2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)第四章 數(shù)列（公式、定理、結(jié)論圖表）

2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)（新教材）第四章數(shù)列（公式、定

理、結(jié)論圖表）

［、思維導(dǎo)圖

概念

表格

數(shù)列Ji^一

圖象

?表示

通項(xiàng)公式

遞推公式

特殊化

1一次函數(shù)

I等差數(shù)列-概念

特殊數(shù)列類比表示通項(xiàng)公式

應(yīng)用

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式

指數(shù)函數(shù)

基本原理

數(shù)學(xué)歸納法

1—1

1:知識(shí)梳理

數(shù)列的概念：

1.定義：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函數(shù),

數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

2.數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作6,%，%…凡，…，簡(jiǎn)記

3.數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)應(yīng)與項(xiàng)數(shù)〃的關(guān)系若用一個(gè)公式%=/(〃)給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)

列的通項(xiàng)公式。

4.數(shù)列的項(xiàng)為當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。

5、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)％與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系的公式.

6、求數(shù)列中最大最小項(xiàng)的方法：最大/"2°，向最小卜用考慮數(shù)列的單調(diào)性

.a“—

二、等差數(shù)列

1、定義：(1)文字表示：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常

數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.

(2)符號(hào)表示：an-an_y=d(n>2)^an+1-an=d(n>V)

2、通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)是q,公差是d,則a,,=?,+(〃-1)4.

通項(xiàng)公式的變形：①a”=4"+(〃—；②d=%~.

n-m

通項(xiàng)公式特點(diǎn)：an=dn+(%—d)

an=kn+m,(幺加為常數(shù))是數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列的充要條件。

3、等差中項(xiàng)

若三個(gè)數(shù)a,A,8組成等差數(shù)列，則A稱為a與匕的等差中項(xiàng).若b=匕，則稱匕為。與c

2

的等差中項(xiàng).即a、b、c成等差數(shù)歹!]<=>匕=色上

2

4、等差數(shù)列｛%｝的基本性質(zhì)(其中加,凡p,qwN*)

(1)若〃z+〃=p+q,貝!la,”+a“=%,+%。

(2)an-am=(n-m)d

⑶2a?=a,U,

5、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式

八j/n（n-\\,

公式：①S“=-----------;②=n％H--------d.

公式特征：S“=5+（a「gn,d#0時(shí)是一個(gè)關(guān)于n且沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：

①若項(xiàng)數(shù)為2”（〃eN*）,則§2“=〃（a“+a“+i），且S（禺-5奇=〃"，—.

a

S偶n+\

②若項(xiàng)數(shù)為2〃一則之一]=（2〃-1）%,且S奇一S,禺=a“，^-――

S偶"T

（其中5奇=〃。“，S偶=（〃—l）a.）.

③S,,，S2“—S,,，5加一52“成等差數(shù)列?

6、判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：

①定義法：。,用-/=以常數(shù)）（〃eN*）n｛%｝是等差數(shù)列

②中項(xiàng)法：2an+]=an+an+2（〃eN*）n｛a“｝是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：a,,=kn+b（Z/為常數(shù)）n｛a,｝是等差數(shù)列

④前“項(xiàng)和公式法：S“=An2+Bn（AB為常數(shù)）n｛a,｝是等差數(shù)列

三、等比數(shù)列

1、定義：（1）文字表示：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),

則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.

（2）符號(hào)表示：4=夕（常數(shù)）

a.,

2、通項(xiàng)公式

（1）、若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是4,公比是q,則4=401.

（2）、通項(xiàng)公式的變形:①例=《『；②

3、等比中項(xiàng)：在。與分中插入一個(gè)數(shù)G,使。，G,〃成等比數(shù)列，則G稱為a與〃的等比中

項(xiàng).若Grab,則稱G為〃與人的等比中項(xiàng).注意：a與力的等比中項(xiàng)可能是土G。

4、等比數(shù)列性質(zhì)

若｛%｝是等比數(shù)列，且加+〃=〃+<7（加、n>p、（7eN*）,貝U?/=%q；

若｛a“｝是等比數(shù)列，且2〃=〃+q（〃、p、”N*）,則a；=a0q.

5、等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和的公式：

叫（4=1）

（1）公式：S“=<q（l一g"）a-anq（.■

Ii-q"q

（2）公式特點(diǎn)：s“=孑（1—/）=女（l—g"）=A—A/

v

（3）等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2”（〃eN*）,則上=心

S奇

②S“+,“=S,+q"&.③S,，SL加邑,「與”成等比數(shù)列（S"0）.

