第二章 軸對稱圖形（12類題型突破）

第二章軸對稱圖形（題型突破）題型一軸對稱圖形的識別【例1】作出下列各圖形的一條對稱軸【例2】如果正三角形有條對稱軸，那么_____．鞏固訓(xùn)練：1．圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．82．對稱軸最多的圖形是（）A．圓 B．長方形 C．正方形 D．等邊三角形3．某校學(xué)生為校運動會設(shè)計會標(biāo)，在以下四個標(biāo)志中，不是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．題型二鏡面對稱問題【例3】如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實際時刻是（）A． B． C． D．【例4】小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示，實際時間是()A． B． C． D．【例5】如圖是從鏡子里看到的號碼，則實際號碼應(yīng)是______．鞏固訓(xùn)練：4．小明在鏡中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時的是下圖中的（）A． B．C． D．5．如圖，從汽車的后視鏡中看見某車牌號的5位號碼的車牌號為_________．6．小明照鏡子時，發(fā)現(xiàn)衣服上的英文單詞在鏡子呈現(xiàn)為“”，則這串英文字母是___________．題型三軸對稱的性質(zhì)【例6】如圖，與關(guān)于直線對稱，交于點，下列結(jié)論①；②；③中，正確的有（）

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【例7】如圖，已知點A、B是直線同側(cè)兩點，點、A關(guān)于直線對稱．連接交直線于點P，連接．若，則的長為（）

A． B． C． D．無法確定【例8】如圖，在內(nèi)，點、分別是點關(guān)于、的對稱點．如果的周長為12，則的長為（）A．6 B．12 C．15 D．18鞏固訓(xùn)練：7．如圖所示，點P為內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于的對稱點，連接交于M，交于N，，則的周長為_______．8．如圖，和關(guān)于直線對稱，已知，，．求的度數(shù)及、的長度．題型四折疊問題【例9】將長方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，則的度數(shù)為______．

【例10】如圖，將長方形沿線段折疊到的位置，若，則∠DFC′的度數(shù)為（）A． B． C． D．【例11】如圖，將沿直線折疊后，使得點與點重合，若，的長為12，則的周長為（）

A．17 B．10 C．12 D．22鞏固訓(xùn)練：9．如圖，將折疊，使點C與點B重合，折痕l與邊交于點D，連接，則是的（）A．角平分線 B．高線 C．中線 D．無法確定10．如圖，將長方形紙片沿直線折疊，點的對應(yīng)點為點，與交于點．若，則的度數(shù)是______．

11．把一張寬度相等的紙條按如圖所示的方式折疊，則的度數(shù)等于______．

題型五垂直平分線的性質(zhì)【例12】甲、乙、丙三家分別位于的三個頂點處，現(xiàn)要建造一個核酸檢測點，使得三家到核酸檢測點的距離相等，則核酸檢測點應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線的交點【例13】如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（）A．7 B．6 C．12 D．8【例14】如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，點F是DE上任意一點，△BCF的周長的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【例15】已知中，，、的垂直平分線分別交于、，與分別交于點、．求：(1)的度數(shù)．(2)求的周長．鞏固訓(xùn)練：12．如圖，，，表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個文化廣場，使它到三個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在（）A．，兩邊高線的交點處 B．，兩邊中線的交點處C．，兩邊垂直平分線的交點處 D．，兩內(nèi)角平分線的交點處13．如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于，兩點，與相交于點．(1)若，則的周長為______；(2)若，求的度數(shù)．14．如圖，在中是的垂直平分線，，的周長為，求的周長．15．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，交邊于點，則的周長為____．題型六角平分線的性質(zhì)【例16】如圖，平分于點D，點E為射線上一動點，若，則的最小值為__．【例17】如圖，于E，于F，平分，若，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【例18】如圖，在中，，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．若，．(1)求的度數(shù)；(2)求的周長．【例19】如圖，是中的平分線，，交于點，，交于點．若，，，則的長是（）A．4 B．3 C．6 D．5【例20】三角形內(nèi)到三邊的距離相等的點是（）A．三條中線的交點 B．三條高的交點C．三條角平分線的交點 D．以上均不對鞏固訓(xùn)練：16．如圖，四邊形中，，點E為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：．17．如圖，在中，D，E分別為，邊上一點，連接，，，過點E向作垂線，交的延長線于點F．已知平分．平分，．

