《兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

16/163.1.1兩角差的余弦公式（名師：鄭瑩瑩）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.在探究公式的過程中,逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)合作交流的能力.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過探索完成兩角差余弦公式的推導(dǎo)2.通過公式的簡單應(yīng)用,使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能,并為建立其他和（差）角公式打好基礎(chǔ).（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)通過探索得到兩角差的余弦公式（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題等等.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)已知，，由此我們能否得到是不是等于呢？如果不是，那2.預(yù)習(xí)自測（1）下列式子中正確的個(gè)數(shù)是()①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；③cos(eq\f(π,2)－α)＝cosα；④cos(eq\f(π,2)＋α)＝cosα.A．0B．1C．2D．3答案：A．解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】①②③④都錯(cuò)點(diǎn)撥：每個(gè)都配湊成標(biāo)準(zhǔn)兩角差的余弦公式型.（2）計(jì)算eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝________.答案：eq\f(\r(3),2)解析：【知識(shí)點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的余弦公式【解題過程】原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°＝cos(60°－30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).點(diǎn)撥：先將常值換成三角函數(shù)型，在結(jié)合公式.（3）設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(7,5)B.eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．－eq\f(1,5)答案：A．解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差公式的展開形式【解題過程】∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)＋sinαsin\f(π,4)))＝cosα＋sinα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).點(diǎn)撥：先求出需要的三角函數(shù)值，再套用公式.(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）三角函數(shù)的定義（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積公式2.問題探究探究一●活動(dòng)1在預(yù)習(xí)任務(wù)中我們提出的，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)它并不是直接將.下面我們一起來探究一下兩角差的余弦公式在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）【設(shè)計(jì)意圖】通過已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)線的基本定義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，和學(xué)生一起探索出兩角差的幾何位置.●活動(dòng)2我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來證明？提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？在證明公式之前先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo).證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，其中，且，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B，則由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有：由，且知，那么向量的夾角就是，由數(shù)量積的定義，有于是（1）由于我們前面的推導(dǎo)均是在，且的條件下進(jìn)行的，因此（1）式還不具備一般性.事實(shí)上，只要，所表示的就是向量的夾角.（這一點(diǎn)可以結(jié)合圖形作出說明.）但是，若，（1）式是否依然成立呢？當(dāng)時(shí)，設(shè)與的夾角為，則另一方面，，于是所以也有【設(shè)計(jì)意圖】在探究公式的過程中，教材不要求學(xué)生做到一步到位.首先對(duì)角選擇較為特殊的范圍來進(jìn)行探究，能讓學(xué)生從整體上感知本節(jié)課所要探究的途徑與目的，讓大部分學(xué)生都參與到探究中來，避免部分學(xué)生一開始就感覺到困難，提不起向下探究的興趣.探究二●活動(dòng)①對(duì)任意的注：1.公式中兩邊的符號(hào)正好相反（一正一負(fù)）；2.式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的.【設(shè)計(jì)意圖】和學(xué)生一起記憶新公式，并強(qiáng)調(diào)如何能準(zhǔn)確熟練的記住.探究三●活動(dòng)1例1利用差角余弦公式求【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】方法一：方法二：【思路點(diǎn)撥】先找到與15°相關(guān)的特殊角，而它的配湊有幾種不同形式，都可以嘗試用公式計(jì)算.【答案】.同類型訓(xùn)練題：如何求？答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦，誘導(dǎo)公式.【數(shù)學(xué)思想】類比【解題過程】點(diǎn)撥：把沒有學(xué)過的形式向已經(jīng)學(xué)習(xí)過的轉(zhuǎn)化，當(dāng)然這個(gè)題同時(shí)也提出了兩角和正弦公式.例2化簡求值【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式的逆用【解題過程】（2）所以原式點(diǎn)撥：根據(jù)結(jié)構(gòu)形式，把公式靈活應(yīng)用，逆用公式，能將特殊值轉(zhuǎn)化成角的三角函數(shù)值形式.答案：（1）（2）同類型訓(xùn)練題：化簡求值答案：（1）（2）解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式的逆用【解題過程】點(diǎn)撥：根據(jù)結(jié)構(gòu)形式，把公式靈活應(yīng)用，逆用公式，能將特殊值轉(zhuǎn)化成角的三角函數(shù)值形式.●活動(dòng)2例3答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式【解題過程】由，得又由是第三象限角，得所以所以原式=點(diǎn)撥：先把公式中需要的單角的正弦和余弦值都求出來，此時(shí)要注意正負(fù)號(hào)的象限問題.再套用兩角差的余弦公式就可以了.同類型訓(xùn)練題：已知都是銳角，，求的值.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式，兩角和的余弦公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】類比歸納【解題過程】法一:由，得又由所以，同時(shí)聯(lián)立得法二:由題知，所以點(diǎn)撥：此題是對(duì)公式的活用，由學(xué)生討論解決.此題一般有兩種方法可以求解.一種方法是把分解，此公式還沒推導(dǎo)，但部分學(xué)生可能會(huì)把看作，然后用兩角差的余弦公式分解，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.