第九章 雙變量回歸與相關(guān)課件

第九章雙變量回歸與相關(guān)LinearRegressionandCorrelation1第九章雙變量回歸與相關(guān)雙變量計(jì)量資料：每個(gè)個(gè)體有兩個(gè)變量值

總體：無(wú)限或有限對(duì)變量值樣本：從總體隨機(jī)抽取的n對(duì)變量值

（X1,Y1）,（X2,Y2）,…,（Xn,Yn）

目的：研究X和Y的數(shù)量關(guān)系

方法：回歸與相關(guān)簡(jiǎn)單、基本——直線回歸、直線相關(guān)2第九章雙變量回歸與相關(guān)

Content

1.Linearregression2.Linearcorrelation3.Rankcorrelation4.Curvefitting

3第九章雙變量回歸與相關(guān)

十九世紀(jì)英國(guó)人類學(xué)家F.Galton首次在《自然遺傳》一書(shū)中，提出并闡明了“相關(guān)”和“相關(guān)系數(shù)”兩個(gè)概念，為相關(guān)論奠定了基礎(chǔ)。其后，他和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家KarlPearson對(duì)上千個(gè)家庭的身高、臂長(zhǎng)、拃長(zhǎng)（伸開(kāi)大拇指與中指兩端的最大長(zhǎng)度）做了測(cè)量，發(fā)現(xiàn)：歷史背景：4第九章雙變量回歸與相關(guān)

兒子身高（Y，英寸）與父親身高（X，英寸）存在線性關(guān)系：即高個(gè)子父代的子代在成年之后的身高平均來(lái)說(shuō)不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮個(gè)子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton將這種趨向于種族穩(wěn)定的現(xiàn)象稱之“回歸”。5第九章雙變量回歸與相關(guān)

目前，“回歸”已成為表示變量之間某種數(shù)量依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)，并且衍生出“回歸方程”“回歸系數(shù)”等統(tǒng)計(jì)學(xué)概念。如研究糖尿病人血糖與其胰島素水平的關(guān)系，研究?jī)和挲g與體重的關(guān)系等。6第九章雙變量回歸與相關(guān)第一節(jié)直線回歸7第九章雙變量回歸與相關(guān)一、直線回歸的概念

目的：研究應(yīng)變量Y對(duì)自變量X的數(shù)量依存關(guān)系。特點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)關(guān)系。X值和Y的均數(shù)的關(guān)系，不同于一般數(shù)學(xué)上的X和Y的函數(shù)關(guān)系。8第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-1

某地方病研究所調(diào)查了8名正常兒童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估計(jì)尿肌酐含量（Y）對(duì)其年齡（X）的回歸方程。9第九章雙變量回歸與相關(guān)

表9-18名正常兒童的年齡（歲）與尿肌酐含量（mmol/24h）

10第九章雙變量回歸與相關(guān)11第九章雙變量回歸與相關(guān)

在定量描述兒童年齡與其尿肌酐含量數(shù)量上的依存關(guān)系時(shí)，將年齡稱為自變量(independentvariable)，用X表示；尿肌酐含量稱為應(yīng)變量(dependentvariable)，用Y表示。12第九章雙變量回歸與相關(guān)

由圖9-1可見(jiàn)，尿肌酐含量Y

隨年齡X增加而增大且呈直線趨勢(shì)，但并非8個(gè)點(diǎn)子恰好全都在一直線上，此與兩變量間嚴(yán)格的直線函數(shù)關(guān)系不同，稱為直線回歸（linearregression）,其方程叫直線回歸方程，以區(qū)別嚴(yán)格意義的直線方程。雙變量直線回歸是回歸分析中最基本、最簡(jiǎn)單的一種，故又稱簡(jiǎn)單回歸。13第九章雙變量回歸與相關(guān)直線回歸方程的一般表達(dá)式為

為各X處Y的總體均數(shù)的估計(jì)。14第九章雙變量回歸與相關(guān)1．a(chǎn)為回歸直線在Y

軸上的截距。a>0，表示直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方；a<0，則交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方；a=0，則回歸直線通過(guò)原點(diǎn)。a=0a<0a>0XY15第九章雙變量回歸與相關(guān)b>0，直線從左下方走向右上方，Y隨X增大而增大；

b<0，直線從左上方走向右下方，Y隨X增大而減??；

b=0，表示直線與X軸平行，X與Y無(wú)直線關(guān)系。XY2.b為回歸系數(shù)，即直線的斜率。b的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是：X