(1)求證：平分；(2)若，，，求．18．黃河社區(qū)是由三條路圍成的小型社區(qū)，現(xiàn)在越來越多的人們選擇購買電動汽車，為了讓生活設(shè)施跟上時代的發(fā)展，黃河社區(qū)準(zhǔn)備在社區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電點．現(xiàn)社區(qū)人員計劃將充電點建設(shè)在到三條路的距離相等的位置，則充電點應(yīng)該建在三角形（）A．三個角的平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處19．如圖，O是內(nèi)一點，且O到三邊的距離相等（即），若，則（）A．110° B．120° C．130° D．140°20．如所示圖形中，若，能判斷點在的平分線上的是（）A． B．C． D．題型七作圖【例21】如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經(jīng)濟，甲、乙兩工廠準(zhǔn)備合建一個倉庫，經(jīng)協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個要求：①到兩工廠的距離相等；②在內(nèi)，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）【例22】如圖，兩公路與相交于點O，兩公路內(nèi)側(cè)有兩工廠C和D，現(xiàn)要修建一貨站使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）【例23】用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，某小區(qū)綠化帶內(nèi)部有兩個噴水臂、，現(xiàn)欲在內(nèi)部建一個水泵，使得水泵到，的距離相等，且到兩個噴水管、的距離也相等，請你在圖中標(biāo)出水泵的位置．鞏固訓(xùn)練：21．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（保留作圖痕跡）22．如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你用尺規(guī)作出燈柱的位置點．（請保留作圖痕跡）23．如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路），現(xiàn)計劃在∠AOB內(nèi)部修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案．題型八等腰三角形三線合一【例24】如圖，、分別是的中線和角平分線，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【例25】如圖，在中，，，于點E，若，的周長為10，則的長為（）A． B．3 C． D．4鞏固訓(xùn)練：24．等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是（）A．過頂點的直線 B．腰上的中線所在的直線C．腰上的高線所在的直線 D．頂角的平分線所在的直線25．如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接、．

(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．題型九等腰三角形度數(shù)【例26】已知是等腰三角形．若，則的頂角度數(shù)是________．鞏固訓(xùn)練：26．在中，，是邊上的高，，則的度數(shù)為____________．題型十等腰三角形外角問題【例27】如圖，在第1個中，；在邊上任取一點D，延長到A2，使，得到第2個；在邊上任取一點E，延長到A3，使，得到第3個；……按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：27．如圖，，點在射線上，點在射線上，，均為等邊三角形．若，則的邊長為（）A． B． C． D．28．如圖，已知是等邊三角形，點B，C，D，F(xiàn)在同一條直線上，，，求的度數(shù)．

題型十一等腰三角形個數(shù)和格點問題【例28】在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點上找一點P，使為等腰三角形，則點P有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【例29】如圖中的大長方形都是由邊長為1的小正方形組成，其中每個正方形的頂點稱之為格點，若、、三點均在格點上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數(shù)有（）

A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【例30】如圖，在中，，，是的角平分線，則圖中的等腰三角形共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓(xùn)練：29．如圖，線段、互相垂直平分，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個30．如圖，是的平分線，，交于E，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個31．如圖，下列4個三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④題型十十二直角三角形性質(zhì)問題【例31】如圖，在中，，D為中點，若，則的長是（）A．6 B．5 C．4 D．3【例32】如圖，在中，，，垂足為，是的中點．若，則的長為______．

鞏固訓(xùn)練：32．在中，，，，點為的中點，則為_____________．33．在中，，為的中點，且，則________cm．

第二章軸對稱圖形（題型突破）答案全解全析題型一軸對稱圖形的識別【例1】作出下列各圖形的一條對稱軸

【答案】見解析【分析】依據(jù)軸對稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)分析畫各圖的對稱軸如下：

