2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.2.1實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE§2導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用2．1實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁[自主梳理]生活中的變更率問題1．在物理學(xué)中，通常稱力在單位時間內(nèi)做的功為______，它的單位是________．2．在氣象學(xué)中，通常把在單位時間(如1時、1天等)內(nèi)的降雨量稱作________，它是反映一次________的一個重要指標(biāo)．3．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常把生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為________，f′(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時，每增加一個單位的產(chǎn)量，須要增加f′(x0)個單位的成本．[雙基自測]1．假如物體做直線運(yùn)動的方程為s(t)＝2(1－t)2，則其在t＝4s時的瞬時速度為()A．12 B．－12 C．4 D．－2．某河流在一段時間xmin內(nèi)流過的水量為ym3，y是x的函數(shù)，y＝f(x)＝eq\r(3,x)，當(dāng)x從1變到8時，y關(guān)于x的平均變更率為(單位：m3/min)()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,7) D.eq\f(2,3)3．某吊裝設(shè)備在工作時做的功W(單位：J)是時間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個函數(shù)可表示為W(t)＝t3－2t＋6，則在t＝2時此設(shè)備的功率為________W.4．網(wǎng)球運(yùn)動員用球拍擊打網(wǎng)球后，在起先的一段時間內(nèi)網(wǎng)球的運(yùn)動路程s(m)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系為s＝－t2＋50t，則在擊球后5s，網(wǎng)球的速度為________m/s.[自主梳理]1．功率瓦特2.降雨強(qiáng)度降雨大小3.邊際成本[雙基自測]1．As′(t)＝－4(1－t)．t＝4s時，s′(4)＝12.所以瞬時速度為12.2．C當(dāng)x從1變到8時，y關(guān)于x的平均變更率為eq\f(f(8)－f(1),8－1)＝eq\f(2－1,7)＝eq\f(1,7)(m3/min)，它表示時間從1min增加到8min的過程中，每增加1min水流量平均增加eq\f(1,7)m3.3．10W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.4．40s′|t＝5＝(－2t＋50)|t＝5＝40.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁探究一導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用[例1]自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為s＝eq\f(1,2)gt2.(1)求t從3s變到3.1s時，s關(guān)于時間t的平均變更率，并說明它的實際意義；(2)求s′(3)(s的單位為m，t的單位為s)．[解析](1)Δs＝s(3.1)－s(3)＝eq\f(1,2)g×3.12－eq\f(1,2)g×32＝0.305g(m)，Δt＝3.1－3＝0.1(s)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(0.305g,0.1)＝3.05g(m/s)．它表示在t＝3s到t＝3.1s這段時間內(nèi)，自由落體運(yùn)動的物體的平均速度為3.05g(m/s)．(2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)．它表示自由落體運(yùn)動的物體在t＝3s時的瞬時速度為3g(m/s路程對時間的導(dǎo)數(shù)是速度，速度對時間的導(dǎo)數(shù)是加速度．1．假如一個質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A起先運(yùn)動，在時間t的位移函數(shù)是y＝s(t)＝3＋t3.求：(1)t＝4時，物體的位移s(4)；(2)t＝3到t＝4的平均速度\s\up6(－(－)eq\o(v,\s\up6(－))；(3)t＝4時，物體的速度v(4)；(4)t＝4時，物體的加速度a(4)．解析：(1)s(4)＝3＋43＝67.(2)s(3)＝3＋33＝30，\s\up6(－(－)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(67－30,1)＝37.(3)s′(t)＝3t2，v(4)＝s′(4)＝48.(4)v(t)＝3t2，則a(t)＝v′(t)＝6t，∴a(4)＝24.探究二導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用[例2]一底半徑為rcm，高為hcm的倒立圓錐容器，若以ncm3/s的速率向容器內(nèi)注水，求液面高度的瞬時變更率．[解析]如圖，設(shè)注水ts時，水面的高度為y，水面半徑為x，則eq\f(y,h)＝eq\f(x,r)，∴x＝eq\f(r,h)y，∴tn＝eq\f(π,3)x2y，∴體積tn＝eq\f(π,3)·eq\f(r2,h2)y3，∴y＝eq\r(3,\f(3tnh2,πr2))＝eq\r(3,\f(3nh2,πr2))·eq\r(3,t).∴液面高度的瞬時變更率為v＝y(tǒng)′t＝eq\r(3,\f(3nh2,πr2))·eq\f(1,3)t－eq\f(2,3).實際生活中的一些問題，如在生活和生產(chǎn)及科研中常常遇到的成本、用料、效率和利潤等問題，在探討其變更量時常用導(dǎo)數(shù)解決．2．某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)實力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系式為C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求：(1)日產(chǎn)量為75件時的總成本和平均成本；(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時，總成本的平均變更量；(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時的邊際成本．解析：(1)日產(chǎn)量為75件時的總成本和平均成本分別為C(75)＝7956.25(元)，eq\f(C(75),75)≈106.08(元/件)．(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時，總成本的平均變更量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C(90)－C(75),90－75)＝101.25(元/件)．(3)∵C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴當(dāng)日產(chǎn)量為75件時的邊際成本C′(75)＝97.5(元/件)．瞬時速度、平均速度概念混淆致誤[例3]一做直線運(yùn)動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s＝3t－t2.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；(3)求t＝0到t＝2時的平均速度．[解析](1)s′＝(3t)′－(t2)′＝3－2t，t＝0時，v0＝s′(0)＝3－2×0＝3.(2)t＝2時，v2＝s′(2)＝3－2×2＝－1.(3)eq\x\to(v)＝eq