每增加(減)一個(gè)單位，Y

平均改變b個(gè)單位。b>0b<0b=016第九章雙變量回歸與相關(guān)

17第九章雙變量回歸與相關(guān)18第九章雙變量回歸與相關(guān)二、直線回歸方程的求法

殘差(residual)或剩余值，即實(shí)測(cè)值Y與假定回歸線上的估計(jì)值的縱向距離。求解a、b實(shí)際上就是“合理地”找到一條能最好地代表數(shù)據(jù)點(diǎn)分布趨勢(shì)的直線。原則：最小二乘法(leastsumofsquares)，即可保證各實(shí)測(cè)點(diǎn)至直線的縱向距離的平方和最?。╔，Y）19第九章雙變量回歸與相關(guān)

20第九章雙變量回歸與相關(guān)21第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-1

某地方病研究所調(diào)查了8名正常兒童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估計(jì)尿肌酐含量（Y）對(duì)其年齡（X）的回歸方程。22第九章雙變量回歸與相關(guān)

表9-18名正常兒童的年齡（歲）與尿肌酐含量（mmol/24h）

23第九章雙變量回歸與相關(guān)解題步驟24第九章雙變量回歸與相關(guān)25第九章雙變量回歸與相關(guān)26第九章雙變量回歸與相關(guān)

此直線必然通過(guò)點(diǎn)(,)且與縱坐標(biāo)軸相交于截距a。如果散點(diǎn)圖沒(méi)有從坐標(biāo)系原點(diǎn)開(kāi)始，可在自變量實(shí)測(cè)范圍內(nèi)遠(yuǎn)端取易于讀數(shù)的X值代入回歸方程得到一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，連接此點(diǎn)與點(diǎn)(,)也可繪出回歸直線。27第九章雙變量回歸與相關(guān)28第九章雙變量回歸與相關(guān)三、直線回歸中的統(tǒng)計(jì)推斷29第九章雙變量回歸與相關(guān)（一）回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)

建立樣本直線回歸方程，只是完成了統(tǒng)計(jì)分析中兩變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)描述，研究者還須回答它所來(lái)自的總體的直線回歸關(guān)系是否確實(shí)存在，即是否對(duì)總體有？30第九章雙變量回歸與相關(guān)31第九章雙變量回歸與相關(guān)32第九章雙變量回歸與相關(guān)1．方差分析

33第九章雙變量回歸與相關(guān)（X，Y）34第九章雙變量回歸與相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)可證明：35第九章雙變量回歸與相關(guān)上式用符號(hào)表示為

式中

36第九章雙變量回歸與相關(guān)37第九章雙變量回歸與相關(guān)上述三個(gè)平方和，各有其相應(yīng)的自由度，并有如下的關(guān)系：

38第九章雙變量回歸與相關(guān)

如果兩變量間總體回歸關(guān)系確實(shí)存在，回歸的貢獻(xiàn)就要大于隨機(jī)誤差，大到何種程度時(shí)可以認(rèn)為具有統(tǒng)計(jì)意義，可計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F39第九章雙變量回歸與相關(guān)式中40第九章雙變量回歸與相關(guān)2.t檢驗(yàn)41第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-2

檢驗(yàn)例9-1數(shù)據(jù)得到的直線回歸方程是否成立？

42第九章雙變量回歸與相關(guān)（1）方差分析43第九章雙變量回歸與相關(guān)

表9-2方差分析表

列出方差分析表如表9-2。44第九章雙變量回歸與相關(guān)（2）t檢驗(yàn)45第九章雙變量回歸與相關(guān)注意：

46第九章雙變量回歸與相關(guān)（二）總體回歸系數(shù)的可信區(qū)間

利用上述對(duì)回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)，可以得到β的1－α雙側(cè)可信區(qū)間為47第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-3

根據(jù)例9-1中所得b=0.1392，估計(jì)其總體回歸系數(shù)的雙側(cè)95%可信區(qū)間。48第九章雙變量回歸與相關(guān)（0.1392-2.447×0.0304，0.1392+2.447×0.0304）=（0.0648，0.2136）49第九章雙變量回歸與相關(guān)（三）利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)

