河北省十縣多校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2025新高考單科模擬綜合卷（六）數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.3.請按照題號順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知一組數(shù)據(jù)為，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義可得答案.【詳解】將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序為：，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是第兩項的平均數(shù)，即.故選：C.2.已知雙曲線經(jīng)過點，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為，然后代點計算即可求得，從而求解.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.3.等差數(shù)列與的前項和分別為，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而得到.【詳解】因數(shù)列與均為等差數(shù)列，則，所以.故選：C.4.已知正方體的棱長為4，過三點的平面截該正方體的內(nèi)切球，所得截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出正方體中過三點的平面，且分別是的中點，可得，則過三點的截面為球內(nèi)過這三點的截面圓，求出截面圓的半徑可得結(jié)果.【詳解】如圖，正方體中，直線與正方體的內(nèi)切球分別切于，且分別是的中點.正方體內(nèi)切球為，連接.則互相垂直，且，所以.則過三點的截面為球內(nèi)過這三點的截面圓，截面圓的半徑為，其面積為.故選：B.5.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為7”的不同的排法有（）A.16種 B.32種 C.64種 D.96種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意按照分步計數(shù)原理對表格中的數(shù)據(jù)分步填寫并保證符合題意即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分三步進(jìn)行；第一步，要求“只有中間一列兩個數(shù)字之和為7”，則中間的數(shù)字為三組數(shù)1，6或2，5或3，4中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的兩組數(shù)，且這兩數(shù)字之和不為7，共有種排法；第三步，排剩下的兩個數(shù)字，共有種排法.由分步計數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為.故選：D.6.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件，建立關(guān)于的關(guān)系式，可求出，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】若，則，解得或，所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知，且滿足，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】變形后利用誘導(dǎo)公式得到，根據(jù)得到，求出，求出答案.【詳解】因為，可得，又因為?，則，所以，整理得，所以.故選：D.8.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的周長是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓及的位置關(guān)系，利用等面積法可分別求得它們的內(nèi)切圓圓心位置及其半徑，分別計算出的各邊長度可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，由橢圓，知，所以.所以，所以過作垂直于軸的直線為，代入中，解出.由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，在中，由等面積法得，.由橢圓的定義可知，，由，所以，所以，解得，所以.因為為的的角平分線，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為.在中，由等面積法得，.所以，解得，所以，所以，所以的周長是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用等面積法求得各內(nèi)切圓半徑，即可得出結(jié)果.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限D(zhuǎn).【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)對應(yīng)的點、和復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷選項即可.【詳解】因為，可得，故A正確；由，得，故B錯誤；由，知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第四象限，故C正確；因為，則，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)在上僅有兩個零點，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列有關(guān)函數(shù)的描述正確的是（）A.是偶函數(shù)B.圖象關(guān)于點對稱C.在上是減函數(shù)D.在上的值域為【答案】BC【解析】【分析】A選項，利用輔助角公式得到，根據(jù)零點個數(shù)得到不等式，求出，確定，由平移變換得到，確定A錯誤；B選項，利用判斷，C選項，利用判斷；D選項，整體法求解函數(shù)值域.【詳解】A選項，因為，由于函數(shù)y=fx在0,則，解得，所以，所以.因為，所以，所以.將函數(shù)y=fx的圖象沿軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.函數(shù)y=gx的定義域為，函數(shù)y=gx為奇函數(shù)，AB選項，，所以函數(shù)y=gx的圖象關(guān)于點對稱，B正確；C選項，當(dāng)時，，由于在上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=gx在上是減函數(shù)，C正確；D選項，當(dāng)時，，則，所以.所以函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域為，D錯誤.故選：BC.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，對任意的，恒有，則下列說法正確的是（）A. B.是偶函數(shù)C. D.若，則【答案】CD【解析】【分析】利用賦值法可得或，可得A錯誤；對的取值進(jìn)行分類討論，由函數(shù)奇偶性定義可判斷f′x必為奇函數(shù)，B錯誤；令，根據(jù)換元法即可得C正確；利用，可分別計算得出的值有周期性，且6個為一周期，可計算得出D正確.【詳解】對于A，令，則由，可得，解得或，A錯誤；對于B，當(dāng)時，令，則，則，故，函數(shù)f′x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)時，令，則，所以，則，即，則f′x為奇函數(shù).綜合以上可知f′x必為奇函數(shù)，對于C，令，則，故.由于，令，即，即有，C正確；對于D，若，令，則，則；令，則，即，所以；令，則，即，所以；令，則，即，所以；令，則，即，所以；令，則，即，所以；令，則，即，所以；令，則，即，所以，由此可得的值有周期性，且6個為一周期，且，故，D正確.