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項和，且.（1）求{}和{}的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列{}的前n項和為.求證：.20．（12分）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是銳角三角形，求c的值21．（12分）某港口船舶?？康姆桨甘窍鹊较韧?，且每次只能?？恳凰掖?（1）若甲乙兩艘船同時到達港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機選一個數(shù)，若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則甲先?？?；若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則乙先?？?，這種方式對雙方是否公平？請說明理由；（2）若甲、乙兩船在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個不同點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點則實數(shù)a的取值范圍是（0，）故選B2、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D3、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A4、B【解析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.5、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動點P到定點的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因為直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點，所以設(shè)，則，因為，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因為表示內(nèi)切圓上的動點P到定點的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.6、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發(fā)生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項D不正確；A與D不可能同時發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項C正確故選：C.7、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B8、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)9、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對是，故選：10、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A11、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解【詳解】由已知，故選：D12、B【解析】根據(jù)拋物線的定義求解【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用等比中項及條件可得，進而可得，再利用基本不等式即得.【詳解】∵，，都為正實數(shù)，，，成等比數(shù)列，∴，又，∴，即，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故答案為：.14、5【解析】根據(jù)兩平行直線，可求得a值，根據(jù)兩平行線間距離公式，即可得答案.【詳解】因為兩平行直線與，所以，解得，所以兩平行線的距離.故答案為：515、【解析】類比球的體積公式的方法，將橄欖球細(xì)分為無數(shù)個小圓柱體疊加起來【詳解】設(shè)橢圓的方程為：，則令（根據(jù)對稱性，我們只需算出軸上半部分的體積）不妨設(shè)，按照平均分為等份，則每一等份都是相同高度的圓柱體，第1個圓柱體的體積的半徑為：第2個圓柱體的體積的半徑為：第個圓柱體的體積的半徑為：則第個圓柱體的體積為：化簡可得：則有：根據(jù)可得：當(dāng)時，則有：故橢圓繞著軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積為：而題意中，則橢圓繞著軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積為故答案為：16、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據(jù)M為線段AB的中點結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設(shè)，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點當(dāng)直線l的斜率不存在時，，直線也過定點點D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點D軌跡方程為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）計算圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先驗證斜率不存在時，是否滿足題意，再分析斜率存在時，利用點到直線距離求出斜率即可得解.【小問1詳解】由題意得：所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l的方程為，此時所截得的線段的長為，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為，即，圓心到直線l的距離，由題意，得，解得，∴直線l的方程為，即綜上，直線l的方程為或18、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設(shè)線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據(jù)弦長求出l方程.【小問1詳解】設(shè)線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設(shè)直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.19、（1）（2）證明見解析【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數(shù)列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得，，即，解得，數(shù)列的前項和，且，時，，化為：，，數(shù)列是每項都為1的常數(shù)列，，化為【小問2詳解】證明：，數(shù)列的前項和為，20、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理邊化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后檢驗可得.【小問1詳解】，即或【小問2詳解】因為是銳角三角形，所以因為所以由余弦定理得：即，解得或若，則，所以，不滿足題意；若，因為，且，所以，此時是銳角三角形.所以.21、（1）不公平，理由見解析.（2）【解析】（1）通過計算概率來進行判斷.（2）利用幾何概型計算出所求概率.【小問1詳解】兩數(shù)之和為奇數(shù)的概率為，兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率為，兩個概率不相等，所以不公平.【小問2詳解】設(shè)甲到的時刻為，乙到的時刻為，則，若它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出，則或，畫出可行域如下圖陰影部分所示，所以所求的概率為：.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個不同