6、等比數(shù)列判定方法：

①定義法：馱q（常數(shù)）=｛4｝為等比數(shù)列;

%

2

②中項(xiàng)法：an+l=an-all+2(a“h0)=>{a.}為等比數(shù)列;

③通項(xiàng)公式法：a“=hq"（幺4為常數(shù)）=>｛4｝為等比數(shù)歹1」；

④前〃項(xiàng)和法：S“=k（l-q"）（左,4為常數(shù)）=｛4｝為等比數(shù)歹！I。

四'等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義aad%―q（q手0,且為常數(shù),〃22）

n+y-n=(4為常數(shù)，?>2)

遞推

凡=%+da,.=4-口

公式

或

通項(xiàng)an=%+(〃-l)d

Q“=aq?1(4w0)或Q〃=

公式

a?-am+(n-m)d

a,b,c成等差數(shù)列的充要條件：

中項(xiàng)a,b,c?成等比數(shù)列的充要條件：b2=ac

2h=a+c

①

前

nat(q=l)

ncn(n-l)，

、y)y)

s“=叫+2'dS"=<

項(xiàng)

和

①%=6“+(〃-"?)[

②等和性：若m+n=p+q(m.〃、p、

①

夕￡N*),

重

②等積性：若加+力=p+q（加、n>p、q6N*）,

則〃

要Q,+Q“=Qp+Og

貝i」a〃「a”=ap?aq

性③若2n=p+q(〃、p、qwN*),則

質(zhì)③若2〃=p+q（〃、p、9￡N"）,則a；=〃p

2a?=ap+a(l.

④S&,S2A-5如53左-52公i構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列,

?<?,<?——<?構(gòu)成等

QkQ2kQk03k02k

差數(shù)列.

卜或也，。｛斯｝遞增數(shù)列:

設(shè)d為等差數(shù)列｛&“｝的公差，則

[q>1[0<<7<1

單

d>0o｛a“｝是遞增數(shù)列；

｛%/咪盤句溫遞減數(shù)列:

調(diào)

d<o<x>｛a“｝是遞減數(shù)列；

性：q=l=｛a”｝是常數(shù)數(shù)列；

d=0=｛a“｝是常數(shù)數(shù)列.

q〈0O｛aj是擺動(dòng)數(shù)列

證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：

證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法：

證

1.定義法也=q（常數(shù)）

1.定義法??+|-an=d（常數(shù)）

明4

方2.中項(xiàng)法%+4+1=2%(〃N2)

2.中項(xiàng)法a“T?%+|=(〃22)

法

3.通項(xiàng)公式法：a“=p〃+q（p,q為常數(shù)）

3.通項(xiàng)公式法：a“=Aq"（A,q為不為0的常數(shù)）

4.前n項(xiàng)和公式法：(A,B為4.前n項(xiàng)和公式法：§,]=Bqn_B（q于G,q于1BwO）

常數(shù))

三數(shù)等比:巴，a,aq或a,aq,aq2

設(shè)元二數(shù)等差:a-d,a,a+cl

q

技巧四數(shù)等差：a-3d,a-d,a+d,a+3d

四數(shù)等比：a.aq,aq2,aq3

〈解題方法與技巧》

1.解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問題的幾點(diǎn)注意

(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；

(2)對(duì)于計(jì)算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；

(3)注重問題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式

和性質(zhì)解題；

(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間

的內(nèi)在聯(lián)系.

2.數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根

據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，一般常見的求和方法有:

(-)公式法

①等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式：S“=遜抖=〃m+必/d.

②等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

naifq=l,

ai-a〃qmQ-

(l—q=l~q，戶

③數(shù)列前〃項(xiàng)和重要公式：

⑴力=1+2+3+.+〃=皿@

k=\2

(2)>^(2--1)=1+3+5+….+(2/?-1)=〃“

k=\

廠->2

(3)￡^=l3+23+---+n3=-?(n+l)

k=l2

(4)/2=肚+22+32H---F〃2=—n(n+1)(2〃+1)

k=\6

(5)等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；

（6）等比數(shù)列中，&

S+q-S=SqmS-

m+nnmm+rl

（一）分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.

（三）裂項(xiàng)（相消）法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)

再求和.

常見的裂項(xiàng)技巧

①等差型

(1)-L

n(n+1)nn+\

1

(2)--?)

