14核心考點突破訓(xùn)練分式計算及應(yīng)用

1.4突破訓(xùn)練：分式的計算及應(yīng)用類型體系類型1：與分式有關(guān)的規(guī)律探究典例：觀察下面的變形規(guī)律：，，……解答下面的問題：(1)若n為正整數(shù)，請你猜想___________．(2)若n為正整數(shù)，請你用所學(xué)的知識證明．解（1）：∵；；，∴．故答案為．（2）證明：∵，∴．鞏固練習(xí)1．觀察下面的等式：，，，……按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論______（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．【答案】【分析】觀察已知等式，可得規(guī)律，用含n的等式表示即可．【詳解】觀察等式可得：，，，∴可得結(jié)論，故答案為：【點睛】本題考查探索規(guī)律及分式得計算，解題的關(guān)鍵是觀察得到已知等式中的規(guī)律．2．觀察下列等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：；根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第個等式：______；（2）計算結(jié)果等于______．【答案】

【分析】（1）觀察等式，分母為連續(xù)兩個偶數(shù)的乘積，分子為2，等式的右邊等于這兩個連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)的差；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律即可求解．【詳解】（1）由題意得：，故答案為：；（2）觀察下列等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式為：，．故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：(1)計算：若n為正整數(shù)，猜想=___________(2)(3)若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知等式得到拆項規(guī)律，寫出即可（2）根據(jù)已知等式得到拆項規(guī)律，寫出即可（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分別計算即可【詳解】（1）（2）（3）∵，∴，，∴，，∴【點睛】本題主要考查了數(shù)字類題目，分式的運算，解決問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)字的變化規(guī)律4．附加題：觀察下列等式：，，，，將以上三個等式兩邊分別相加得：，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)直接寫出下列各式的計算結(jié)果：①______．②______．(2)仿照題中的計算形式，猜想并寫出：______．(3)解方程：．【答案】(1)①，②(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法步驟，即可進行解答；（2）根據(jù)已知等式歸納拆項法則，寫出答案即可；（3）根據(jù)（2）中得出的結(jié)論，將方程進行化簡，即可求解．【詳解】（1）解：①；②．（2）∵，，……，∴，故答案為：．（3）仿照（2）中的結(jié)論，原方程可變形為：，即，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解．故原方程的解為．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分式方程，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察題目，學(xué)會拆項變形，通過觀察數(shù)字之間的變化規(guī)律，得到一般性的結(jié)論．5．觀察下列式子：以上變形的過程稱為“分離系數(shù)法”，可以看作是分式加減運算的逆運算，這是解決有關(guān)分式問題的一種常用的數(shù)學(xué)思想與方法，請同學(xué)們認(rèn)真探索它們的規(guī)律，并回答下列問題：(1)根據(jù)以上式子填空：①．②．(2)按照上述規(guī)律，將分式進行“分離系數(shù)法”為常數(shù)，且；(3)當(dāng)x取哪些正整數(shù)時，分式的值為整數(shù)？【答案】(1)①；②(2)(3)當(dāng)或時，的值為整數(shù)【分析】（1）根據(jù)分離常數(shù)法，先把分子變形，再分離常數(shù)即可；（2）根據(jù)分離常數(shù)法，先把分子變形，再分離常數(shù)即可；（3）先分離常數(shù)，再根據(jù)分式的值為整數(shù)討論即可．【詳解】（1）解：①．故答案為．②．故答案為．（2）解：；（3）解：，當(dāng)x為正整數(shù)，且為5的約數(shù)時，的值為整數(shù)，∴或或或時，的值為整數(shù)，解得（舍去）或（舍去）或或，故當(dāng)或時，的值為整數(shù)．【點睛】本題考查了知識拓展，分式加減的逆運算，以及分式的值為0的條件，熟練掌握“分離系數(shù)法”是解答本題的關(guān)鍵．6．閱讀理解并回答問題．觀察下列算式：……(1)填空：＝＝；(2)請用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點的一般規(guī)律：．(3)請用（2）中的規(guī)律解方程：．【答案】(1)(2)(3)x＝10【分析】（1）觀察已知算式計算格式，計算即可得結(jié)果；（2）觀察給出的算式，可得規(guī)律：；（3）由（2）中的規(guī)律，可將原方程化為，即可得，解此方程即可求得答案．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：由題中給出的算式可得：；故答案為：；（3）解：原方程變形為：即，∴x+10＝2x，解得：x＝10，檢驗：左邊＝，右邊＝，即x＝10是原分式方程的解，∴原分式方程的解為：x＝10．【點睛】此題考查了分式的加減運算與分式方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是得到規(guī)律：．7．觀察下列式子：，，，，……按照上面式子的規(guī)律，完成下列問題：(1)再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的式子：①，②；(2)設(shè)第一個數(shù)為x，則這個規(guī)律可用字母x表示為＝（）（不必寫出字母的取值范圍）；(3)驗證這個規(guī)律．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)x3，6x，6x3(3)見解析【分析】（1）根據(jù)所給式子，寫出符合條件的即可；（2）第一個數(shù)為x，第一個數(shù)的分母為x3，第二個數(shù)的分子為6x,分母為6x3，由此可得結(jié)論；（3）利用分式的運算方法驗證即可．