．【例2】如果正三角形有條對稱軸，那么_____．【答案】3【分析】根據(jù)軸對稱的定義進行判斷即可．【詳解】解：正三角形有3條對稱軸，即．故答案為：3．鞏固訓(xùn)練：1．圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．【詳解】解：由圖可知，該圖形有6條對稱軸；故選：C2．對稱軸最多的圖形是（）A．圓 B．長方形 C．正方形 D．等邊三角形【答案】A【分析】依據(jù)軸對稱圖形的意義，即在同一個平面內(nèi)，一個圖形沿某條直線對折，對折后的兩部分都能完全重合，則這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸，據(jù)此解答即可．【詳解】解：圓有無數(shù)條對稱軸，長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸；故選：A．3．某校學(xué)生為校運動會設(shè)計會標(biāo)，在以下四個標(biāo)志中，不是軸對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項判斷即可解答．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：C．題型二鏡面對稱問題【例3】如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實際時刻是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】鏡子中的時間和實際時間關(guān)于鐘表上過6和12的直線對稱，作出相應(yīng)圖形，即可得到準(zhǔn)確時間．【詳解】解：由圖中可以看出，此時的時間為．故選：B．【例4】小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示，實際時間是()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與成軸對稱，所以此時實際時刻為，故選：B．【例5】如圖是從鏡子里看到的號碼，則實際號碼應(yīng)是______．【答案】3265【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱；據(jù)此分析并作答．【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，關(guān)于鏡面對稱，又在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，則這個號碼是3265，故答案為：3265．鞏固訓(xùn)練：4．小明在鏡中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時的是下圖中的（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解．【詳解】解：8點的時鐘，在鏡子里看起來應(yīng)該是4點，所以最接近8點的時間在鏡子里看起來就更接近4點，所以應(yīng)該是圖C所示，最接近8點時間．故選C．5．如圖，從汽車的后視鏡中看見某車牌號的5位號碼的車牌號為_________．【答案】BA629【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【詳解】解：∵是從汽車的后視鏡中看見某車牌的5位號碼，∴原號碼與看見的號碼是軸對稱圖形，∴車牌號為BA629，故答案為：BA629．6．小明照鏡子時，發(fā)現(xiàn)衣服上的英文單詞在鏡子呈現(xiàn)為“”，則這串英文字母是___________．【答案】APPLE【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，分析并作答．【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所給的圖片與APPLE成軸對稱．故答案為：APPLE．題型三軸對稱的性質(zhì)【例6】如圖，與關(guān)于直線對稱，交于點，下列結(jié)論①；②；③中，正確的有（）

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵與關(guān)于直線MN對稱，交于點O，∴，，，綜上，三個選項都正確，故選：A．【例7】如圖，已知點A、B是直線同側(cè)兩點，點、A關(guān)于直線對稱．連接交直線于點P，連接．若，則的長為（）

A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，由即可得到答案．【詳解】解：∵點、A關(guān)于直線對稱，連接交直線于點P，連接．∴，∴，即的長為．故選：C【例8】如圖，在內(nèi)，點、分別是點關(guān)于、的對稱點．如果的周長為12，則的長為（）A．6 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形周長公式得到，則．【詳解】解：∵點、分別是點關(guān)于、的對稱點，∴，∵的周長為12，∴，∴，故選B．鞏固訓(xùn)練：7．如圖所示，點P為內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于的對稱點，連接交于M，交于N，，則的周長為_______．【答案】15【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，據(jù)此利用三角形周長公式求解即．【詳解】解：∵P點關(guān)于的對稱點，∴．∴的周長為．故答案為：15．8．如圖，和關(guān)于直線對稱，已知，，．求的度數(shù)及、的長度．

【答案】，、【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等即可得出答案．【詳解】解：和關(guān)于直線對稱，，，，又，，．，，，題型四折疊問題【例9】將長方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，則的度數(shù)為______．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)平角為求解即可．【詳解】∵將長方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，∴，，∴．故答案為：．【例10】如圖，將長方形沿線段折疊到的位置，若，則∠DFC′的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：由翻折知，∴，∴．故選：C．【例11】如圖，將沿直線折疊后，使得點與點重合，若，的長為12，則的周長為（）

