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PAGE§2導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第30頁[自主梳理]生活中的變更率問題1.在物理學(xué)中,通常稱力在單位時(shí)間內(nèi)做的功為______,它的單位是________.2.在氣象學(xué)中,通常把在單位時(shí)間(如1時(shí)、1天等)內(nèi)的降雨量稱作________,它是反映一次________的一個(gè)重要指標(biāo).3.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,通常把生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為________,f′(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),生產(chǎn)成本的增加速度,也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量,須要增加f′(x0)個(gè)單位的成本.[雙基自測(cè)]1.假如物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)=2(1-t)2,則其在t=4s時(shí)的瞬時(shí)速度為()A.12 B.-12 C.4 D.-2.某河流在一段時(shí)間xmin內(nèi)流過的水量為ym3,y是x的函數(shù),y=f(x)=eq\r(3,x),當(dāng)x從1變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變更率為(單位:m3/min)()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,7) D.eq\f(2,3)3.某吊裝設(shè)備在工作時(shí)做的功W(單位:J)是時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),設(shè)這個(gè)函數(shù)可表示為W(t)=t3-2t+6,則在t=2時(shí)此設(shè)備的功率為________W.4.網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員用球拍擊打網(wǎng)球后,在起先的一段時(shí)間內(nèi)網(wǎng)球的運(yùn)動(dòng)路程s(m)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為s=-t2+50t,則在擊球后5s,網(wǎng)球的速度為________m/s.[自主梳理]1.功率瓦特2.降雨強(qiáng)度降雨大小3.邊際成本[雙基自測(cè)]1.As′(t)=-4(1-t).t=4s時(shí),s′(4)=12.所以瞬時(shí)速度為12.2.C當(dāng)x從1變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變更率為eq\f(f(8)-f(1),8-1)=eq\f(2-1,7)=eq\f(1,7)(m3/min),它表示時(shí)間從1min增加到8min的過程中,每增加1min水流量平均增加eq\f(1,7)m3.3.10W′(t)|t=2=(3t2-2)|t=2=10.4.40s′|t=5=(-2t+50)|t=5=40.授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第31頁探究一導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用[例1]自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為s=eq\f(1,2)gt2.(1)求t從3s變到3.1s時(shí),s關(guān)于時(shí)間t的平均變更率,并說明它的實(shí)際意義;(2)求s′(3)(s的單位為m,t的單位為s).[解析](1)Δs=s(3.1)-s(3)=eq\f(1,2)g×3.12-eq\f(1,2)g×32=0.305g(m),Δt=3.1-3=0.1(s),∴eq\f(Δs,Δt)=eq\f(0.305g,0.1)=3.05g(m/s).它表示在t=3s到t=3.1s這段時(shí)間內(nèi),自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的平均速度為3.05g(m/s).(2)s′=gt,∴s′(3)=3g(m/s).它表示自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為3g(m/s路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度,速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是加速度.1.假如一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A起先運(yùn)動(dòng),在時(shí)間t的位移函數(shù)是y=s(t)=3+t3.求:(1)t=4時(shí),物體的位移s(4);(2)t=3到t=4的平均速度\s\up6(-(-)eq\o(v,\s\up6(-));(3)t=4時(shí),物體的速度v(4);(4)t=4時(shí),物體的加速度a(4).解析:(1)s(4)=3+43=67.(2)s(3)=3+33=30,\s\up6(-(-)eq\o(v,\s\up6(-))=eq\f(67-30,1)=37.(3)s′(t)=3t2,v(4)=s′(4)=48.(4)v(t)=3t2,則a(t)=v′(t)=6t,∴a(4)=24.探究二導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用[例2]一底半徑為rcm,高為hcm的倒立圓錐容器,若以ncm3/s的速率向容器內(nèi)注水,求液面高度的瞬時(shí)變更率.[解析]如圖,設(shè)注水ts時(shí),水面的高度為y,水面半徑為x,則eq\f(y,h)=eq\f(x,r),∴x=eq\f(r,h)y,∴tn=eq\f(π,3)x2y,∴體積tn=eq\f(π,3)·eq\f(r2,h2)y3,∴y=eq\r(3,\f(3tnh2,πr2))=eq\r(3,\f(3nh2,πr2))·eq\r(3,t).∴液面高度的瞬時(shí)變更率為v=y(tǒng)′t=eq\r(3,\f(3nh2,πr2))·eq\f(1,3)t-eq\f(2,3).實(shí)際生活中的一些問題,如在生活和生產(chǎn)及科研中常常遇到的成本、用料、效率和利潤(rùn)等問題,在探討其變更量時(shí)常用導(dǎo)數(shù)解決.2.某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)實(shí)力為每日100件,假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系式為C(x)=eq\f(1,4)x2+60x+2050.求:(1)日產(chǎn)量為75件時(shí)的總成本和平均成本;(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí),總成本的平均變更量;(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本.解析:(1)日產(chǎn)量為75件時(shí)的總成本和平均成本分別為C(75)=7956.25(元),eq\f(C(75),75)≈106.08(元/件).(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí),總成本的平均變更量eq\f(ΔC,Δx)=eq\f(C(90)-C(75),90-75)=101.25(元/件).(3)∵C′(x)=eq\f(1,2)x+60,∴當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本C′(75)=97.5(元/件).瞬時(shí)速度、平均速度概念混淆致誤[例3]一做直線運(yùn)動(dòng)的物體,其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s=3t-t2.(1)求此物體的初速度;(2)求此物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度;(3)求t=0到t=2時(shí)的平均速度.[解析](1)s′=(3t)′-(t2)′=3-2t,t=0時(shí),v0=s′(0)=3-2×0=3.(2)t=2時(shí),v2=s′(2)=3-2×2=-1.(3)eq\x\to(v)=eq
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