（1）①；②；故答案為：，（答案不唯一）（2）通過觀察可得規(guī)律：，故答案為：x3，6x，6x3；（3）=2，∴成立．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分式的加減運算，通過觀察式子的特點，找到各式子分子、分母之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．8．觀察下列一組等式：第①個等式：；第②個等式：；第③個等式：；第④個等式：．根據(jù)你觀察到的規(guī)律，完成以下問題：(1)第⑤個等式為______；(2)用n的式子表示第個等式為______；(3)若等式是符合上面規(guī)律的等式，27是的一個平方根，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a＝9【分析】（1）根據(jù)題目中給出的式子，可以寫出第⑤個等式；（2）根據(jù)題目中式子的特點，可以寫出第n個等式．（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律解答即可．（1）第①個；第②個；第③個；第④個；第⑤個等式為：，故答案為：；（2）∵第①個；第②個；第③個；第④個；第個等式為：；故答案為：；（3）由（2）可知，，．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應(yīng)的式子．9．探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：(1)＝______；＝______；(2)利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：+…+．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可直接得答案；（2）利用（1）中的規(guī)律對式子進行變形，再消去互為相反數(shù)的項，即可求解．（1），；（2）+…+…+．【點睛】本題考查了分式的加減，根據(jù)已知算式找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律，，，……(1)試用正整數(shù)n表示這個規(guī)律：______；(2)當(dāng)時，試計算：；(3)請你嘗試解方程：【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)前幾個式子的運算規(guī)律求解即可；（2）利用（1）中的運算規(guī)律將式子中的每一項分成兩項，然后合并再代值求解即可；（3）類比前面的運算方法求解即可．（1）解：∵，，，……∴用正整數(shù)n表示這個規(guī)律為，故答案為：；（2）解：∵，∴，當(dāng)n=2022時，原式；（3）解：∵，，，∴原方程可化為，，，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究、分式的化簡求值、解分式方程，根據(jù)已知式子找到變化規(guī)律，運用類比方法求解是解答的關(guān)鍵．11．觀察下列各等式：①；②；③；④…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明其正確性．【答案】(1)(2)（n為正整數(shù)），證明見解析【分析】（1）根據(jù)題干前4個運算式的提示，歸納出相同的運算式的特點，再寫出第⑤個即可；（2）把等式的左邊通分，再計算即可得到結(jié)論．（1）解：①；②；③；④，所以⑤為：故答案為（2）由（1）歸納可得：（n為正整數(shù)），證明如下：．故答案為：（n為正整數(shù)）．【點睛】本題考查的是運算規(guī)律的探究，分式的加減運算，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵．12．觀察下列等式：，，，把以上三個等式兩邊分別相加得：．這種求和的方法稱為裂項求和法：裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的．(1)猜想并寫出：＝______．(2)規(guī)律應(yīng)用：計算：；(3)拓展提高：計算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）逆用分式的減法法則計算即可．（2）根據(jù)（1）的特點,裂項后求和，注意其中的規(guī)律，清楚被銷項和保留項，計算即可．（3）把分母的各數(shù)中各提取2，轉(zhuǎn)化成（2）式問題計算即可．【詳解】（1）∵=，故答案為：．（2）===．（3）=====．【點睛】本題考查了分式的加減混合運算，正確找到規(guī)律，靈活運用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：___________；(2)寫出你猜想的第個等式：__________（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題目中前5個等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，從而可以寫出第6個等式；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．(1)解：；(2)解：，理由如下：左邊右邊，∴等式成立．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關(guān)鍵．14．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：按照以上規(guī)律，解決下列問題；(1)寫出第5個等式：______；(2)寫出第n個等式：______（用含n的等式表示），并證明；(3)計算：【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)規(guī)律寫出第5個等式即可；（2）根據(jù)前幾個等式即可得出規(guī)律，從而即可寫出第n個等式；（3）根據(jù)變形整理計算即可．(1)第5個等式為：．故答案為：；(2)第n個等式為：．證明：左邊右邊∴等式成立．故答案為：；(3)．【點睛】本題考查分式的規(guī)律性問題．根據(jù)前幾個等式總結(jié)出規(guī)律是解題關(guān)鍵．15．觀察下列各式：，(1)從上面的算式及計算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格：________；(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整數(shù)，且，化簡求的值．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)所給的三個等式歸納規(guī)律解答即可；（2）利用得出的規(guī)律，運用平方差公式進行分解因式；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律，當(dāng)m=2時，得出a，b，c，d的值，再進行化簡求值．