A．17 B．10 C．12 D．22【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形周長公式即可求解．【詳解】解：∵將沿直線折疊，使得點與點重合，∴，∵，的長為12，∴的周長，故選：A．鞏固訓(xùn)練：9．如圖，將折疊，使點C與點B重合，折痕l與邊交于點D，連接，則是的（）A．角平分線 B．高線 C．中線 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：D為中點，于是可得是的中線.【詳解】解：∵將折疊，使點C與點B重合，∴D為中點，∴是的中線；故選：C.10．如圖，將長方形紙片沿直線折疊，點的對應(yīng)點為點，與交于點．若，則的度數(shù)是______．

【答案】24°/24度【詳解】解：∵將長方形紙片沿直線折疊，∴，∴，∴；故答案為：24°．11．把一張寬度相等的紙條按如圖所示的方式折疊，則的度數(shù)等于______．

【答案】/度【詳解】解：如圖，

由翻折不變性可知：，∵寬度相等的紙條邊緣平行，∴，，，，故答案為：．題型五垂直平分線的性質(zhì)【例12】甲、乙、丙三家分別位于的三個頂點處，現(xiàn)要建造一個核酸檢測點，使得三家到核酸檢測點的距離相等，則核酸檢測點應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線的交點【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵線段的垂直平分線的點到線段的兩個端點的距離相等，∴這三家到核酸檢測點距離相等，核酸檢測點的建造位置是在三邊的垂直平分線上，故選A．【例13】如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（）A．7 B．6 C．12 D．8【答案】A【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，設(shè)AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時，即A、P、C三點共線時，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正確．故選：A．【例14】如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，點F是DE上任意一點，△BCF的周長的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于，關(guān)于直線為對稱，所以和重合時，最小，最小值等于，即可求得的周長的最小值．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，關(guān)于直線為對稱，和重合時，最小，即的周長的最小值，是線段的垂直平分線，，的最小值，的最小周長，故選：B．【例15】已知中，，、的垂直平分線分別交于、，與分別交于點、．求：(1)的度數(shù)．(2)求的周長．【答案】(1)(2)26【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，得出等腰三角形即可；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，這樣就將的周長轉(zhuǎn)化為線段的長．【詳解】（1）、的垂直平分線分別交于、、，，（2）、的周長的周長鞏固訓(xùn)練：12．如圖，，，表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個文化廣場，使它到三個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在（）A．，兩邊高線的交點處 B．，兩邊中線的交點處C．，兩邊垂直平分線的交點處 D．，兩內(nèi)角平分線的交點處【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，到，，表示三個居民小區(qū)距離相等的點，是，兩邊垂直平分線的交點，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，分別作，兩邊垂直平分線，交于點，連接，，，∵，是，兩邊垂直平分線，∴，∴點是到三個小區(qū)的距離相等的點，即點是，兩邊垂直平分線的交點，故選：．13．如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于，兩點，與相交于點．(1)若，則的周長為______；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)對頂角相等求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】（1）∵，分別垂直平分邊和邊，∴，，∴的周長，∴的周長，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴．14．如圖，在中是的垂直平分線，，的周長為，求的周長．

【答案】的周長為．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，即可得出，則的周長，即可求解．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴，．∵的周長，∴，∴的周長．即的周長為．15．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，交邊于點，則的周長為____．【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形的周長即可求解．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點，∴，∵的周長為，∴，故答案為：．題型六角平分線的性質(zhì)【例16】如圖，平分于點D，點E為射線上一動點，若，則的最小值為__．【答案】6【分析】過O點作于H點，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)垂線段最短解決問題．【詳解】解：過O點作于H點，如圖，平分，，∵點E為射線上一動點，∴的最小值為的長，即的最小值為6．故答案為：6．【例17】如圖，于E，于F，平分，若，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明之．【答案】，見解析【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再證明，得出，根據(jù)線段的和差即可得出答案．【詳解】證明：∵于E，于F，平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴．【例18】如圖，在中，，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．若，．