+Qknn+k

111

(3))

4n2-l-22n-l2n+\

(4)

〃(〃+1)(〃+2)2n(n+l)5+1)(〃+2)

11111

(5)-------=------------=一(?)

n{rT-1)+2(n-l)n〃(〃+1)

(6)-4-=i

1+

4療-14Qn+1)(2〃-1)

3〃+14(〃+1)-(〃+3)

(7)=4(------------)"(------------)

(/7+l)(n+2)(〃+3)(〃+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3H+ln+2

(8)"(〃+D=綱〃+D(〃+2)T…心+2

(9)〃(〃+1)(〃+2)=z[〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)—(〃-1)〃(〃+1)(〃+2)]

(10)

〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)3n(n+1)(H+2)(〃+l)(n+2)(〃+3)

②根式型

(1)1----j==J〃+l-4n

n+n

(2)/1---=—(\[tv+k-\fn)

-

(3)-/，--------/=—(v2/7+1—x/2z?1)

y/2n-i+y/2n+l2

11心+1)+111

(4)J1+-Z-+-----7=—--------=1+-------

yn(〃+1)n(n+1)nn+\

1_(H+1)X/H—n\jn+\_(7?+\)4n—nVn+1_11

(〃+l)M+〃J〃+l+-("夜+1)2n(n+1)4nJ〃+l

③指數(shù)型

,、、2"(2"+l-l)-(2,,-l)11

(1)=----------------------=-------------------

(2,,+1-1)(2"-1)(2/,+,-1)(2“一1)2”—12M+I-1

(2)--------3-”---------11=-(—.:1—)

(3n-l)(3,,+,-1)23〃—13rt+,-1

(3)〃+22(〃+1)-〃/21]1_I_________1__

n(n+1)-2"n(n+1)?2"[〃〃+U2"n-2M-1(〃+1)-2"

(小(4〃-1).3小1F91

(4)---------------=---------------

n(n4-2)2(〃+2)n

(2n+l)-(-ir(T)〃(一1嚴(yán)

\3)------------=-------------

n(n4-1)nn+\

(6)an=〃-3"T,設(shè)/=(“〃+6)3"—[a(〃-l)+何，小，易得a=g,b=—；,

于是q=；(2〃-1)3"-；(2〃-3)-3"T

2n22

(7)(~l)"(n+4n+2)2(-1)"(n+4n+2)(-^[w+n+2(n+l)+n]

w-2"■(/?+!)2n+l-—"?(n+1)2-—―n-(n+l)2"+,

+n+i=（_r

空+（一爐_rF（n+i）.2.2l+居向

④對(duì)數(shù)型

logw—=10g^'-10gaan

an

⑤募型

(1)2〃+l___L^

〃2(〃+1)2n2(〃+1)2

/八77+11F11

n2(n+2)24n~(n+2)2

H+l_1]_____________]

〃2(〃+l)2(〃+2)24+(〃+l)2(〃+2)2

⑥三角型

(1)=---------(tana-tan/?)

cosacos尸sin(a一萬)

(2)-------=—^―[tan(/j+1)°-tann°]

cosn°cos(〃+1)°sin1°LJ

(3)tanatan0=---^----(tana-tan/?)-1

/,、/八(「/八itanu-iciiivn-i)

(4)a,=tan-tan(/i-1);tan1=tan?-(?-1)=---------------

1+tann-tan(n-1)

mitann-tan(n-l)tann-tan(n-1)

貝"tann?tan(n—1)=---------------1,an=----------------1

⑦常見放縮公式:

(1)—<------=-------(n>2)；

n~(〃-n-\n

1111

(2)—>-------———；

tr+n〃+1

_L=J_<^_=2p______O.

(3)

“24n24〃2-l12/7-12n+\)'

-U=廣<~--j==2(-V?-l+4n\(n>2)；

(4)

122

(5)=21冊(cè)+,〃+l)；

4n\[n+\[n\[n++1

（八1222>/2

忑一耳而〈I_fI~y/2n-i+y/2n+\

n-+J〃+—

2V2

1ii

(10)—<----=----=---------—(n>2).

2n-l(72Z,_,-1)(2"-1)?2”|-1T-\v)

(11)2(+1—4n)=/2——<J<—=_2=2(冊(cè)—4n-1)?

+l+\/n\]n+\ln-\

(四)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.