（1）解：根據(jù)題意，由所給的三個等式，可歸納出：；故答案為：；（2）解：由（1）可知，∴，設(shè)（），∴∵，∴；（3）解：由（2）可知，當(dāng)時，則，∵，∴，∵a、b、c、d都是正整數(shù)，且a＞b＞c＞d；∴a=17，b=5，c=3，d=1；∵，當(dāng)a=17，b=5，c=3，d=1；∴原式；【點睛】本題考查了用平方差公式進行因式分解，分式的化簡，根據(jù)所給的等式歸納出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．16．【閱讀材料】若分式A與分式B的差等于它們的積，即，則稱分式B是分式A的“關(guān)聯(lián)分式”．例如與，解：，，是的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)【解決問題】已知分式，則，的“關(guān)聯(lián)分式”（填“是”或“不是”）．(2)和諧小組成員在求分式的“關(guān)聯(lián)分式”時，用了以下方法：解：設(shè)的“關(guān)聯(lián)分式”為B，則，，．請你仿照和諧小組成員的方法求分式的“關(guān)聯(lián)分式”．(3)【拓展延伸】觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律直接寫出分式的“關(guān)聯(lián)分式”：________．【答案】(1)是(2)(3)【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義判斷；（2）仿照和諧小組成員的方法，設(shè)的關(guān)聯(lián)分式是N，則，求出N即可；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果找出規(guī)律，再利用規(guī)律求解．（1）解：∵，，∴是的“關(guān)聯(lián)分式”．故答案為：是；（2）解：設(shè)的關(guān)聯(lián)分式是N，則：∴∴∴；（3）解：由（1）（2）知：的關(guān)聯(lián)分式為：．故答案為：．【點睛】本題考查用新定義解決數(shù)學(xué)問題，熟練掌握分式混合運算法則是求解本題的基礎(chǔ)．類型2：分式的化簡求值典例：先化簡：，再從一元一次不等式的解集中選擇一個你喜歡的數(shù)代入求值．解：原式．解得，，由原式可知，a不能取1，0，，∴當(dāng)時，原式．鞏固練習(xí)1．已知，那么______．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式，以及分式的乘除運算法則即可求出答案．【詳解】解：，，，，∴故答案為：．【點睛】本題考查開平方、分式化簡求值運算以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（1）計算：；（2）先化簡，再求的值，其中是不等式的非負(fù)整數(shù)解．【答案】（1）；（2）；時，原式【分析】（1）利用去絕對值符號，再利用（，p為正整數(shù)）和計算和，最后利用代入求值；（2）根據(jù)分式的混合運算法則化簡分式，注意約分找最大公因式，通分找公分母，再解不等式求得x的取值范圍，找到范圍內(nèi)的非負(fù)整數(shù)，選擇不會使得原分式、化簡過程中出現(xiàn)的分式以及最后結(jié)果中的分式分母不為0的x的值代入求值．【詳解】解：（1）原式；（2）原式，解得，不等式的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2，且，且，，則原式．【點睛】本題考查了實數(shù)的計算和分式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵在于熟記計算公式，掌握運算法則，注意分式的意義，并仔細(xì)計算．3．先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先把括號中通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，約分后即可得到最簡結(jié)果，最后把的值代入即可求得答案．【詳解】解：原式；當(dāng)，時，原式．【點睛】本題主要考查的是分式的化簡求值，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．4．當(dāng)時，求的值．【答案】【分析】先根據(jù)分式的運算順序和運算法則，將分式進行化簡，再代入x的值進行計算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算的運算順序和運算法則．5．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先通分算括號內(nèi)的，把除化為乘，然后進行加減，化簡后將代入計算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運算法則，將所求式子化簡．6．先化簡，再求值：，從，，0，1，2中選擇一個有意義的數(shù)求值．【答案】，當(dāng)時，【分析】先根據(jù)分式混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取使分式有意義的m的值代入計算可得．【詳解】∵，∴，且，∴當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括號，先算括號），然后約分得到最簡分式或整式，然后把滿足條件的字母的值代入計算得到對應(yīng)的分式的值．7．求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的運算法則進行化簡，然后把a的值代入計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．8．已知非零實數(shù)a、b、c、x、y、z滿足，求的值．【答案】1【分析】先通過比例的性質(zhì)轉(zhuǎn)化得到，，，然后再代入中化簡求值即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，∴【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及分式化簡求值，解題關(guān)鍵是掌握比例的相關(guān)性質(zhì)．9．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先把括號內(nèi)通分化簡，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法約分化簡．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．10．我們定義：如果一個代數(shù)式有最大值，就稱之為“青一式”，對應(yīng)的最大值稱之為“青一值”．如：是“青一式”，它的“青一值”為4．(1)以下代數(shù)式是“青一式”的有___________（請?zhí)钚蛱枺?/p>

