第三章 勾股定理（2類知識拓展）

第三章勾股定理（知識拓展）知識拓展畢達哥拉斯樹（勾股樹）是由

畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。而同一次數的所有小正方形面積之和等于最大正方形的面積，直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。典例1如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則正方形E的面積是（）A．47 B．37 C．34 D．13典例2如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”．經觀察可以發(fā)現：圖①中共有3個正方形，圖②中共有7個正方形，圖③中共有15個正方形，照此規(guī)律“生長”下去，圖⑤中共有正方形的個數是（）A．31 B．32 C．63 D．64典例3“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

跟蹤訓練1畢達哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形A、B、C、D的邊長分別是2，3，1，2，則正方形G的邊長是______．

跟蹤訓練2在如圖所示的“勾股樹”圖案中，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知最大正方形的邊長為10，則圖中所有正方形的面積之和為______．跟蹤訓練3回看古人數學成就，領略數學先賢智慧．認真閱讀并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被稱為“幾何學的基石”．在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個結論就是勾股定理．在古時候，我國數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．成書于公元前世紀的《周髀算經》中有“勾三股四弦五”的記載，意思是在一個直角三角形中，如果較短直角邊的長度為，較長直角邊的長度為，斜邊的長度則為（如圖），可根據勾股定理計算得出．材料二：在西方，最早提出并證明勾股定理的是古希臘的畢達哥拉斯，因此也被稱為畢達哥拉斯定理．他根據勾股定理，在初始的大正方形上，做出了兩個相鄰的小正方形，兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積（如圖），再以此類推，無限重復地做出各種大小不一的正方形，就形成了茂密的“畢達哥拉斯樹”（如圖）．

(1)在一個直角三角形中，如果兩條直角邊的長度分別為厘米和厘米，根據勾股定理：（），得到這個直角三角形的斜邊的長度為（）厘米；(2)如圖4所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的邊長是厘米，則正方形、、、的面積和是（）平方厘米．趙爽弦圖典例4如圖，2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標其原型是我國古代數學家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面積是16，直角三角形的直角邊長分別為a，b，且，那么圖中小正方形的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．5跟蹤訓練4圖1為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，它標志著中國古代的數學成就．根據該圖，趙爽用兩種不同的方法計算正方形的面積，通過正方形面積相等，從而證明了勾股定理．現有4個全等的直角三角形（圖2中灰色部分），直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，將它們拼合為圖2的形狀．

(1)小誠同學在圖2中加了相應的虛線，從而輕松證明了勾股定理，請你根據小誠同學的思路寫出證明過程；(2)當，時，求圖2中空白部分的面積．典例5勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關系______．跟蹤訓練5如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，．若，則的值是（）A． B． C． D．過關訓練1．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（）

A．14 B．108 C．58 D．722．畢達哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形，，，的邊長分別是2，3，1，2，則正方形的邊長是（）A．8 B． C． D．53．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．44．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙炎弦圖“是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為，則小正方形的面積為（）A．9 B．6 C．4 D．35．在如圖所示的“勾股樹”圖案中，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知最大正方形的邊長為10，則圖中所有正方形的面積之和為______．6．“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”，……，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積之和為_____．7．“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數為___________．8．我國古代數學家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標志著中國古代的數學成就如圖，小穎同學把圖中長和寬分別和的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中小正方形的面積為______．

9．下圖是我國數學家趙爽在《周髀算經》中給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．圖中四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形，直角三角形兩直角邊長分別為，斜邊長為，中間的部分是一個小正方形．若大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，求的值．

10．公元3世紀初，我國學家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統Garfeild用圖1（點、點、點三點共線）進行了勾股定理的證明．與是一樣的直角三角板，兩直角邊長為，，斜邊是．請用此圖1證明勾股定理．

擴展應用1：如圖2，以的邊和邊為邊長分別向外作正方形和正方形，過點分別作的垂線段，那么的數量關系是怎樣?說明理由．擴展應用2：如圖3，在兩平行線之間有一正方形，已知點和點分別在直上，過點作直線，已知之間距離為，之間距離為2．直接出正方形的面積是_．

第三章勾股定理（知識拓展）答案全解全析知識拓展畢達哥拉斯樹（勾股樹）是由

畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。而同一次數的所有小正方形面積之和等于最大正方形的面積，直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。典例1如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則正方形E的面積是（）

A．47 B．37 C．34 D．13【答案】A【詳解】解：由勾股定理得：正方形F的面積正方形A的面積正方形B的面積，同理，正方形G的面積正方形C的面積正方形D的面積，∴正方形E的面積正方形F的面積正方形G的面積．

故選：A．典例2如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”．經觀察可以發(fā)現：圖①中共有3個正方形，圖②中共有7個正方形，圖③中共有15個正方形，照此規(guī)律“生長”下去，圖⑤中共有正方形的個數是（）

