人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形測(cè)試題及答案

第第頁(yè)人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第十八章考試試卷評(píng)卷人得分一、單選題1．正方形四邊中點(diǎn)的連線圍成的四邊形(最準(zhǔn)確的說法)一定是()A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形2．如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為36，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長(zhǎng)為（）A．15 B．18 C．21 D．243．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．7 C．3 D．124．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線a、b上，且a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A．內(nèi)角和為360°B．對(duì)角線相等C．對(duì)角相等D．相鄰兩角互補(bǔ)6．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，下列各組條件，其中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CDC．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD7．如圖，?ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)F，則的值為()A． B． C． D．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，E為CD邊的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，過點(diǎn)E作ME⊥AF交BC于點(diǎn)M，連接AM、BD交于點(diǎn)N，現(xiàn)有下列結(jié)論：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD?CM；④點(diǎn)N為△ABM的外心．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，CE、DF交于G，連接AG、HG，下列結(jié)論：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正確的有()A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④10．如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE：∠BAE=1：2，則∠CAE的度數(shù)()A．30° B．45° C．60° D．75°評(píng)卷人得分二、填空題11．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，則∠CDB=__．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值為___________．13．如圖，平行四邊形ABCD中，∠A是它的外角的，延長(zhǎng)CB到E，使CE＝CD，過E作EF⊥CD于F，若EF＝1，則DF的長(zhǎng)等于____．14．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，∠AED=2∠CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，若BE=2，DF=8，則AB的長(zhǎng)為______．評(píng)卷人得分三、解答題15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以線段AB為邊向外作等邊△ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線段AD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）若AB＝6，求平行四邊形BCFD的面積．16．平行四邊形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，若CE=2，DF=1，∠EBF=60°，求平行四邊形ABCD的面積．17．如圖，□ABCD中，AC為對(duì)角線，EF⊥AC于點(diǎn)O,交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F，連結(jié)AF、CE.請(qǐng)你探究當(dāng)O點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，四邊形AFCE是菱形，并說明理由.18．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F．(1)求證：△AOE≌△BOF；(2)如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為a，那么正方形A1B1C1O繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？19．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．20．已知：如圖，A、E、F、B四點(diǎn)在同一直線上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．求證：CF=DE．21．在□ABCD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF.（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．22．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．(1)求證：△ADE≌△CBF；(2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．23．在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M．(1)如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH；(2)將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；(3)將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？(不必說明理由)參考答案1．C【解析】連接AC、BD，交于O，如圖所示：∵正方形ABCD，

∴AC=BD，AC⊥BD，

∵E是AD的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)，

∴EH∥AC，F(xiàn)G∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC，

∴EF=EH，EF⊥EH，四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH是正方形．

故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．A【解析】【分析】此題涉及的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等和對(duì)角線互相平分可得，OB=OD，又因?yàn)镋點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，可得OE是△BCD的中位線，可得OE=BC，所以易求△DOE的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)為36，∴2（BC+CD）=36，則BC+CD=18．∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，DE=CD，∴OE是△BCD的中位線，∴OE=BC，∴△DOE的周長(zhǎng)=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長(zhǎng)為15．故選A【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)于平行四邊形的性質(zhì)的理解，三角形的中位線，平行四邊形的對(duì)角對(duì)邊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．B【解析】試題分析：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7，∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=7．故選B．考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．平行四邊形的性質(zhì)．4．C【解析】試題分析：過點(diǎn)D作DE∥a，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故選C．考點(diǎn)：1矩形；2平行線的性質(zhì).5．B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】矩形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有自己獨(dú)有的性質(zhì)：①矩形的四個(gè)角都是直角，②矩形的對(duì)角線相等，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，矩形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有自己獨(dú)有的性質(zhì)：①矩形的四個(gè)角都是直角，②矩形的對(duì)角線相等．6．C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法得出A、B、D正確，C不正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∴A正確，故本選項(xiàng)不符合要求；B.∵AB∥CD∴∠DAO=∠BCO，在△DAO與△BCO中，∴△DAO≌△BCO（ASA），∴OD=OB，