②

③

④(2)如果實數(shù)請判斷代數(shù)式是否為“青一式”？如果是，請求出它的“青一值”，如果不是，請說明理由．(3)①已知，求“青一式”的“青一值”，并求出此時x和y滿足何種條件？②求代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”．【答案】(1)②④(2)是“青一式”，“青一值”為6(3)①的“青一值”為，此時；②【分析】（1）由“青一式”的定義結(jié)合各代數(shù)式的特點判斷即可；（2）由題意可得出，代入中，并整理得：，即代數(shù)式有最大值為6，即說明代數(shù)式是“青一式”，“青一值”為6；（3）①由，，可得出，即的最大值為，且此時，即的“青一值”為，此時；②．再由，當(dāng)時，取得最大值，也取得最大值，即得出當(dāng)時，有最大值，即代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”為．【詳解】（1）解：①代數(shù)式?jīng)]有最大值不是“青一式”；②∵代數(shù)式，∴其有最大值，是“青一式”；③∵代數(shù)式，∴其沒有最大值，不是“青一式”；④∵代數(shù)式有最小值2，∴代數(shù)式有最大值，是“青一式”．綜上可知②④是“青一式”．故答案為：②④；（2）解：是“青一式”，“青一值”為6．∵，∴，∴，∴代數(shù)式有最大值為6，∴代數(shù)式是“青一式”，“青一值”為6；（3）①∵，，∴，∴，即的最大值為．∵此時當(dāng)，∴，∴的“青一值”為，此時；②∵，又∵，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，∴代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”為．【點睛】本題考查對新定義的理解，完全平方公式的應(yīng)用，分式混合運算的應(yīng)用，平方非負(fù)性的應(yīng)用．讀懂題意，理解“青一式”和“青一值”的定義是解題關(guān)鍵．11．先化簡再求值：(1)，其中(2)，并從，0，2中選一個合適的數(shù)代入求值．【答案】(1)，(2)，當(dāng)時，原式【分析】（1）先利用公式將分式化簡，然后計算出x的值，代入化簡后的分式計算即可求出答案；（2）先利用公式將分式化簡，然后代入2計算即可求出答案．【詳解】（1）原式∴原式（2）原式∵，，∴∴原式【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是運用公式將分式進行化簡．12．已知，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后計算分式的加法，最后將代入計算即可得．【詳解】解：原式，，，則原式．【點睛】本題考查了分式的求值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．13．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則對原式進行化簡，再將的值代入即可求解．【詳解】解：原式=；∵，∴原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值．14．先化簡：，再從1，，2中選一個你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值．【答案】，．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取使分式有意義的a的值代入計算可得．【詳解】解：，∵，∴取，則原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．15．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】【分析】利用分式的相應(yīng)的法則對式子進行化簡，再代入相應(yīng)的值運算即可．【詳解】解：，∵，∴∴，∴，∴該代數(shù)式的值為．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．15．先化簡，再求值：，其中．【答案】，．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的混合運算，正確對分式進行通分、約分是關(guān)鍵．17．先化簡，再求值:，其中．【答案】，．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．還考查了分母有理化．18．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】先算括號內(nèi)的減法，分子分母能因式分解的進行因式分解，再利用除法法則變形，約分后即可化簡；代入特殊角三角函數(shù)值求出x，然后將x的值代入化簡后的式子計算即可．【詳解】解：原式；∵，∴原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的乘法，分母有理化以及特殊角三角函數(shù)值的運算，熟練掌握運算法則，牢記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．19．先化簡再求值：，其中【答案】；【分析】先求出x的值，再化簡，最后代入計算即可．【詳解】解：，，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，求出是解題的關(guān)鍵．類型3：與分式有關(guān)的糾錯問題典例：學(xué)習(xí)了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過程分別如下：老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯誤.請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正.（1）我選擇哪位同學(xué)的解答過程進行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學(xué)的解答從第幾步開始出現(xiàn)錯誤（填序號），錯誤的原因是什么.（3）請寫出正確解答過程.解：（1）我選擇甲同學(xué)的解答過程進行分析（或者選擇乙均可），故答案為甲（答案不唯一）；（2）甲同學(xué)在第②步計算錯誤，對分式進行通分時，將分母乘以x+1，而分子沒有乘以x+1，故答案為②，通分時，將分母乘以x+1，而分子沒有乘以x+1；（3），，，，.鞏固練習(xí)1．若，為實數(shù)且滿足，，設(shè)，，有以下個結(jié)論：①若，則；②若，則下列判斷正確的是(