故選：CD【點睛】方法點睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，賦值法成為解決問題的關(guān)鍵；在進(jìn)行求和時要注意周期性的應(yīng)用，可根據(jù)周期函數(shù)定義求周期，也可以遞推觀察得出周期進(jìn)行計算.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.集合，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是______________．【答案】或【解析】【分析】二次項系數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合方程的根的性質(zhì)計算即可得.【詳解】當(dāng)時，，解得，故A中元素只有1個，符合要求；當(dāng)時，對，需，即；故答案為：或.13.如圖，在平面四邊形中，為的中點，且.若.，則的值是__________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)四邊形性質(zhì)以及為中點，將數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化計算可得結(jié)果.【詳解】由為的中點可知，所以，又，則有.同理可得.故答案為：714.已知的三個內(nèi)角的對邊依次為，外接圓半徑為2，且滿足，則面積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得各邊長與角的關(guān)系，再由恒等變換可得，利用余弦定理計算可得，利用三角形面積公式計算可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理及外接圓半徑可得，.因為，，所以.所以，即.因為，所以，即，所以，即可得，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積為，則面積的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用外接圓半徑以及切弦互化，并由三角恒等變換和余弦定理和基本不等式求出，可得面積最大值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；（2）若只有在處取得極小值，且無極大值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得f′x，由函數(shù)f′x在上單調(diào)遞增，，即可判斷的單調(diào)性；（2）由題可知，在R上單調(diào)遞增,令，則恒成立，討論即可.【小問1詳解】由題意，，因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f′x在又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,+∞時，單調(diào)遞增所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】由題意，，可得，由題可知，在上單調(diào)遞增.令，則恒成立，所以時，，符合題意.當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.16.隨著我國城鎮(zhèn)化建設(shè)的不斷推進(jìn)，各種智能終端的普及和互聯(lián)互通，人工智能在教育?醫(yī)療?金融?出行?物流等領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用.為普及人工智能相關(guān)知識，培養(yǎng)青少年對科學(xué)技術(shù)的興趣，某中學(xué)組織開展“科技興國”人工智能知識競賽.競賽試題有甲?乙?丙三類（每類題有若干道），各類試題的每題分值及選手小李答對概率如下表所示，各小題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得0分，競賽分三輪答題依次進(jìn)行，競賽結(jié)束，各輪得分之和即為選手最終得分.項目題型每小題分值每小題答對概率甲類題乙類題丙類題其競賽規(guī)則為：第一輪，先回答一道甲類題，若正確，進(jìn)入第二輪答題；若錯誤，繼續(xù)回答另一道甲類題，該題回答正確，同樣進(jìn)入第二輪答題；否則，退出比賽.第二輪，在丙類題中選擇一道作答，若正確，進(jìn)入第三輪答題；否則，退出比賽.第三輪，在乙類試題中選擇一道作答.（1）求小李答題次數(shù)恰好為2次的概率；（2）求小李最終得分的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）記事件“小李先答對甲類一道試題”，“小李繼續(xù)答對另一道甲類試題”，“小李答對乙類試題”，“小李答對丙類試題”，事件“小李答題次數(shù)恰好為2次”，可知，進(jìn)而利用獨立事件和互斥事件的概率公式可求得事件的概率；（2）設(shè)小明競賽得分為，由題知的可能值為，計算出在不同取值下的概率，進(jìn)而求出期望.【小問1詳解】記事件“小李先答對甲類一道試題”，“小李繼續(xù)答對另一道甲類試題”，“小李答對乙類試題”，“小李答對丙類試題”，則.記事件“小李答題次數(shù)恰好為2次”，則.，即小李答題次數(shù)恰好為2次的概率為.【小問2詳解】設(shè)小李最終得分為，由題知的可能值為.，，，.所以.17.如圖，在直角梯形中，，四邊形為菱形且，對角線和相交于點，平面平面，點為線段的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線性質(zhì)以及線面平行判定定理即可證明得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得兩平面法向量即可得出二面角的正弦值.【小問1詳解】因為四邊形為菱形，所以是中點.連接，如下圖所示：又為線段的中點，則，且.又且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則有.則，設(shè)平面的一個法向量為，則有，.令，得，故.設(shè)平面的一個法向量為，則有，.令，得，故所以.所以二面角的正弦值為.18.已知拋物線為其焦點，點在上，且三角形的面積，（為坐標(biāo)原點））.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點且斜率為1的直線與相交于兩點，若線段的垂直平分線與相交于兩點.求證：四點在同一圓上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由點在上，三角形的面積，可求得，即得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得的中點坐標(biāo)，的長度，進(jìn)而求得直線的方程，再和拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得的中點的坐標(biāo)，的長度，連接，可求得，進(jìn)而求得，即可證明四點在同一圓上.【小問1詳解】因為點在上，則，而，所以，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，又直線的方程為，聯(lián)立，消去化簡并整理得，則，故的中點為，，因為直線的斜率為1，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即，將上式代入，消去化簡并整理得，設(shè)，則，故的中點為，，連接，因為，，，所以.故四點在同一圓上.19.若正整數(shù)，則稱為的一個“分解積”.（1）當(dāng)分別等于時，寫出的一個分解積，使其值最大；（2）當(dāng)正整數(shù)的分解積最大時，求中2的個數(shù)；（3）當(dāng)正整數(shù)的分解積最大時，求出中的值.【答案】（1），，（2）至多有2個2（3）中只能出現(xiàn)2或3或4，且2不能超過2個，4不能超過1個【解析】【分析】（1）根據(jù)“分解積”的定義可直接寫出結(jié)果；（2）易知，且，因此分解積最大時，中至多有2個2；（3）根據(jù)分解積最大以及各數(shù)之間的和之間的關(guān)系，可得出結(jié)論.【小問1詳解】，分解積的最大值為；，分解積的最大值為；，分解積的最大值為.【小問2詳解】由（1）可知，中可以有0個2，1個2，2個2.當(dāng)有3個或3個以上的2時，因為，且，所以分解積不是最大