第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式-綜合檢測2（培優(yōu)卷）（解析版）

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1．若存在x使得有正值，則m的取值范圍是A．或 B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結(jié)合判別式，即可求解．【解析】是開口向下的拋物線，若存在使，則，解得或．故選A2．，則下列正確的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解．【解析】由，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可得成立，所以A不正確；由，只有當(dāng)時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B不正確；由，因?yàn)?，可得，但的符號不確定，所以C不正確；由，因?yàn)?，可得且，所以，即，所以D正確；故選D．3．若不等式和不等式的解集相同，則的值為A． B．C． D．【答案】B【分析】先解出，得到-2和是的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出ab，可以求出a+b．【解析】由解得，所以-2和是的兩個根，所以，解得a=-4，b=-9．所以．故選B．4．已知，，且，則A． B．C． D．【答案】B【分析】對于選項(xiàng)A：結(jié)合已知條件，利用不等式性質(zhì)即可求解；對于選項(xiàng)BC：首先根據(jù)已知條件可得到，然后利用不等式性質(zhì)即可求解；對于選項(xiàng)D：首先對和平方，然后利用作差法即可求解．【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故，因?yàn)?，，所以，從而，故A錯誤；對于選項(xiàng)BC：由題意可知，，因?yàn)?，所以，故，即，從而，故B正確，C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，即，故D錯誤．故選B．5．已知，，且，則下列結(jié)論恒成立的是A． B．C． D．【答案】B【分析】舉反例可判斷A，C，D；利用絕對值的性質(zhì)以及基本不等式可判斷B，進(jìn)而可得正確選項(xiàng)．【解析】對于A，取，，則不成立，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，因?yàn)榕c同號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選項(xiàng)B正確；對于C：取，，則不成立，故選項(xiàng)C不正確；對于D：取，，則，故不成立，故選項(xiàng)D不正確；故選B．6．已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】利用基本不等式可得，由條件可知即求．【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即取等號，由恒成立，所以，所以．故選B．7．設(shè)正數(shù)，滿足，若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可求出的最小值為16，問題轉(zhuǎn)化為對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求出的最大值即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】由題意，，因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，（當(dāng)且僅當(dāng)b＝3a時取等號）．所以對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即對任意實(shí)數(shù)x恒成立，的最大值為6，所以m≥6，故選D．8．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A． B．或C． D．【答案】D【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，對參數(shù)分類討論，結(jié)合三個二次的關(guān)系可得結(jié)果．【解析】，①當(dāng)，即．當(dāng)時，不等式化為，其解集為空集，因此滿足題意；當(dāng)時，不等式化為，即，其解集不為空集，因此不滿足題意，應(yīng)舍去；②當(dāng)，即時．關(guān)于的不等式的解集為空集，，解得．綜上可得的取值范圍是．故選．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)所給的條件判斷正誤即可．【解析】由有，若則，即，故A正確，B錯誤；C：由，則，故正確；D：由，又，則，故正確．故選ACD10．關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<-2或x>3}，則下列正確的是（）A．a(chǎn)<0B．關(guān)于x的不等式bx+c>0的解集為{x|x<-6}C．a(chǎn)+b+c>0D．關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集為{x|x<-或x>}【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的解集可得a<0且b=-a，c=-6a，再代入各個選項(xiàng)即可判斷作答．【解析】因關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<-2或x>3}，則a<0，且-2，3是方程ax2+bx+c=0的二根，于是得，解得b=-a，c=-6a，對于A，因a<0，則A正確；對于B，不等式bx+c>0化為-ax-6a>0，解得x>-6，B不正確；對于C，a+b+c=a-a-6a=-6a>0，C正確；對于D，不等式cx2-bx+a>0化為-6ax2+ax+a>0，即6x2-x-1>0，解得或，D正確．故選ACD11．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則A．的解集為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】由題可得，對A，代入解二次不等式即可；對BCD，代入利用基本不等式可求解．