)A．①對②錯 B．①錯②對 C．①②都錯 D．①②都對【答案】D【分析】①中只需通過求出MN=0需要滿足的條件，看是否與ab=1相同即可；②通過計算得到，根據(jù)，得到a，b互為相反數(shù)，得到ab≤0，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵，且，，∴當(dāng)時，，即，故正確；∵，又∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴∴，故正確．綜上所述，結(jié)論都正確，故選：．【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握分式的混合運算的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．在復(fù)習(xí)分式的化簡運算時，老師把兩位同學(xué)的解答過程分別展示如圖，你對兩位同學(xué)解答過程的評價為（

）甲同學(xué)：乙同學(xué)：A．甲對乙錯 B．乙對甲錯 C．兩人都對 D．兩人都錯【答案】D【分析】甲：由分式加減運算法則和分式的基本性質(zhì)求解；乙：根據(jù)所給的例子可知，，即取中較小的數(shù)，據(jù)此即可判斷．【詳解】甲同學(xué)：故甲錯誤．乙同學(xué)：故乙錯誤，則兩人都錯．故選：D．【點睛】本題主要考查分式的混合運算以及新定義下實數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算和新定義題目的理解．3．在復(fù)習(xí)分式的化簡運算時，老師把兩位同學(xué)的解答過程分別展示如圖，你對兩位同學(xué)解答過程的評價為（

）甲同學(xué)：乙同學(xué)：A．甲對乙錯 B．乙對甲錯 C．兩人都對 D．兩人都錯【答案】D【解析】根據(jù)分式的運算法則求解．【詳解】解：∵==，∴甲乙兩人都做錯了，故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．4．為了提升學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)老師采用小組競賽的方法學(xué)習(xí)分式，要求每小組的四個同學(xué)合作完成一道分式計算題，每人只能在前一人的基礎(chǔ)上進行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成計算，每做對一步得10分，從哪一步出錯，后面的步驟無論對錯，全部不計分．某小組計算過程如下所示，該組最終得分為（

）………………甲………乙………丙=—2……丁A．10分 B．20分 C．30分 D．40分【答案】B【分析】分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．【詳解】解：原式，因此從丙開始出現(xiàn)錯誤．故得分為20分．故選：B．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練分解因式是解題的關(guān)鍵．5．樂陵市某中學(xué)八年級教師為鼓勵學(xué)生合作學(xué)習(xí)設(shè)計了一個接力游戲——用合作的方式完成分式化簡.規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進行下一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的情況是（

）A．只有甲出錯 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁【答案】B【分析】根據(jù)分式運算法則逐一分析判斷即可.【詳解】解：由教師到甲：，故甲錯誤；由甲到乙：，故乙錯誤；由乙到丙：，故丙正確；由丙到?。?，故丁正確.故選B.【點睛】此題考查的是分式的化簡，掌握分式各個運算法則是解決此題的關(guān)鍵.6．已知a、b為實數(shù)且滿足a1，b1，設(shè)M，N，則下列兩個結(jié)論（

）①ab1時，MN；ab1時，MN.②若ab0,則MN0.A．①②都對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①②都錯【答案】C【分析】①根據(jù)分式的減法法則計算，然后分情況討論即可得結(jié)論；②根據(jù)方式的乘法運算法則計算，再進行分類討論即可得結(jié)論．【詳解】∵M，N，∴①當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，或，∴或，∴或；故①錯②，∵，∴原式∵，∴，∵，∴，∴，故②對．故選：C．【點睛】本題考查分式的運算法則，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的熟練運用．7．如圖，是淇淇對分式化簡求值的計算過程，嘉嘉看了以后說淇淇的計算步驟中有錯誤，則從上一步化簡到下一步時，開始出錯的步驟是（