(1)求的度數(shù)；(2)求的周長．【答案】(1)(2)12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得和為等腰三角形，從而得到等量關(guān)系式求出答案．【詳解】（1）解：，，平分，平分，，；（2）解：平分，，，，，，同理可得，，，，，的周長．【例19】如圖，是中的平分線，，交于點，，交于點．若，，，則的長是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，由及三角形的面積公式進行計算即可得到答案．【詳解】解：是中的平分線，，交于點，，交于點，，，，解得：，故選：B．【例20】三角形內(nèi)到三邊的距離相等的點是（）A．三條中線的交點 B．三條高的交點C．三條角平分線的交點 D．以上均不對【答案】C【分析】要找到三角形三邊距離相等的點，應(yīng)該根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)到三邊的距離相等的點是三角形三個內(nèi)角平分線的交點．【詳解】解：三角形內(nèi)到三邊的距離相等的點是三角形三個內(nèi)角平分線的交點．故選：C．鞏固訓(xùn)練：16．如圖，四邊形中，，點E為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）過點E作于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)，得出，進而根據(jù)角平分線的判定定理可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，再證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進而得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過點E作于F，

∵，平分，∴，∵E是的中點，∴，∴，又∵，，∴是的平分線．（2）∵平分，平分，，，∴，，∴，，∴，，∴．17．如圖，在中，D，E分別為，邊上一點，連接，，，過點E向作垂線，交的延長線于點F．已知平分．平分，．

(1)求證：平分；(2)若，，，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過E點分別作于M，于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進而得出，根據(jù)角平分線的判定即可得出結(jié)論；（2）先求出，進而得出，根據(jù)，，，，得出，求出，，即可得出答案．【詳解】（1）證明：過E點分別作于M，于N，

∵平分，，∴，∵平分，∴，∴，∴平分；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∵，∴，，∴．18．黃河社區(qū)是由三條路圍成的小型社區(qū)，現(xiàn)在越來越多的人們選擇購買電動汽車，為了讓生活設(shè)施跟上時代的發(fā)展，黃河社區(qū)準(zhǔn)備在社區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電點．現(xiàn)社區(qū)人員計劃將充電點建設(shè)在到三條路的距離相等的位置，則充電點應(yīng)該建在三角形（）A．三個角的平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，即可解答．【詳解】解：現(xiàn)社區(qū)人員計劃將充電點建設(shè)在到三條路的距離相等的位置，則充電點應(yīng)該建在三角形三個角的平分線的交點處，故選：A．19．如圖，O是內(nèi)一點，且O到三邊的距離相等（即），若，則（）

A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，點O是三角形三條角平分線的交點，再由的度數(shù)可得的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵到三邊、、的距離，∴點O是三角形三條角平分線的交點，∵，∴，∴，在中，．故選：C．20．如所示圖形中，若，能判斷點在的平分線上的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)到角兩邊的距離相等的點在角平分線上進行判斷即可．【詳解】解：∵到角兩邊的距離相等的點在角平分線上，∴符合題意的是D，故選：D．題型七作圖【例21】如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經(jīng)濟，甲、乙兩工廠準(zhǔn)備合建一個倉庫，經(jīng)協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個要求：①到兩工廠的距離相等；②在內(nèi)，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】連接，作線段的垂直平分線，作角的平分線，則與的交點F就是倉庫的位置．【詳解】解：如圖，點F為倉庫的位置．【例22】如圖，兩公路與相交于點O，兩公路內(nèi)側(cè)有兩工廠C和D，現(xiàn)要修建一貨站使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】只要作出的角平分線和線段的垂直平分線，兩線的交點即為所求．【詳解】解：如圖所示：點P即為所求．【例23】用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，某小區(qū)綠化帶內(nèi)部有兩個噴水臂、，現(xiàn)欲在內(nèi)部建一個水泵，使得水泵到，的距離相等，且到兩個噴水管、的距離也相等，請你在圖中標(biāo)出水泵的位置．

【答案】作圖見解析【分析】作平分，作垂直平分線段交于點即可．【詳解】解：如圖，作平分，作垂直平分線段交于點，∵平分，點在射線上，∴點到，的距離相等，∵垂直平分線段，點在直線上，∴點到、的距離相等，∴到，的距離相等，且到點、的距離也相等，則點即為所作．