(1)適用條件：若｛斯｝是公差為d(dW0)的等差數(shù)列，｛兒｝是公比為q(g￥l)的等比數(shù)列，求數(shù)列｛〃/”｝的

前〃項(xiàng)和5?；

(2)基本步驟

第一步展開S“=a「仇％+…+*?6”i+a“-6”①)

第二步乘公比gS'=aryaz-4+…+*?b“+a1t.3②)

業(yè)

第二步f錯(cuò)位相減①-@得(1-95“=%.4+4(62+63+…+

b”“

：1仆；

“_mca,-b,+d(62+63+—+6?)-a?.b?tl

第四步一求和S/----------------:----------------------

1-g

(3)注意事項(xiàng)：①在寫出S,與qS,的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出

S”qSn；

②作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間〃一1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；

③運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把歷+歷+…+仇這〃一1項(xiàng)和看成〃項(xiàng)和，把一。,力”+1寫成+a油"+i導(dǎo)致錯(cuò)誤.

(五)倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列｛斯｝,與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式

相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此

法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r(shí)這種關(guān)系比較隱蔽.

典例1：等比數(shù)列｛〃”｝中,已知ai=2,04=16.

⑴求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若“3,公分別為等差數(shù)列｛加｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛氏｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和

Sn.

【解析】⑴設(shè)｛斯｝的公比為g,

由已知得16=2爐，解得<7=2,.?.z=2X2"-i=2".

(2)由(1)得G=8,。5=32,

則加=8,兒=32.

必i+2d=8,

設(shè)｛①｝的公差為d,則有，

力i+4d=32,

ZJI=-16,

解得，一c

d—12,

所以a=-16+12(〃-1)=12〃-28.

所以數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和

?(-16+12/?-28)

bn—2—6〃-22〃.

典例2：數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S〃，ai=l,S”+i=4a“+2(〃GN*).

⑴設(shè)求證：｛兒｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)c“=券，求證：｛，”｝是等差數(shù)列.

【證明】(l)a〃+2=S〃+2—S〃+i=4z+i+2—一2

=4a〃+i—4。］.

皿=斯+2—2。,,+1=4所+1—4即一2?！?1=2?！?1—4斯=2.

bnan+i~2a,ian+\—2anan+i~2an

因?yàn)镾2=ai+a2=4ai+2,所以磁=5.

所以bi=42—2ai=3.

所以數(shù)列｛包｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知兒=3,2"1=<2?+1—2a”,

所以2廠|_2"-2_3?

所以c”+i-。；=3,且ci=2-1=2,

所以數(shù)列｛金｝是等差數(shù)列，公差為3,首項(xiàng)為2.

典例3已知數(shù)列｛&”｝是遞增的等差數(shù)列，42=3,且0,42,。5成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

⑵設(shè)加=①+2",求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和Sn；

224

⑶若Cn設(shè)數(shù)列｛。，｝的前〃項(xiàng)和為力“求滿足〃>含的〃的最小值?

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛知｝的公差為或d>0）.

42=3,a\+d=3,ai=l,

由'2_得,,,解得<

。2—Xa\+d)-=a\(a\-\-4d),d=2.

an—a\-\-(n—l)J=2n—1.

(2)由(1)得：兒=而+2"=2〃-1+2”,

(1+2n—l)n

則為=歷+切+…+況=

4+1+3+5+…+(21)+2+22+23+…+2”=2

9——,〃+]

Yr=〃2+2"1—2,

：.Sn=n2+2n+l~2.

22_1_1_

(3)由(1)得：Cn

ClnUn+1(2〃一1)(2〃+1)=2〃-1-2〃+「

11_1…112?

3352〃-12〃+12〃+「

2/724,"

由2〃+1>為仔〃>2?

又二"的最小值為13.

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（公式、定理、結(jié)論圖

表）

[I思維導(dǎo)圖

廠（整數(shù)指數(shù)史及根式）

-??--C分?jǐn)?shù)指數(shù)塞）

T運(yùn)算性質(zhì)）

-指數(shù)與指

指、數(shù)函數(shù)，

數(shù)p（定義）

函

互工圖象與性質(zhì)打

數(shù)

為

與

反

對(duì)

函

數(shù)

數(shù)

函函數(shù)零點(diǎn)與

數(shù)、方程的解

Y圖象與性質(zhì)瓶

L對(duì)數(shù)與對(duì)-函數(shù)模型

數(shù)函數(shù)__/、的應(yīng)用,

-ds-<__________>

-（運(yùn)算性質(zhì)）

]、知識(shí)梳理

一.根式及相關(guān)概念

（Da的〃次方根定義

如果x〃=a,那么x叫做a的〃次方根，其中力1,且"GN*.