）

①

②

③④A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根據(jù)分式化簡求值的過程，找出錯誤的步驟即可.【詳解】分式化簡的正確過程為：．∴出錯的步驟是③.故選C.【點睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．錯因分析

中等題.失分的原因是：沒有掌握分式運算法則及化簡步驟.8．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上，則甲、乙兩塊地的撒播密度比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)播種的數(shù)量為n，分別表示出甲、乙兩塊地的撒播密度，求出之比即可．【詳解】解：設(shè)播種的數(shù)量為n，∴甲的撒播密度為：，乙的撒播密度為，∴甲、乙的撒播密度比為，故選B．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解決本題的關(guān)鍵．9．已知兩個分式：，；將這兩個分式進行如下操作：第一次操作：將這兩個分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第三次操作；將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：①；②當(dāng)時，；③若，則；④在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，．以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】設(shè)，，分別求出，，，，…，，，得到規(guī)律，即可一一判斷．【詳解】設(shè)，，則，；，；，；，；，；，；，；…一般地：，，則④正確；∴，故①正確；當(dāng)時，，而，∴，故②正確；若，即，解得：，故③錯誤；故正確的有3個；故選：B．【點睛】本題是規(guī)律探索問題，考查了分式的運算，解分式方程等知識，關(guān)鍵是由特殊出發(fā)得到一般規(guī)律．10．如圖，設(shè)（），則有（）A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2【答案】C【分析】分別計算出甲圖陰影部分面積和乙圖陰影部分面積，然后計算比值即可．【詳解】解：甲圖中陰影部分的面積為：，乙圖中陰影部分的面積為：，∴，∵，∴，∴故選：C．【點睛】本題考查分式運算的應(yīng)用，計算圖中陰影部分面積及熟悉分式的運算是解題的關(guān)鍵．11．有這樣一道題：“化簡求值：其中．”小明誤把寫成，最后的計算結(jié)果也是正確的，這是什么原因？【答案】原因見解析【分析】把題目中的式子化簡，然后觀察結(jié)果，即可說明理由．【詳解】解：，結(jié)果為常數(shù)5與m的取值無關(guān)，小明誤把寫成，最后的計算結(jié)果也是正確的．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運算的運算法則．12．老師所留的作業(yè)中有這樣一個分式的計算題，甲、乙兩位同學(xué)完成的過程分別如下：甲同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步乙同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯誤．(1)請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正．我選擇______同學(xué)的解答過程進行分析（填“甲”或“乙”）．該同學(xué)的解答從第____步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是_______；(2)請重新寫出完成此題的正確解答過程：【答案】(1)甲，一，通分時第一個分式的分子少乘了x1；（或乙，二，直接去掉分母）；(2)【分析】（1）根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則即可判斷；（2）根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則重新計算可得．【詳解】（1）我選擇甲同學(xué)的解答過程進行分析，該同學(xué)的解答從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是通分時第一個分式的分子少乘了x1；或我選擇乙同學(xué)的解答過程進行分析，該同學(xué)的解答從第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是直接去掉分母；故答案為：甲，一，通分時第一個分式的分子少乘了x1；（或乙，二，直接去掉分母）；（2）(選甲為例）===【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．13．（1）計算：．（2）下面是夏紅同學(xué)對題目的計算過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：已知，求的值．原式第一步第二步第三步所代入上式，得原式第四步第五步．第六步任務(wù)一：填空：①在化簡步驟中，第______步是進行分式的通分．②第_____步開始出錯，這一錯誤的原因是______．任務(wù)二：請直接寫出該題計算后的正確結(jié)果．【答案】（1）10；（2）任務(wù)一：①一；②五，分子沒有乘；任務(wù)二：．【分析】（1）根據(jù)平方差公式的化簡括號，然后進行計算即可求解；（2）根據(jù)分式的化簡求值，分母有理化進行計算即可求解．【詳解】（1）原式=6+5－1=10．（2）任務(wù)一：①一．②五，分子沒有乘．任務(wù)二：原式=．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，分式的化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵．14．計算時，小明、小亮兩位同學(xué)的解法如下：小明：