又OA=OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴B正確，故本選項(xiàng)不符合要求；C.由AB=DC，OA=OC，∴無(wú)法得出四邊形ABCD是平行四邊形．故不能能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，符合題意；∵AB∥DC，D.∵∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形），∴D正確，故本選項(xiàng)不符合要求；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定方法；熟練掌握平行四邊形的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．7．B【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，故選B．8．B【解析】解：∵E為CD邊的中點(diǎn)，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵M(jìn)E⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正確；當(dāng)AB=BC時(shí)，即四邊形ABCD為正方形時(shí)，設(shè)DE=EC=1，BM=a，則AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②錯(cuò)誤；∵M(jìn)E⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD?CM，故③正確；∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圓的直徑，∵BM＜AD，∴當(dāng)BM∥AD時(shí)，＜1，∴N不是AM的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N不是△ABM的外心，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解題時(shí)注意：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，故外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．9．D【解析】∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，

∴△BCE≌△CDF，

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF，故①正確；

在Rt△CGD中，H是CD邊的中點(diǎn)，

∴HG=CD=AD，故④正確；

連接AH，

同理可得：AH⊥DF，

∵HG=HD=CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD，故②正確；

∴∠DAG=2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠CHG=∠DAG．故③正確．

故選D．【點(diǎn)睛】運(yùn)用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．A【解析】【分析】在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE：∠BAE=1：2，根據(jù)矩形的性質(zhì)，及已知條件可求出∠DAE，∠BAE的值，再根據(jù)矩形中對(duì)角線相等且平分得到∠OAB=∠OBA=30°，然后求出∠CAE的值即可．【詳解】∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°，∴∠DAE=30°，∠BAE=60°∴∠DBA=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°∴∠CAE=∠BAE-∠OAB=60°-30°=30°．故選A.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，矩形中，對(duì)角線相等且平分；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11．40°【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴∠A=∠C=70°,∵DC=DB,∴∠C=∠DBC=70°，∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.故答案是：40°．【點(diǎn)睛】考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).12．【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】∵四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)．∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最?。逜P．BC=AB．AC，∴AP．BC=AB．AC．∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==5，∴5AP=3×4∴AP=.∴AM=.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)矩形性質(zhì)求出AP的最小值是解題關(guān)鍵．13．2﹣【解析】【分析】由題中條件∠A是它的外角的，可求解∠A的大小，則可在Rt△CEF中由EF的長(zhǎng)求解CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A是它外角的，

∴∠A=·(180°?∠A)，∠A=30°，

∴∠C=30°．

在Rt△CEF中，∠C=30°，EF=1，

∴CE=CD=2，CF=，

故DF=2﹣，

故本題答案為2﹣【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及30°直角三角形的求解問題，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.14．2【解析】【分析】先證明∠ADE=∠DEC，設(shè)∠CED=x，則∠AED=2x，∠ADE=x，證明∠AED=∠AGE=2x，則AE=AG=4，由勾股定理計(jì)算AB的長(zhǎng)即可【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠BAD=90°，

∴∠ADE=∠DEC，

設(shè)∠CED=x，則∠AED=2x，∠ADE=x，

在Rt△FAD中，G是DF的中點(diǎn)，DF=8，

∴AG=DG=4，

∴∠GAD=∠ADE=x，

∴∠AGE=∠GAD+∠ADE=2x，

∴∠AGE=∠AED=2x，

∴AE=AG=4，

由勾股定理得：AB==2故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，還考查了等腰三角形、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)，分別表示相關(guān)的角，根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等，從而可以利用勾股定理計(jì)算邊的長(zhǎng)度．15．（1）證明見解析；（2）9．【解析】【分析】(1)在Rt△ABC中，E為AB的中點(diǎn)，則CEAB，BEAB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°，又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60°，所以FC∥BD，又因?yàn)椤螧AD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，由此即可得四邊形BCFD是平行四邊形；(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解決問題.【詳解】(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，在等邊△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴CEAB，BEAB，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四邊形BCFD是平行四邊形；(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BCAB＝3，AC==3，∴S平行四邊形BCFD＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.16．.【解析】【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，求出∠D=120°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠C=60°，進(jìn)一步求出∠ABF=∠EBC=30°，根據(jù)CE=2，DF=1，求出BC、AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求出答案．【詳解】∵BE⊥CD，BF⊥AD，∴∠BEC=∠BFD=90°，∵∠EBF=60°，∠D+∠BED+∠BFD+∠EBF=360°，∴∠D=120°，∵平行四邊形ABCD，∴DC∥AB，AD∥BC，∠A=∠C，∴∠A=∠C=180°-120°=60°，∴∠ABF=∠EBC=30°，∴AD=BC=2EC=4在△BEC中由勾股定理得：BE=，在△ABF中AF=4-1=3，∵∠ABF=30，∴AB=6，∴平行四邊形ABCD的面積是AB?BE=.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用性質(zhì)求出BE和AB的長(zhǎng)．17．當(dāng)O是AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFCE是菱形，理由見解析.【解析】【分析】當(dāng)O是AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFCE是菱形；根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AD∥BC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求出OE=OF，推出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形的判定推出即可．【詳解】解：當(dāng)O是AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFCE是菱形.理由如下:連接AF，CE.∵在?ABCD中,AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO.∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴AO=CO.又∵∠EOA=∠FOC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF.又∵AO=CO，∴四邊形AFCE是平行四邊形.∴當(dāng)EF⊥AC時(shí),四邊形AFCE是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意推出OE=OF，題目比較典型．18．(1)證明見解析；(2)S四邊形OEBF=a2.【解析】【分析】(1)由題意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，又因?yàn)椤螦OE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根據(jù)ASA證明△AOE≌△BOF全等即可；(2)由(1)得△AOE≌△BOF，進(jìn)而可知S四邊形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2【詳解】(1)證明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF．在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF；(2)兩個(gè)正方形重疊部分面積等于a2，∵△AOE≌△BOF，∴S四邊形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形全等的證明，根據(jù)全等則面積相等，從而求得重疊部分的面積，熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.19．解：（1）BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE．∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．∵在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF=CD．∵AF=BD，∴BD=CD．（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°．∴AFBD是矩形．【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．試題解析：（1）BD=CD．理由如下：依題意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD（三線合一），∴∠ADB=90°，∴?AFBD是矩形．考點(diǎn)：1.矩形的判定；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．20．證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)HL證△ACE與△BDF全等，推出CE=DF，證出CE∥DF，得出四邊形ECFD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE．∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE=∠BDF=90°，在Rt△ACE和Rt△BDF中∴Rt△ACE≌Rt△BDF，∴CE=DF，∠AEC=∠BFD，∴∠CEF=∠DFE，∴CE∥DF，∴四邊形DECF是平行四邊形，∴CF=DE．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，難度中等．利用三角形全等來證明線段相等是解題關(guān)鍵．21．（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DFA=∠FAB，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DAF=∠DFA，根據(jù)角平分線的判定，可得答案．試題分析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四邊形BFDE是矩形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出∠DAF=∠DFA是解題關(guān)鍵．22．（1）證明見解析（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形AGBD是矩形；證明見解析；【解析】【分析】（1）在證明全等時(shí)常根據(jù)已知條件，分析還缺什么條件，然后用（SAS，ASA，SSS）來證明全等；（2）先由菱形的性質(zhì)得出AE=BE=DE，再通過角之間的關(guān)系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四邊形AGBD是矩形．【詳解】解：證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，．∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴，．∴．在和中，，∴．解：當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∵四邊形是菱形，∴．∵，∴．∴，．∵，∴．∴．即．∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．三角形全等的判定條件：SSS，SAS，AAS，ASA．23．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)△FMH還是等腰直角三角形．【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得FB=BM=MD=DH，然后利用“邊角邊”證明△FBM和△MDH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FM=MH，再求出∠FMH=90°，得到FM