50第九章雙變量回歸與相關(guān)（9-15）

（9-14）

反映其抽樣誤差大小的標(biāo)準(zhǔn)誤為51第九章雙變量回歸與相關(guān)（9-16）

（9-17）

52第九章雙變量回歸與相關(guān)兩條實(shí)曲線——總體均數(shù)的可信區(qū)間；兩條虛曲線——個(gè)體Y值的預(yù)測(cè)區(qū)間，范圍更寬。二者都是中間窄，兩頭寬；都在X=處最窄。53第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-4

用例9-1所得直線回歸方程，計(jì)算當(dāng)X0=12時(shí)，的95%可信區(qū)間和相應(yīng)個(gè)體值的95%預(yù)測(cè)區(qū)間。54第九章雙變量回歸與相關(guān)計(jì)算步驟例9-1、例9-2已計(jì)算出

55第九章雙變量回歸與相關(guān)56第九章雙變量回歸與相關(guān)第二節(jié)直線相關(guān)57第九章雙變量回歸與相關(guān)

直線相關(guān)(linearcorrelation)又稱簡(jiǎn)單相關(guān)(simplecorrelation)，用于雙變量正態(tài)分布(bivariatenormaldistribution)資料。其性質(zhì)可由圖9-6散點(diǎn)圖直觀的說(shuō)明。

目的：研究?jī)蓚€(gè)變量X,Y數(shù)量上的依存（或相關(guān)）關(guān)系。

特點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)關(guān)系一、直線相關(guān)的概念58第九章雙變量回歸與相關(guān)二、相關(guān)系數(shù)的意義與計(jì)算

1.意義：相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）又稱Pearson積差相關(guān)系數(shù)，用來(lái)說(shuō)明具有直線關(guān)系的兩變量間相關(guān)的密切程度與相關(guān)方向。相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位，其值為-1r1。r值為正表示正相關(guān)，r值為負(fù)表示負(fù)相關(guān)，r的絕對(duì)值等于1為完全相關(guān)，r=0為零相關(guān)。59第九章雙變量回歸與相關(guān)60第九章雙變量回歸與相關(guān)2.計(jì)算：樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為

（9-18）

61第九章雙變量回歸與相關(guān)由例9-1算得，按公式（9-18）

例9-5

對(duì)例9-1數(shù)據(jù)（見(jiàn)表9-1），計(jì)算8名兒童的尿肌酐含量與其年齡的相關(guān)系數(shù)。62第九章雙變量回歸與相關(guān)三、相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷（一）相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（9-19）63第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-6

對(duì)例9-5所得r值，檢驗(yàn)?zāi)蚣◆颗c年齡是否有直線相關(guān)關(guān)系？64第九章雙變量回歸與相關(guān)檢驗(yàn)步驟本例n=8，r=0.8818，按公式（9-19）65第九章雙變量回歸與相關(guān)（二）總體相關(guān)系數(shù)的可信區(qū)間

66第九章雙變量回歸與相關(guān)具體步驟如下67第九章雙變量回歸與相關(guān)

例9-7對(duì)例9-5所得r值，估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)的95%可信區(qū)間。

再按公式（9-22）將z作反變換，得到年齡與尿肌酐含量的總體相關(guān)系數(shù)95%可信區(qū)間為（0.4678,0.9971）。

68第九章雙變量回歸與相關(guān)四、決定系數(shù)(coefficientofdetermination)

定義為回歸平方和與總平方和之比，計(jì)算公式為：（9-23）

取值在0到1之間且無(wú)單位，其數(shù)值大小反映了回歸貢獻(xiàn)的相對(duì)程度，也就是在Y的總變異中回歸關(guān)系所能解釋的百分比。

69第九章雙變量回歸與相關(guān)70第九章雙變量回歸與相關(guān)五、直線回歸與相關(guān)應(yīng)用的注意事項(xiàng)

71第九章雙變量回歸與相關(guān)

1．根據(jù)分析目的選擇變量及統(tǒng)計(jì)方法

直線相關(guān)用于說(shuō)明兩變量之間直線關(guān)系的方向和密切程度，X與Y沒(méi)有主次之分；直線回歸則進(jìn)一步地用于定量刻畫(huà)應(yīng)變量Y對(duì)自變量X在數(shù)值上的依存關(guān)系，其中應(yīng)變量的定奪主要依專業(yè)要求而定，可以考慮把易于精確測(cè)量的變量作為X，另一個(gè)隨機(jī)變量作Y，例如用身高估計(jì)體表面積。兩個(gè)變量的選擇一定要結(jié)合專業(yè)背景，不能把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象勉強(qiáng)作回歸或相關(guān)分析。72第九章雙變量回歸與相關(guān)73第九章雙變量回歸與相關(guān)2．進(jìn)行相關(guān)、回歸分析前應(yīng)繪制散點(diǎn)圖—第一步