①

②小亮：

③

④(1)判斷：小明、小亮兩位同學(xué)的解題過程有無錯誤？若無誤，請直接跳到下一問；若有誤，則找出最先出錯的式子：______（填序號）．(2)請任選一種自己喜歡的解法，完成解答．【答案】(1)①(2)選小明的解法，解答見解析【分析】（1）逐步分析兩位同學(xué)的做法，找出出錯的式子．（2）任選其一，利用通分，化簡即可解出答案．【詳解】（1）解：小明：

①

②故最先出錯的式子為小明的解題過程中的①；故答案為：①（2）解：選第一種解法，過程如下：

＝＝＝【點睛】本題考查了分式的加減混合運算，關(guān)鍵在于熟練掌握分式混合運算的法則和步驟．15．（1）計算：．（2）下面是小明同學(xué)分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．解：……第一步……第二步．……第三步①小明的解答過程從第______步開始出錯；②請你寫出正確的解答過程．【答案】（1）1；（2）①一；②【分析】（1）先化簡各式，然后進行計算即可解答；（2）①通過觀看解答，根據(jù)分式通分的概念可知第一步出錯；②先通分，然后根據(jù)同分母分式相加減的法則計算即可．【詳解】（1）原式=1（2）①一．②【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，分式的運算等，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，能將分式通分和約分并熟練地運算各式．16．請你閱讀圓圓同學(xué)的解題過程，并回答所提出的問題．計算：＋．圓圓的解法原式＝……①＝……②＝……③問：圓圓在第步開始出錯（寫出序號即可）；請你給出正確的解答過程．【答案】②；見解析過程【分析】注意觀察圓圓的解題過程中每一步過程的變化即可找到開始出錯的位置，進而寫出正確的解答過程．【詳解】圓圓在第②步開始出錯；正確的解答過程如下：＋＝＝＝＝【點睛】本題考查了分式的運算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．17．（1）先化簡，再求值，其中x為方程x2﹣4＝0的根．（2）小剛在學(xué)習(xí)一元二次方程時，解方程2x（x﹣3）＝（3﹣x）的過程如下：原方程可化為2x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．（第一步）方程兩邊同時除以x﹣3，得x＝﹣．（第二步）小剛的解答過程是從第