（2）a的〃次方根的表示

n的奇偶性a的〃次方根的表示符號(hào)a的取值范圍

〃為奇數(shù)缶R

〃為偶數(shù)士3[0,+°0)

（3）根式

式子的叫做根式，這里〃叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).

根式的性質(zhì)（">1,且〃6N*）

(1)，為奇數(shù)時(shí)，置"=旦.

n,—a,Q20，

(2)〃為偶數(shù)時(shí)，胃=囿=-

一a,水0.

(3)^6=0.

(4)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

思考：(笛)"中實(shí)數(shù)a的取值范圍是任意實(shí)數(shù)嗎?

提示：不一定，當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)時(shí)，a￡R；

當(dāng)〃為大于1的偶數(shù)時(shí)，a》0.

三.分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義

m

正分?jǐn)?shù)指數(shù)基規(guī)定：an=年&a〉0,m,〃￡N*,且〃〉1)

,,"11

規(guī)n定：3n—勿一

分?jǐn)?shù)指數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

事

(a>0,m,〃￡N*,且〃>1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉等于。，

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義

m

思考：在分?jǐn)?shù)指數(shù)基與根式的互化公式髭中，為什么必須規(guī)定a>0?

提示：①若a=0,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕恒等于0,即g]=a"=0,無研究?jī)r(jià)值.

m3p

②若水0,不一定成立，如(-2)5=與無意義，故為了避免上述情況規(guī)

定了a>0.

四.有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

⑴a'a'=a,T"(a>0,r,sGQ).

(2)(a'T=式(a>0,r,sGQ).

(3)(aZ>)'—ab'\a>Q,b>0,rGQ).

五.無理數(shù)指數(shù)累

一般地，無理數(shù)指數(shù)基a"(a>0,a是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)事的運(yùn)

算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)幕.

六.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)0(a>O,且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中王是自變量，函數(shù)的定義域是

R.

七.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a的范圍a>\0<a<l

.%…r=i

圖象)?)尸

X

0|~X

定義域R

值域(0,+8)

性過定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l

質(zhì)單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

奇偶性非奇三E偶函數(shù)

對(duì)稱性函數(shù)y=a*與y=a-'的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

思考1：指數(shù)函數(shù)了=印（力0且a#l）的圖象“升”“降”主要取決于什么？

提示：指數(shù)函數(shù)尸a'（a>0且ari）的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當(dāng)a>l

時(shí)，圖象具有上升趨勢(shì)；當(dāng)0<a〈l時(shí)，圖象具有下降趨勢(shì).

思考2：：指數(shù)函數(shù)值隨自變量有怎樣的變化規(guī)律？

提示：指數(shù)函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律.

八.對(duì)數(shù)

（1）指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化及有關(guān)概念:

a*=N告,10gliN=x

I--------------------1

（2）底數(shù)a的范圍是a〉0,且a#L

九.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

?------（以迫為一

里里八（自然對(duì)數(shù)）——CEE）----（以上為底）

十.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

⑴負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

(2)logfl1=0(a>0,且a#l).

(3)log依=!(a〉0,且aWl).

思考：為什么零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)？

提示：由對(duì)數(shù)的定義：H=M90且a#l),則總有加0,所以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式x=log/

時(shí)，不存在,性0的情況.

十一.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果如0,且&WL粉0,A>0,那么：

(1)logX.W=logJH~log；W；

M

(2)1Og.,y=logj/—log,A；

(3)1nlogMn￡R).

思考：當(dāng)粉0,A>0時(shí)，log&(〃+M=log/+logW,loga(助\)=log/?logW是否成

立？

提示：不一定.

十二.對(duì)數(shù)的換底公式

若a>0且a#l；c〉0且cWl；力0,

則有l(wèi)og“6=詈2

log°a

十三.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)v=log“x(a>0,且aWl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中工是自變量，函數(shù)的定義域是(0,

+°°).

思考1：函數(shù)y=21og3X,y=log3(2x)是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？

提示：不是，其不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的形式.

十四.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

a的范圍0〈水1a>\

'IX=1

；r=loga%（Q>l）

圖象火。），a。）^

1y=l0goX（O<Q<1）

定義域（0,+°°）

值域R

性定點(diǎn)（1,0），即x=j_時(shí)，7=0

質(zhì)單調(diào)性在(0,+8)上是減函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)

思考2：對(duì)數(shù)函數(shù)的“上升”或“下降”與誰(shuí)有關(guān)？

提示：底數(shù)a與1的關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)的升降.