A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【詳解】解：由圖可得，第①個圖形中正方形的個數為：，第②個圖形中正方形的個數為：，第③個圖形中正方形的個數為：，…則第⑤個圖形中正方形的個數為：，故選：C．典例3“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【答案】2024【詳解】解：設第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，根據勾股定理可得：，∵,∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為；同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為；第三代勾股樹中所有正方形的面積為；第n代勾股樹中所有正方形的面積為；∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．故答案為：2024．

跟蹤訓練1畢達哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形A、B、C、D的邊長分別是2，3，1，2，則正方形G的邊長是______．

【答案】【詳解】解：設E、F兩個正方形和最大正方形G的邊長分別為x，y，z，則由勾股定理得：；；；即最大正方形G的面積為：，∴最大正方形G的邊長為．故答案為：．跟蹤訓練2在如圖所示的“勾股樹”圖案中，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知最大正方形的邊長為10，則圖中所有正方形的面積之和為______．

【答案】300【詳解】解：根據勾股定理的幾何意義，可知：，即四個正方形A，B，C，D的面積之和為100；正方形F，G的面積之和為100；正方形E的面積為100；∴圖中所有正方形的面積之和為

故答案為：300．跟蹤訓練3回看古人數學成就，領略數學先賢智慧．認真閱讀并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被稱為“幾何學的基石”．在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個結論就是勾股定理．在古時候，我國數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．成書于公元前世紀的《周髀算經》中有“勾三股四弦五”的記載，意思是在一個直角三角形中，如果較短直角邊的長度為，較長直角邊的長度為，斜邊的長度則為（如圖），可根據勾股定理計算得出．材料二：在西方，最早提出并證明勾股定理的是古希臘的畢達哥拉斯，因此也被稱為畢達哥拉斯定理．他根據勾股定理，在初始的大正方形上，做出了兩個相鄰的小正方形，兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積（如圖），再以此類推，無限重復地做出各種大小不一的正方形，就形成了茂密的“畢達哥拉斯樹”（如圖）．

(1)在一個直角三角形中，如果兩條直角邊的長度分別為厘米和厘米，根據勾股定理：（），得到這個直角三角形的斜邊的長度為（）厘米；(2)如圖4所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的邊長是厘米，則正方形、、、的面積和是（）平方厘米．【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1），故答案為：，；（2）根據材料二可得：，，，

∴，故答案為：．趙爽弦圖典例4如圖，2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標其原型是我國古代數學家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面積是16，直角三角形的直角邊長分別為a，b，且，那么圖中小正方形的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：∵大正方形的面積是16，∴，∴，∵，∴，∵小正方形的邊長為：，∴．故選C跟蹤訓練4圖1為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，它標志著中國古代的數學成就．根據該圖，趙爽用兩種不同的方法計算正方形的面積，通過正方形面積相等，從而證明了勾股定理．現有4個全等的直角三角形（圖2中灰色部分），直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，將它們拼合為圖2的形狀．

(1)小誠同學在圖2中加了相應的虛線，從而輕松證明了勾股定理，請你根據小誠同學的思路寫出證明過程；(2)當，時，求圖2中空白部分的面積．【答案】(1)見解析(2)13【詳解】（1）解：圖2中圖形的總面積可以表示為：以c為邊的正方形的面積+兩個直角三角形的面積，即，也可以表示為：以a和b為邊的兩個小正方形的面積+兩個直角三角形的面積，即，∴，即．（2）解：當時，，由圖可知，空白部分面積=以c為邊的正方形的面積-兩個直角三角形的面積，即：空白部分面積為：．典例5勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個圖形中面積關系滿足的有3個故答案為：3；（3）關系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結合（1）的結論：∴．跟蹤訓練5如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設中，，∴，∴，∴，∴．故選：D過關訓練1．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【詳解】解：如圖所示，由勾股定理，得，故選：B．

2．畢達哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形，，，的邊長分別是2，3，1，2，則正方形的邊長是（）A．8 B． C． D．5【答案】C【詳解】解：設中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，則由勾股定理得：；；；即最大正方形E的面積為：，∴最大正方形E的邊長為．故選：C．3．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面積為．故選：A．4．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙炎弦圖“是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為，則小正方形的面積為（）

A．9 B．6 C．4 D．3【答案】A【詳解】解：∵，∴每個直角三角形的面積是：，∵大正方形的面積為，∴小正方形的面積為：．故選：A．5．在如圖所示的“勾股樹”圖案中，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知最大正方形的邊長為10，則圖中所有正方形的面積之和為______．

【答案】300【詳解】解：根據勾股定理的幾何意義，可知：，即四個正方形A，B，C，D的面積之和為100；正方形F，G的面積之和為100；正方形E的面積為100；∴圖中所有正方形的面積之和為

故答案為：300．6．“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”，……，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積之和為_____．

【答案】2024【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，

由勾股定理得，正方形B的面積與正方形C的面積和為1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024．故答案為：2024．7．“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．