這種方法雖然較繁，但卻讓學(xué)生在無意當(dāng)中發(fā)現(xiàn)了兩角和的余弦公式.另一種方法是把看做兩角差，即，這種方法顯然計(jì)算要簡單得多.通過不同方法的講解，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度思考問題，并指引學(xué)生在考試中選擇較為簡便的方法解題.【設(shè)計(jì)意圖】此題理解公式的基礎(chǔ)練習(xí)，解此題需要思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備，要作出這些必要的準(zhǔn)備，需要運(yùn)用到同角三角函數(shù)的知識(shí).解題時(shí)必須強(qiáng)調(diào)解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性.3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程；（2）熟練記憶公式和逆用形式；（3）能利用公式進(jìn)行簡單的化簡和求值.重難點(diǎn)歸納（1）了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程；（2）對(duì)公式的簡單應(yīng)用.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.設(shè),若,則()A.B.C.D.答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】∵,,∴,原式==點(diǎn)撥：應(yīng)用公式展開，將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值代入2.等于()A.B.C.D.答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式的逆用，誘導(dǎo)公式【解題過程】原式=點(diǎn)撥：先統(tǒng)一角的形式，使其與兩角差的余弦公式形式一致，再用公式化簡.3.的值是()A.1B.2C.4D.答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式【解題過程】點(diǎn)撥：先將特殊值化為具體三角函數(shù)，再將公式結(jié)構(gòu)配湊成標(biāo)準(zhǔn)型4.的值是()A.B.C.D.答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的余弦公式【解題過程】原式==點(diǎn)撥：先將常數(shù)配湊成特殊角的三角函數(shù)值，并讓整體符合兩角差的余弦公式，再化簡.5.已知,是第四象限角,則=____________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式【解題過程】由,是第四象限角,得,于是有點(diǎn)撥：先求出需要的三角函數(shù)值，將正弦化成余弦形式，再結(jié)合兩角差的余弦公式.能培養(yǎng)將未知的轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)的遷移能力.6.不滿足sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)－cosαcosβ的一組α，β值是()A．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,4)B．α＝eq\f(2π,3)，β＝eq\f(5π,12)C．α＝eq\f(2π,3)，β＝eq\f(π,12)D．α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】因?yàn)閟inαsinβ＝eq\f(\r(2),2)－cosαcosβ，所以cos(α－β)＝eq\f(\r(2),2)，經(jīng)檢驗(yàn)C中的α，β不滿足點(diǎn)撥:應(yīng)用公式展開注意逆用.能力型師生共研7.已知銳角滿足,,求.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】同角的三角函數(shù)值的關(guān)系，兩角差的余弦公式【解題過程】,且,得∴又∵∴從而點(diǎn)撥：先求出單角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是能將所求角利用已知的兩個(gè)整體角表示，在求角的時(shí)候注意角所在的象限及符號(hào).8.若α為銳角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.答案：eq\f(3\r(10),10)解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】由α為銳角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，可得sinα＝eq\f(\r(5),5).于是coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\f(π,4)cosα＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10)點(diǎn)撥：應(yīng)用公式展開注意逆用.探究型多維突破9.已知(1)求的值;(2)若,求的值.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角差的余弦公式【解題過程】(1)∴.(2)由(1)同理得,∵,由對(duì)稱性,不防設(shè),則,,,又由(1)知,,,若,則矛盾！∴,有,,∴.點(diǎn)撥：本著消元的思想，消掉進(jìn)一步配湊出的整體角的余弦.利用對(duì)稱思想構(gòu)造已知角的表示形式，進(jìn)一步推出矛盾.10.若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均為銳角，且α<β，則α＋β的值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式，配角【解題過程】∵0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，得sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)，由cos2α＝eq\f(\r(10),10)，得sin2α＝eq\f(3\r(10),10).∴cos(α＋β)＝＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋3eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2).又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).點(diǎn)撥：公式形式牢記，利用已知角配湊α＋β自助餐1.cos110°cos20°+sin110°sin20°=()A.B.C.D.答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】點(diǎn)撥：公式形式牢記，逆用.2.的值是()A.B.C.1D.答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式【解題過程】=點(diǎn)撥：角的拆分，要盡量統(tǒng)一角的形式結(jié)合特殊角三角函數(shù)值.3.已知A、B均為鈍角,,,則A+B的值為()A.B.C.D.答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式，兩角和的余弦公式.【解題過程】點(diǎn)撥：將兩角和的余弦配成由此題也就推導(dǎo)出了兩角和的余弦公式4.函數(shù)的圖象中相鄰兩對(duì)稱軸的距離是________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】兩角差的余弦公式，三角函數(shù)圖形性質(zhì).【解題過程】,相鄰兩對(duì)稱軸的距離是周期的一半點(diǎn)撥：先將函數(shù)式化簡，要先用到兩角和的余弦公式，學(xué)生可以通過上面的問題總結(jié)出公式，或者也可以將“和”轉(zhuǎn)化為“差”在理解.再逆用兩角差的公式收攏.5.若則的取值范圍.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】同角的三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式【解題過程】令,則點(diǎn)撥：整體換元的思想，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造兩角差的余弦公式，結(jié)合函數(shù)思想將表示成t的函數(shù)，通過值域求出t的范圍.6．已知α，β∈[eq