鞏固訓(xùn)練：21．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，P點既在線段的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點即為發(fā)射塔P的位置．【詳解】解：作出線段的垂直平分線，與的平分線交于P點，則如圖，P點為所求．．22．如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你用尺規(guī)作出燈柱的位置點．（請保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】分別作線段的垂直平分線和的角平分線，它們的交點即為點．【詳解】解；如圖，點為所作．23．如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路），現(xiàn)計劃在∠AOB內(nèi)部修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案．【答案】能，作圖見解析【分析】根據(jù)題意，作的角平分線，連接，作的垂直平分線，和RQ相交于點S，根據(jù)角平分線和垂直平分線的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，作的角平分線，連接，作的垂直平分線，和RQ相交于點S，如下圖：∵是的角平分線∴上的點，到兩條公路的距離也相等；∵是的垂直平分線∴上的點，到兩所大學(xué)的距離相等∵和RQ相交于點S，∴倉庫P應(yīng)該建在點S的位置．題型八等腰三角形三線合一【例24】如圖，、分別是的中線和角平分線，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，得到，再利用直角三角形的性質(zhì)，得到，結(jié)合是的角平分線，計算即可．【詳解】∵是的中線，，∴，∵，∴，∵是的角平分線，，故選：B．【例25】如圖，在中，，，于點E，若，的周長為10，則的長為（）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知可得，從而可得，然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)計算解答．【詳解】解：，且的周長為10，，，，，，，，，．故選B．鞏固訓(xùn)練：24．等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是（）A．過頂點的直線 B．腰上的中線所在的直線C．腰上的高線所在的直線 D．頂角的平分線所在的直線【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可得出答案．【詳解】解：等腰三角形的對稱軸是頂角的角平分線所在直線，底邊高所在的直線，底邊中線所在直線，A、過頂點的直線，錯誤．B、腰上的中線所在的直線，錯誤．C、腰上的高線所在的直線，錯誤．D、頂角的平分線所在的直線，正確．故選：D．25．如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接、．

(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析．(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，先求得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可求得．（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，結(jié)合即可求得答案．【詳解】（1）∵為線段的垂直平分線，∴．∵，點為的中點，∴為線段的垂直平分線．∴．∴．∴為等腰三角形．（2）∵，點為的中點，∴為的平分線．∴．∴．∴．∵為等腰三角形，∴．∴．題型九等腰三角形度數(shù)【例26】已知是等腰三角形．若，則的頂角度數(shù)是________．【答案】或【分析】分是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【詳解】解：當(dāng)是頂角時，的頂角度數(shù)是；當(dāng)是底角時，則的頂角度數(shù)為；綜上所述，的頂角度數(shù)是或．故答案為：或．鞏固訓(xùn)練：26．在中，，是邊上的高，，則的度數(shù)為____________．【答案】或【分析】①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時：，②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時：，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時：，

∵，∴；②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時：∵，，∴，

∵，∴．故答案為：或．題型十等腰三角形外角問題【例27】如圖，在第1個中，；在邊上任取一點D，延長到A2，使，得到第2個；在邊上任取一點E，延長到A3，使，得到第3個；……按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出，及的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第個三角形中以為頂點的底角度數(shù)．【詳解】解：在中，，，，，是△的外角，；同理可得，，第個三角形中以為頂點的底角度數(shù)是．故選：C．鞏固訓(xùn)練：27．如圖，，點在射線上，點在射線上，，均為等邊三角形．若，則的邊長為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，利用同樣的方法，，，由此規(guī)律可得．【詳解】為等邊三角形，同理：由此類推可得的邊長．故選B．28．如圖，已知是等邊三角形，點B，C，D，F(xiàn)在同一條直線上，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．題型十一等腰三角形個數(shù)和格點問題【例28】在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點上找一點P，使為等腰三角形，則點P有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【答案】C【分析】分三種情況討論：以為腰，點為頂角頂點；以為腰，點為頂角頂點；以為底．【詳解】解：如圖：如圖，以為腰，點為頂角頂點的等腰三角形有5個；以為腰，點為頂角頂點的等腰三角形有3個；不存在以為底的等腰，所以合計8個．故選：C．【例29】如圖中的大長方形都是由邊長為1的小正方形組成，其中每個正方形的頂點稱之為格點，若、、三點均在格點上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數(shù)有（）

A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】C【分析】分為頂角和為頂角判定即可．【詳解】當(dāng)為頂角時，符合的點有一個；當(dāng)為頂角時，符合的點有五個；一共