【解析】由題可得是方程的兩個根，，對A，不等式化為，解得，故A正確；對B，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，故B正確；對C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，沒有最小值，故C正確，D錯誤．故選ABC．12．下列說法正確的有A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為【答案】BD【分析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，故A選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項(xiàng)錯誤；對于BD選項(xiàng)，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解．【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，故A選項(xiàng)錯誤，對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B選項(xiàng)正確，對于C選項(xiàng)，若正數(shù)、滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C選項(xiàng)錯誤，對于D選項(xiàng)，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，D選項(xiàng)正確．故選BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)，且，，則的最大值為___________．【答案】14【分析】分別得出的范圍，進(jìn)而將由來表示，然后求得答案．【解析】由題意，，而，設(shè)，所以，即，所以．即的最大值為14．故答案為14．14．已知，，，則的最大值為___________．【答案】【分析】將所求式子化簡，進(jìn)而利用基本不等式即可得到答案．【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取“=”，故答案為．15．已知，，且，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】先將a，b分離，利用基本不等式求得a＋范圍，即得－3b范圍，解不等式并結(jié)合已知條件即得結(jié)果．【解析】由，得．又，所以a＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時取等號)，即得，即得；又，得，所以的取值范圍是．故答案為．16．已知則下列命題正確的個數(shù)是___________．①若，則；②若，則；③若，則；④若，，，，則，．【答案】3【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，錯誤的命題可舉反例說明．【解析】①若，顯然，則，正確；②若，顯然，根據(jù)不等式的乘方的性質(zhì)有，則，正確；③若，由，則，即，同理由得，所以，正確；④若，，，，例如，滿足，但，錯誤．正確個數(shù)為3．故答案為3．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）解關(guān)于x的不等式．（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）通過合理的轉(zhuǎn)化，將不等式轉(zhuǎn)化為，解得即可；（2）將不等式兩邊平方，轉(zhuǎn)化為，解得即可．【解析】（1），即，等價于，解得所以不等式的解集為（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，整理得即，解得或所以不等式的解集為18．（12分）（1）若，，求證：；（2），，，求證：【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）利用作差法證明即可，（2）利用不等式的性質(zhì)證明即可【解析】（1）因?yàn)?，，所以，所以；?）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?9．（12分）若正數(shù)a，b滿足，求的最大值．【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用基本不等式計(jì)算可得．【解析】因?yàn)?，故可以化為．因?yàn)閍和b為正數(shù)，則，當(dāng)時取等．因此，．故的最大值為．20．（12分）已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式的解集為（1）若方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，求的解析式；（2）若的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的一般式，根據(jù)不等式的解即為方程的根，求出，，的關(guān)系式，再根據(jù)方程有兩相等的實(shí)根的條件：判別式為0，解出，從而得出函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)配方，求出函數(shù)的最大值，再解不等式，注意．【解析】設(shè)，則．已知其解集為，，．（1）若有兩個相等的根，故，，解得或（舍去正值），即；（2）由以上可知，，由，解得，或，故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，21．（12分）對于題目：已知，，且，求最小值．同學(xué)甲的解法：因?yàn)?，，所以，，從而：．所以A的最小值為8．同學(xué)乙的解法：因?yàn)?，，所以．所以A的最小值為．①請對兩位同學(xué)的解法正確性作出評價；②為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外一道題，請你解決：已知，，且，求的最小值．【答案】①甲錯誤，乙正確；②．【分析】①說明甲同學(xué)多次運(yùn)用基本不等式時未保證同時取“=”即可；②先將待求式分式通分再運(yùn)用題中所給等式化簡、配湊后運(yùn)用基本不等式即可．【解析】①甲錯誤，乙正確，甲同學(xué)連續(xù)兩次運(yùn)用基本不等式，取等號的條件為，則，故不能保證可以同時取“=”．②當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”．22．（12分）已知關(guān)于x不等式的解集為M．（1）當(dāng)M為空集時，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求的最小值；（3）當(dāng)M