2024中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專練相似含解析

熱點(diǎn)16相像【命題趨勢(shì)】相像是初中數(shù)學(xué)中比較難的一塊內(nèi)容，是中考必考內(nèi)容，也是壓軸題?？純?nèi)容，所以每年中考，不論是哪個(gè)城市的中考試卷，相像都是一個(gè)重頭戲。相像在中考數(shù)學(xué)試卷中所占比例較大，一般難度都是比較大的，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用學(xué)問(wèn)的實(shí)力要求也更高，所以要嫻熟駕馭這部分學(xué)問(wèn)及其常見(jiàn)題型對(duì)在中考中取得優(yōu)異的成果至關(guān)重要。它往往與圖形的三種運(yùn)動(dòng)變換或者與二次函數(shù)，反比例函數(shù)相結(jié)合而形成壓軸題。【滿分技巧】整體把握有關(guān)相像的學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)1.相像三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相像三角形。2.相像三角形的判定方法:eq\o\ac(○,1).平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長(zhǎng)線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相像；

eq\o\ac(○,2).假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相像；

eq\o\ac(○,3.)假如兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相像；

eq\o\ac(○,4.)假如兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相像；3.直角三角形相像判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相像。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相像，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相像。4.相像三角形的性質(zhì):eq\o\ac(○,1).相像三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相像比。

eq\o\ac(○,2.)相像三角形周長(zhǎng)的比等于相像比。

eq\o\ac(○,3).相像三角形面積的比等于相像比的平方。二．把握中考?？枷嘞衲Ｐ汀鞠迺r(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘）一、選擇題1.如圖，在一斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一個(gè)正方形CDEF，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2【答案】D【解析】設(shè)AF＝x，則AC＝3x，∵四邊形CDEF為正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面積＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故選：D．2.把邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為 【答案】A【解析】如圖，∵AD//CG故選A3.如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，則BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【答案】B【解析】如圖，過(guò)O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中點(diǎn)，∴G是DC的中點(diǎn)．又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2，設(shè)S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，∵AD：DC＝1：2，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四邊形CDOE＝7S，∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，∴故選：B．4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AM交DE于點(diǎn)N，則（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故選：C．5.正方形ABCD的邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過(guò)點(diǎn)D．在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．始終變大 D．保持不變【答案】D【解析】∵正方形ABCD和矩形ECFG中，∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，∴∠DCF＝∠ECB，∴△BCE∽△FCD，∴，∴CF?CE＝CB?CD，∴矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等．故選：D．6.如圖1，長(zhǎng)、寬均為3，高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，則圖2中水面高度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BG于F，如圖所示：設(shè)DE＝x，則AD＝8﹣x，依據(jù)題意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故選：A．7.下列命題是真命題的是（）A．假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為2：3 B．假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4：9 C．假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的面積比為2：3 D．假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的面積比為4：9【答案】B【解析】A、假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4：9，是假命題；B、假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4：9，是真命題；C、假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的面積比為16：81，是假命題；D、假如兩個(gè)三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個(gè)三角形的面積比為16：81，是假命題；故選：B．8.如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故選：C．9.(2024廣西玉林市)如圖，，，與交于點(diǎn)，則是相像三角形共有A．3對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【答案】C【解析】圖中三角形有：，，，，，共有6個(gè)組合分別為：，，，，，故選：C．10.如圖，D、E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AE＝3，故選：C．二、填空題11.如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE＝2BE，點(diǎn)M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝．【答案】6【解析】作PF⊥MN于F，如圖所示：則∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝，BD＝＝10，∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴PD＝AD＝，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴＝，即＝，解得：PF＝，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴＝＝2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案為：6．12.已知三個(gè)邊長(zhǎng)分別為，，的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為．【答案】3.75cm2【解析】對(duì)角線所分得的三個(gè)三角形相像，依據(jù)相像的性質(zhì)可知，解得，即陰影梯形的上底就是．再依據(jù)相像的性質(zhì)可知，解得：，所以梯形的下底就是，所以陰影梯形的面積是．故答案為：．13.如圖，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥EP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為．【答案】4【解析】∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．設(shè)CQ＝y(tǒng)，BP＝x，則CP＝12﹣x．∴，化簡(jiǎn)得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以當(dāng)x＝6時(shí)，y有最大值為4．故答案為4．14.如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點(diǎn)E，H在AD邊上，點(diǎn)F，G在BC邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A′點(diǎn)，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D′點(diǎn)，若∠FPG＝90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于．【答案】2（5+3）【解析】∵四邊形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，設(shè)AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，∴A′E＝4D′H，設(shè)D′H＝a，則A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍棄），∴PA′＝PD′＝2a，∵?a?2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面積＝2（5+3）．故答案為2（5+3）三、解答題：15.如圖，中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)到三角形的邊，，的距離分別為，，，求證．【解析】（1），，又，又，（2）在中，，（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交、于點(diǎn)，，，，，，，又，，，即，，，．即：．16.已知△ABC和點(diǎn)A'，如圖．（1）以點(diǎn)A'為一個(gè)頂點(diǎn)作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面積等于△ABC面積的4倍；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，D'、E'、F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B'、B'C'、C'A'的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△D'E'F'．【解析】（1）作線段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．證明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△