當(dāng)a>l時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)O〈a〈l時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.

十五.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)尸a"(a>0,且aWl)與對(duì)數(shù)函數(shù)尸log,x(a>0且aWl)互為反函數(shù).

十六、三種函數(shù)模型的性質(zhì)

y=ax(a>l)y=logax(a>l)y=kx(k>0)

在(0,+8)上的增

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

減性

隨X增大逐漸近似與〃隨X增大逐漸近似與江

圖象的變化趨勢(shì)保持固定增長(zhǎng)速度

軸平行軸平行

①y=a*(a>l)：隨著x的增大，/增長(zhǎng)速度越來越快,會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于尸〃x(〃>0)

增長(zhǎng)速度的增長(zhǎng)速度，y=log“x(a>l)的增長(zhǎng)速度越來越慢;

②存在一個(gè)劉，當(dāng)*>刖時(shí)，有a*>7x>log”

十七.函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=Ax),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

思考1：函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)嗎？

提示：不是.函數(shù)的零點(diǎn)不是個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo).

十八.方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系

方程A%)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)v=f(x)有零點(diǎn).

十九.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)在區(qū)間［a,61上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有，果/?(〃<(),

那么，函數(shù)尸/l(%)在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在cC(a,6),使得F(函=0,

這個(gè)c也就是方程f{x)=0的解.

思考2：該定理具備哪些條件？

提示：定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間［a,6］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；

②f(a)?f(6)<0.

二十.二分法的定義

對(duì)于在區(qū)間［a,6］上圖象連續(xù)不斷且f??f(6)<0的函數(shù)尸Ax)，通過不斷地把它

的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近雯在，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值

的方法叫做二分法.

思考：若函數(shù)y=F(x)在定義域內(nèi)有零點(diǎn)，該零點(diǎn)是否一定能用二分法求解？

提示：二分法只適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(即函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)相反)，因此函數(shù)在零

點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)的零點(diǎn)不能用二分法求解，如〃x)=(x—l)2的零點(diǎn)就不能用二分法求解.

二十一.二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

(1)確定零點(diǎn)沏的初始區(qū)間［a,6］,驗(yàn)證/"(a)f(8)VO.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)c.

(3)計(jì)算Ac).并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

①若f(c)=O(此時(shí)m=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若/'(a)f(c)<0(此時(shí)刖e(a,c-)),則令6=c；

③若/'(c)f(8)<0(此時(shí)xoG(c,抗),則令a=c.

(4)判斷是否達(dá)到精確度e：若|a一引Ve,則得到零點(diǎn)近似值a(或⑸；否則重復(fù)步

驟⑵?⑷.

二十二.常用函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模型y=kx+b（k,。為常數(shù)，kWO）

(2)二次函數(shù)模型y=ax+bx+b,c為常數(shù)，aWO）

常用(3)指數(shù)函數(shù)模型y=ba+c（a,b,c為常數(shù)，6W0,a>0且aWl）

函數(shù)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型尸^logd+〃(勿，a,〃為常數(shù)，%#0,a>0且

模型(5)鞋函數(shù)模型y=ax+b{a,。為常數(shù)，z?WO）

優(yōu)水用，

(6)分段函數(shù)模型y=\

[cx+c^x^ni）

二十三.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程

|收集數(shù)據(jù)|

|畫敬點(diǎn)圖|

I選擇函數(shù)模型I

|求函數(shù)模型|

I用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題I

思考：解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么？

提示：利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:

(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.

這些步驟用框圖表示如圖：

分析、聯(lián)想、

實(shí)際問題《建立函數(shù)模型］

抽象、轉(zhuǎn)化數(shù)

問

學(xué)

國(guó)

解

解

答

決

轉(zhuǎn)譯

實(shí)際問題結(jié)論|數(shù)學(xué)問題結(jié)論|

(解題方法與技巧》

1.帶條件根式的化簡(jiǎn)

(1)有條件根式的化簡(jiǎn)問題，是指被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式可以通過配方、拆分等方

式進(jìn)行化簡(jiǎn).

(2)有條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法.當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí),

要考慮被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式的正負(fù).

典例i：⑴若x<o,則*+3+乎

(2)若一3<矛<3,求yj文—2x+1—F+6x+9