步開始出錯的，請寫出正確的解答過程．【答案】（1），2；（2）二，正確解答見解析．【分析】（1）先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再解一元二次方程求出其根，繼而根據(jù)分式有意義的條件選擇使分式有意義的x的值代入計算即可；（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可判斷出錯步驟，再進一步求解即可．【詳解】解：（1）原式＝﹣＝﹣＝，解方程x2﹣4＝0得x＝±2，∵x≠±1且x≠2，∴x＝﹣2，則原式＝＝﹣2；（2）小剛的解答過程是從第二步開始出錯的，正確的解答過程如下：2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2x+1）＝0，則x﹣3＝0或2x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣．故答案為：二．【點睛】本題考查了分式的化簡求值與解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．18．（1）解方程：①②（2）學(xué)習(xí)“分式”一章后，老師寫出下面的一道題讓同學(xué)們解答．計算：，其中小明的解答過程如下：解：原式=………………（第一步）=………………（第二步）=………………（第三步）=………………（第四步）上述計算過程中，是從第步開始出錯，請寫出正確的解答過程．【答案】（1）①x1=1，x2=3；②x1＝?9，x2＝；（2）二，【分析】（1）①利用因式分解法求解即可；②利用直接開平方法求解可得；（2）題目是異分母的分式相減，先確定最簡公分母，再通分變成同分母的分式，進行減法運算，結(jié)果化成最簡分式或者整式．【詳解】解：（1）①，∴，∴x+1=0或x3=0，解得x1=1，x2=3；②，兩邊開方得：2（x3）=±3（x+1），當(dāng)2（x3）=3（x+1）時，解得：x=9；當(dāng)2（x3）=3（x+1）時，解得：x＝，∴原方程的根為x1＝?9，x2＝；（2）分式加減的過程中丟掉了分母，所以第二步出現(xiàn)了錯誤．正確的解答過程為：====【點睛】本題考查了解一元二次方程，異分母分式的加減，掌握法則是關(guān)鍵．異分母的分式相加減，先通分化成同分母的分式，再加減．結(jié)果要化成最簡分式或整式．19．下面是小東同學(xué)課堂上進行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)問題．（1）填空：①以上化簡步驟中，第步進行的是分式的通分，通分的依據(jù)是.即為：；②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；（2）請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：（3）除注意上述錯因外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給其他同學(xué)提一條建議．……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步……第六步……第七步【答案】（1）①二，分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；②四，括號前是“”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；（2）；（3）最后結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式（答案不唯一）．【分析】（1）①根據(jù)分式的通分及分式的基本性質(zhì)可直接進行求解；②根據(jù)分式的加減運算法則及去括號法則可直接進行求解；（2）依據(jù)分式的加減運算可進行求解；（3）根據(jù)分式的運算回答合理即可．【詳解】解：（1）①以上化簡步驟中，第二步進行的是分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，即為：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；故答案為二，分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；②第四步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是括號前是“”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；故答案為四，括號前是“”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；（2）======；（3）答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式；約分、通分時，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)變形；分式化簡不能與解分式方程混淆等等．【點睛】本題主要考查分式的運算，熟練掌握分式的運算是解題的關(guān)鍵．20．（1）計算：（2）化簡：．小江的解答如下：①②③小江的解答過程從第______步（填“①”或“②”或“③”）開始出錯，請你寫出正確的解答過程．【答案】（1）0；（2）①，過程見解析．【分析】（1）根據(jù)絕對值、負(fù)指數(shù)冪的運算法則和銳角三角函數(shù)值進行計算；（2）先通分，再按同分母分式相加減的法則運算．【詳解】解：（1）原式=2+13．（2）第①步；原式．【點睛】本題考查了絕對值、負(fù)指數(shù)冪、三角函數(shù)值、分式的化簡等知識點，熟知相應(yīng)的運算法則是解題的關(guān)鍵．58．下面是某同學(xué)在完成作業(yè)本（2）第5題第（2）小題的過程．……①……②……③上面的解題過程________（填“正確”或“錯誤”）；如果正確，請寫出每一步的依據(jù)；如果有錯，請寫出從第幾步開始出錯，并寫出正確的解題過程．【答案】錯誤，從第①步開始出錯，正確的解題過程見解析．【分析】根據(jù)分式的減法法則即可得．【詳解】由分式的減法法則可知，上面的解題過程錯誤，從第①步開始出錯，正確的解題過程如下：，，．【點睛】本題考查了分式的減法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．21．下面是小明化簡的過程解：＝①＝②＝﹣③（1）小明的解答是否正確？如有錯誤，錯在第幾步？（2）求當(dāng)x＝時原代數(shù)式的值．【答案】（1）第①步（2）【分析】（1）根據(jù)分式的乘除法可以明確小明在哪一步出錯了，從而可以解答本題；（2）根據(jù)分式的乘除法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】（1）小明的解答不正確，錯在第①步；（2）＝＝，當(dāng)x＝時，原式＝．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．22．某同學(xué)化簡分式出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：解：原式＝

（第一步）＝

（第二步）＝－

（第三步）（1）你認(rèn)為該同學(xué)的解答過程是從第幾步開始出錯的？（2）寫出你的解答過程．【答案】（1）第一步開始出錯；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷；（2）根據(jù)分式的加減法運算法則計算即可．【詳解】解：（1）第一步開始出錯；（2）【點睛】本題考查的是分式的加減法，掌握分式的加減法運算法則是解題的關(guān)鍵．23．計算:學(xué)習(xí)了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過程分別如下：甲同學(xué)：

①②③④乙同學(xué)：①②③④老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯誤.請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正.（1）我選擇________同學(xué)的解答過程進行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學(xué)的解答從第________步開始出現(xiàn)錯誤（填序號），錯誤的原因是________；（3）請寫出正確解答過程.【答案】（1）甲（或乙）；（2）若選擇甲，則答案為：②，通分時，將分母乘以，而分子沒有乘以；若選擇乙，則答案為：③，直接去掉了分母；（3）詳見解析.【分析】甲的錯誤是第②步通分時，分子沒有乘，乙的錯誤是第③步直接去掉了分母，任選一個作答即可，按照通分，合并的步驟寫出正確過程即可.【詳解】解：（1）甲（或乙）；（2）若選擇甲，則答案為：②，通分時，將分母乘以，而分子沒有乘以；若選擇乙，則答案為：③，直接去掉了分母；（3）正確解答過程如下：

.【點睛】本題考查分式的計算，注意通分時不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程區(qū)分開.24．某學(xué)生在化簡求值：，其中x＝時出現(xiàn)錯誤，解答過程如下，原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）當(dāng)x＝是，原式＝（第四步）（1）該學(xué)生解答過程從第步開始出錯的，其錯誤原因是．（2）寫出此題的正確解答過程．【答案】（1）一，分式的基本性質(zhì)用錯；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和分式的基本性質(zhì)可以解答本題；（2）根據(jù)分式的加法可以化簡題目中的