2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.2.1-2充分條件與必要條件充要條件課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時作業(yè)3充分條件與必要條件充要條件|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：φ＝0時，函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx是偶函數(shù)，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函數(shù)時，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件．答案：A2．設(shè)甲、乙、丙是三個命題，假如甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么()A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙是甲的充要條件D．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件解析：因為甲是乙的必要條件，所以乙?甲．又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙D?/丙，如圖．綜上，有丙?甲，但甲D?/丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．答案：A3．已知：p：eq\f(1,x－2)≥1.q：|x－a|<1，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2,3]B．[2,3]C．(2,3)D．(－∞，3]解析：p：eq\f(1,x－2)≥1?2<x≤3，q：|x－a|<1?a－1<x<a＋1，因為p是q的充分不必要條件，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤2，,a＋1>3，))解得2<a≤3.故選A.答案：A4．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)．則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若直線a，b相交，設(shè)交點為P，則P∈α，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．答案：A5．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|解析：對于A，當a＝－b時，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；對于B，留意當a∥b時，eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)可能不相等；對于C，當a＝2b時，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；對于D，當a∥b，且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).綜上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是a＝2b.答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)6．下列命題：①“x>2且y>3”是“x＋y>5②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集為R③“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1④“xy＝1”是“l(fā)gx＋lgy＝0其中真命題的序號為____________．解析：①x>2且y>3時，x＋y>5成立，反之不肯定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5②不等式解集為R的充要條件是a<0且b2－4ac<0，故②③當a＝2時，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則eq\f(a,1)＝eq\f(2,1)，∴a＝2.因此，“a＝2”是“兩直線平行”的充要條件；④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“l(fā)gx＋lgy＝0”成立，xy因此“xy＝1”是“l(fā)gx＋lgy＝0”綜上可知，真命題是④.答案：④7．已知p是r的充分條件而不是必要條件，s是r的必要條件，q是r的充分條件，q是s的必要條件．現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件②p是q的充分條件而不是必要條件③r是q的必要條件而不是充分條件④r是s的充分條件而不是必要條件則正確命題序號是________．解析：由p是r的充分條件而不是必要條件，可得p?r，由s是r的必要條件可得r?s，由q是r的充分條件得q?r，由q是s的必要條件可得s?q，故可得推出關(guān)系如圖所示：據(jù)此可推斷命題①②正確．答案：①②8．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要條件，則p?q，但qD?/p，也就是說，p對應集合是q對應集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)三、解答題(每小題10分，共20分)9．下列各題中，推斷p是q的什么條件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對角線相互平分，q：四邊形是矩形；(4)p：圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解析：(1)因為|x|＝|y|Dx＝y(tǒng)，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，所以p是q的必要條件，但不是充分條件．(2)因為△ABC是直角三角形D△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形D△ABC是直角三角形，所以p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件．(3)因為四邊形的對角線相互平分D四邊形是矩形，四邊形是矩形?四邊形的對角線相互平分，所以p是q的必要條件，但不是充分條件．(4)若圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，則圓心到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即r＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，所以c2＝(a2＋b2)r2；反過來，若c2＝(a2＋b2)r2，則eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝r成立，說明x2＋y2＝r2的圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要條件．10．已知p：實數(shù)x滿意x2－4ax＋3a2<0(a>0)，q：實數(shù)x滿意x2－6x＋8>0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a解析：設(shè)A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，B＝{x|x2－6x＋8>0}＝{x|x>4或x<2}．∵p是q的充分不必要條件，∴AB.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥4，,a>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a>0，))解得a≥4或0<a≤eq\f(2,3).故實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥4或0<a≤eq\f(2,3)}．|實力提升|(20分鐘，40分)11．不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一個必要而不充分條件是()A．a(chǎn)<1B．a(chǎn)<0C．0<a<1D．a(chǎn)≤1解析：要使不等式ax2－2x＋1<0的解集非空，當a＝0時，不等式為－2x＋1<0，其解集為x>eq\f(1,2)；當a>0時，Δ＝4－4a>0，即0<a當a<0時，滿意不等式ax2－2x＋1<0的解集非空．所以不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的充要條件為a<1.所以不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一個必要而不充分條件應當比a<1的范圍大．故選D.答案：D12．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－2<x<－1，則a的取值范圍是________．解析：依據(jù)充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，應有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.答案：(2，＋∞)13．已知命題p：對數(shù)loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意義，q：關(guān)于實數(shù)t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命題p為真，求實數(shù)t的取值范圍；(2)若命題p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)因為命題p為真，則對數(shù)的真數(shù)－2t2＋7t－5>0，解得1<t<eq\f(5,2).所以實數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))).(2)因為命題p是q的充分條件，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<t<\f(5,2)))))是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．因為方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的兩根為1和a＋2，所以只需a＋2≥eq\f(5,2)，解得a≥eq\f(1,2).則實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).14．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.證明：充分性：假如xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種狀況，當xy＝0時，不妨設(shè)x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．當xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0.又當x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．當