（1）

散點(diǎn)圖可考察兩變量是否有直線趨勢(shì)；（2）

可發(fā)現(xiàn)離群點(diǎn)（outlier）。

散點(diǎn)圖對(duì)離群點(diǎn)的識(shí)別與處理需要從專業(yè)知識(shí)和現(xiàn)有數(shù)據(jù)兩方面來(lái)考慮，結(jié)果可能是現(xiàn)有回歸模型的假設(shè)錯(cuò)誤需要改變模型形式，也可能是抽樣誤差造成的一次偶然結(jié)果甚至過(guò)失誤差。需要認(rèn)真核對(duì)原始數(shù)據(jù)并檢查其產(chǎn)生過(guò)程認(rèn)定是過(guò)失誤差，或者通過(guò)重復(fù)測(cè)定確定是抽樣誤差造成的偶然結(jié)果，才可以謹(jǐn)慎地剔除或采用其它估計(jì)方法。74第九章雙變量回歸與相關(guān)3．資料的要求

直線相關(guān)分析要求X與Y服從雙變量正態(tài)分布；直線回歸要求至少對(duì)于每個(gè)X相應(yīng)的Y要服從正態(tài)分布，X可以是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量也可以是能精確測(cè)量和嚴(yán)格控制的非隨機(jī)變量；*對(duì)于雙變量正態(tài)分布資料，根據(jù)研究目的可選擇由X估計(jì)Y或者由Y估計(jì)X，一般情況下兩個(gè)回歸方程不相同）。75第九章雙變量回歸與相關(guān)

反應(yīng)兩變量關(guān)系密切程度或數(shù)量上影響大小的統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該是回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，而不是假設(shè)檢驗(yàn)的P值。

P值越小只能說(shuō)越有理由認(rèn)為變量間的直線關(guān)系存在，而不能說(shuō)關(guān)系越密切或越“顯著”。另外，直線回歸用于預(yù)測(cè)時(shí)，其適用范圍一般不應(yīng)超出樣本中自變量的取值范圍。4．結(jié)果解釋及正確應(yīng)用

76第九章雙變量回歸與相關(guān)第三節(jié)秩相關(guān)

(非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法)

77第九章雙變量回歸與相關(guān)適用條件：

雙變量計(jì)量資料：①資料不服從雙變量態(tài)分布；②總體分布型未知，一端或兩端是不確定數(shù)值（如＜10歲，≥65歲）的資料；原始數(shù)據(jù)（一個(gè)或兩個(gè)變量值）用等級(jí)表示的資料。78第九章雙變量回歸與相關(guān)一、Spearman秩相關(guān)

1.意義：等級(jí)相關(guān)系數(shù)rs用來(lái)說(shuō)明兩個(gè)變量間直線相關(guān)關(guān)系的密切程度與相關(guān)方向。79第九章雙變量回歸與相關(guān)3.計(jì)算公式（9-25）

(9-26)

80第九章雙變量回歸與相關(guān)81第九章雙變量回歸與相關(guān)表9-3某省1995年到1999年居民死因構(gòu)成與WYPLL構(gòu)成82第九章雙變量回歸與相關(guān)檢驗(yàn)步驟83第九章雙變量回歸與相關(guān)二、相同秩較多時(shí)rs的校正公式中Tx(或TY)＝Σ(t3－t)/12，t為X(或Y)中相同秩的個(gè)數(shù)。顯然當(dāng)Tx＝TY＝0時(shí)，公式(9-27)與公式(9-25)相等。

(9-27)

84第九章雙變量回歸與相關(guān)、（9-18）Pi→X

Qi→Y85第九章雙變量回歸與相關(guān)第六節(jié)

曲線擬合

(curvefitting)86第九章雙變量回歸與相關(guān)

醫(yī)學(xué)現(xiàn)象中并非所有的兩變量間關(guān)系都表現(xiàn)為前面所述的直線形式，其較為典型